第=page11頁，共=sectionpages11頁甘肅省2025屆高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)?1+(1?aA.a>?1 B.a<?1或a2.設(shè)集合A={x|y=3A.R B.{?1,0,13.某班研究性小組的同學(xué)為了研究活性碳對污水中某種污染物的吸附能力，設(shè)計(jì)了一種活性碳污水凈化裝置.現(xiàn)污水中該種污染物含量為W0(單位：mg/L)，測得污水通過長度為l(l0123WW0.50.250.125研究小組的同學(xué)根據(jù)表格數(shù)據(jù)建立了W關(guān)于l的函數(shù)模型.則與表格中數(shù)據(jù)吻合的函數(shù)模型是(

)A.W=W0+0.5l B.W4.高一年級400名學(xué)生參加數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識競賽活動，答題后隨機(jī)抽取22名男生和18名女生，計(jì)算得男生的平均得分為82分，女生的平均得分為80分，則估計(jì)本次比賽高一年級的總體均分為(

)A.81.8 B.81.5 C.81.1 D.80.85.從1?9這9個數(shù)字中任意取出3個數(shù)，組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，從百位到個位數(shù)字依次增大，則滿足條件的三位數(shù)的個數(shù)是(

)A.84 B.120 C.504 D.7206.若α∈(0,π4)A.210 B.?210 7.已知梯形ABCD中，AB/?/CD，AB=2A.[0,17] B.[?8.已知A是拋物線y2=16x上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，直線x4+yb=1與y軸交于點(diǎn)P，A.b24+b2 B.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知雙曲線方程為x29?yA.雙曲線的漸近線方程為y=±34x

B.雙曲線的離心率是73

10.函數(shù)f(x)=A.f(x)的最小正周期是2π

B.f(x)的值域是[?311.若自變量x表示時間，在長為定值T的時間周期[u,u+T]中，函數(shù)yA.若f(x)=3x，x∈(0,+∞)，則g(u)為減函數(shù)

B.若f(x)=3x，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.用一個平面截正方體，截面形狀為正六邊形，則截出的兩部分幾何體的體積之比是______．13.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S5=20，S7=56，則數(shù)列14.如圖，甲、乙兩人在這段弧形路段跑步，該路段的內(nèi)、外弧線為兩個同心圓的14圓周，內(nèi)弧半徑為12米，路寬為3米，兩人均從外弧A點(diǎn)處跑入該路段，甲沿內(nèi)弧切線方向跑至切點(diǎn)C，又沿內(nèi)弧CB跑至點(diǎn)B處后跑出該路段，乙沿內(nèi)弧切線方向直接跑至外弧上D點(diǎn)處，再沿外弧DE跑至點(diǎn)E處后跑出該路段，則在該路段跑動距離更短的是______(填“甲”或“乙”)，兩人跑動距離之差的絕對值約為______米.(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)si四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

為了解高一學(xué)生整理數(shù)學(xué)錯題與提高數(shù)學(xué)成績的相關(guān)性，某小組通過隨機(jī)抽樣，獲得了每天整理錯題和未每天整理錯題的各20名學(xué)生3次數(shù)學(xué)考試成績的平均分，繪制了如圖1，2的頻率分布直方圖，并且已知高一學(xué)生3次數(shù)學(xué)考試成績的總體均分為115分．

(1)依據(jù)頻率分布直方圖，完成以下2×2成績不低于總體均分成績低于總體均分合計(jì)每天整理錯題未每天整理錯題合計(jì)(2)依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析數(shù)學(xué)成績不低于總體均分是否與每天整理數(shù)學(xué)錯題有關(guān)．α0.100.010.001χ2.7066.63510.82816.(本小題15分)

正四面體P?ABC的三條棱PA，PB，PC是圓錐PO的三條母線，點(diǎn)A，B，C在圓錐PO的底面內(nèi)，過PA且與圓錐PO底面垂直的平面與圓錐側(cè)面交于PD(不同于PA)．

17.(本小題15分)

數(shù)列{an}滿足an+12=1an，a1=2，數(shù)列{bn}滿足bn=lna2n?1(18.(本小題17分)

