專題04根與系數(shù)關(guān)系

閱讀與思考

根與系數(shù)的關(guān)系稱為韋達定理，其逆定理也成立，是由16世紀的法國數(shù)學家韋達所發(fā)現(xiàn)的．韋達定

理形式簡單而內(nèi)涵豐富，在數(shù)學解題中有著廣泛的應用，主要體現(xiàn)在：

1．求方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；

2．求代數(shù)式的值；

3．結(jié)合根的判別式，判斷根的符號特征；

4．構(gòu)造一元二次方程；

5．證明代數(shù)等式、不等式．

當所要求的或所要證明的代數(shù)式中的字母是某個一元二次方程的根時，可先利用根與系數(shù)的關(guān)系找

到這些字母間的關(guān)系，然后再結(jié)合已知條件進行求解或求證，這是利用根與系數(shù)的關(guān)系解題的基本思路，

需要注意的是，應用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件是一元二次方程有兩個實數(shù)根，所以，應用根與系數(shù)的

關(guān)系解題時，必須滿足判別式△≥0．

例題與求解

【例1】設(shè)關(guān)于x的二次方程(m24)x2(2m1)x10(其中m為實數(shù))的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和為

s，則s的取值范圍是_________.

【例2】如果方程(x1)(x22xm)0的三個根可以作為一個三角形的三邊長，那么，實數(shù)m的取

值范圍是_________.

333

A．0m1B．mC．m1D．m1

444

2

【例3】已知，是方程x27x80的兩根，且．不解方程，求32的值．

st4s1

【例4】設(shè)實數(shù)s,t分別滿足19s299s10,t299t190并且st1，求的值．

t

b1a1

【例5】（1）若實數(shù)a,b滿足a258a，b258b，求代數(shù)式的值；

a1b1

3x2yza

（2）關(guān)于x,y,z的方程組有實數(shù)解(x,y,z)，求正實數(shù)a的最小值；

xy2yz3zx6

（3）已知x,y均為實數(shù)，且滿足xyxy17，x2yxy266，求x4x3yx2y2xy3y4的

值．

【例6】a,b,c為實數(shù)，ac0，且2a3b5c0，證明一元二次方程ax2bxc0有大于

3

而小于1的根．

5

能力訓練

A級

1．已知m，n為有理數(shù)，且方程x2mxn0有一個根是52，那么mn=．

2．已知關(guān)于x的方程x23xm0的一個根是另一個根的2倍，則m的值為．

3．當m=時，關(guān)于x的方程8x2(2m2m6)x2m10的兩根互為相反數(shù)；

當時，關(guān)于x的方程x22mxm240的兩根都是正數(shù)；當時，關(guān)于m

的方程3x22xm80有兩個大于2的根．

4．對于一切不小于2的自然數(shù)n．關(guān)于x的一元二次方程x2(n2)x2n20的兩根記為

111

則．

an,bn(n2)

(a22)(b22)(a32)(b32)(a20072)(b20072)

5．設(shè)是方程22的兩個實根，且，則的值為（）

x1,x2x2(k1)x(k2)0(x11)(x21)8k

1

A．3或1B．3C．1D．k的一切實數(shù)

2

．設(shè)是關(guān)于的一元二次方程2的兩個實數(shù)根，且，則

6x1,x2xxxn2mxx10,x23x10

（）

m1m1m1m1

A．B．C．D．

n2n2n2n2

．設(shè)是方程2的兩個不等的實數(shù)根，則22是（）

7x1,x2x2xk0x1x22

A．正數(shù)B．零C．負數(shù)D．不大于零的數(shù)

8．如圖，菱形ABCD的邊長是5，兩對角線交于O點，且AO，BO的長分別是關(guān)于x的方程

x2(2m1)xm230的根，那么m的值是（）

A．3B．5C．5或3D．5或3

m2

9．已知關(guān)于x的方程：x2(m2)x0．

4

（1）求證：無論m取什么實數(shù)值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（）若這個方程的兩個根是，且滿足求的值及相應的．

2x1,x2x2x12,mx1,x2

．已知是關(guān)于的一元二次方程2的兩個不相等的實數(shù)根．

10x1,x2xkx4x30

（1）求k的取值范圍；

3

（2）是否存在這樣的實數(shù)，使成立？若存在，求的值；若不存在，說明理

k2x12x22k

x1x2

由．

11．如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，過C點作CD⊥AB于D，設(shè)AD＝m，BD＝n，且AC2：BC2

1

＝2：1；又關(guān)于x的方程x22(n1)xm2120兩實數(shù)根的差的平方小于192，求整數(shù)m、n的值．

4

12．已知m,n是正整數(shù)，關(guān)于x的方程x2mnx(mn)0有正整數(shù)解，求m,n的值．

B級

．設(shè)，是二次方程2的兩根，則32．

1x1x2xx30x14x219=

a

2．已知ab1，且有5a21995a80及8b21995b50則．

b

．已知關(guān)于的一元二次方程2的兩個實數(shù)根是，且22，則

3xx6xk10x1,x2x1x224

k．

．已知是關(guān)于的一元二次方程2的兩個實數(shù)根，則的最大

4x1,x2xxaxa2(x12x2)(x22x1)

值為．

5．如果方程x2px10（p＞0）的兩根之差為1，那么p等于（）

A．2B．4C．3D．5

．已知關(guān)于的一元二次方程2的兩個實數(shù)根分別是，且22，則

6xxmx2m10x1,x2x1x27

2的值是

(x1x2)()

A．1B．12C．13D．25

7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，a、b是關(guān)于x

的方程x27xc70的兩根，那么AB邊上的中線長是()

35

A．B．C．5D．2

22

11

8．設(shè)a213a，b213b且ab，則代數(shù)式的值為（）

a2b2

A．5B．7C．9D．11

9．已知a,b為整數(shù)，ab，且方程3x23(ab)x4ab0的兩個根,滿足關(guān)系式

(1)(1)(1)(1)．試求所有整數(shù)點對(a,b)．

10．若方程x23x10的兩根,也是方程x6px2q0的兩根，其中p,q均為整數(shù)，求p,q的

值．

11.設(shè)a,b是