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(2,4)，A，B為橢圓x24+y22=1上的兩個動點(diǎn)，OP=λ(OA19.(本小題17分)

函數(shù)f(x)=(1+x)r?m?1(x>?1，且r>0)．

(1)r≠1時，判斷答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵復(fù)數(shù)?1+(1?a2)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(?1,1?a2)，

且復(fù)數(shù)?1+(2.【答案】B

【解析】解：函數(shù)y=31?x中，x∈R，

則集合A=R，

所以A∩B3.【答案】D

【解析】解：由圖表中數(shù)據(jù)可知函數(shù)模型滿足：第一，定義域?yàn)閇0,3]；第二，在定義域單調(diào)遞減且單位減少率變慢；第三，函數(shù)圖象過(0,W0).

對于A，函數(shù)W=W0+0.5l單調(diào)遞增，不符合條件；

對于B，l=0時，W=0，函數(shù)W=0.5W0l的圖象不過(0,W04.【答案】C

【解析】解：因?yàn)?2名男生和18名女生，男生的平均得分為82分，女生的平均得分為80分，

故本次比賽高一年級的總體均分x?=2240×82+18405.【答案】A

【解析】解：從9個數(shù)字中選擇3個不同的數(shù)，組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，從百位到個位數(shù)字依次增大，

即這3個數(shù)無需再排序，故滿足條件的三位數(shù)的個數(shù)是C93=84(個)．

故選：A．

從96.【答案】C

【解析】解：因?yàn)棣痢?0,π4)，

所以cos(α+π4)=1?sin27.【答案】D

【解析】解：如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，

則A(?2,0),B(2,0),C(1,3)，D(?1,3)，

設(shè)M(x,3)(?1≤8.【答案】B

【解析】解：因?yàn)锳是拋物線y2=16x上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，直線x4+yb=1與y軸交于點(diǎn)P，

所以F(4,0)，P(0,b)，設(shè)A(y216,y),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

所以PA=(y216,y?b),PF9.【答案】CD【解析】解：雙曲線x29?y216=1，得：a2=9，b2=16，c2=25，

對于選項(xiàng)A：ba=43雙曲線的漸近線方程為y=±43x，故A選項(xiàng)錯誤；

對于選項(xiàng)B：離心率為e=ca=53，故B選項(xiàng)錯誤；

對于選項(xiàng)C：雙曲線的虛軸長是2b10.【答案】AB【解析】解：對A：f(x+2π)=2cos(x+2π)+sin(2x+4π)=2cosx+sin2x=f(x)，

故2π為f(x)的周期，

顯然，沒有比2π更小的正周期，故A正確；

對B：由A可知只需考慮f(x)在[π6,13π6]的值域，

由于f(x)=2cosx+sin2x，x∈[π6,13π6]，

故f′(x)=?2sinx+2cos2x=?2sinx+2(1?2sin2x)，

即f′(x)=?4sin2x?2sinx+11.【答案】AD【解析】解：函數(shù)y=f(x)的增長率為g(u)=f(u+T)?f(u)f(u)，

對于函數(shù)f(x)=3x，x>0，g(u)=3u+3T?3u3u=Tu，u>0，T為定值，

所以g(u)為(0,+∞)上的減函數(shù)，故A正確；

對于函數(shù)f(x)=3x,x∈(0,+12.【答案】1：1

【解析】解：根據(jù)題意可知，平面截正方體，截面形狀為正六邊形，

如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，

E，F(xiàn)，G，H，I，J分別是AB，BC，CC1，C1D1，A1D1，AA1的中點(diǎn)，13.【答案】n2【解析】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則S5=5a1+5×42d=5a1+10d=20S7=7a1+7×62d=7a1+21d=56，

解得a114.【答案】甲

2.4

【解析】解：如圖所示，連接OC、OD，

可知OC⊥AD，OA=OD，

則∠AOC=∠DOC，AC=CD，

在Rt△AOC中，cos∠AOC=OCOA=1215=0.8，

所以sin∠AOC=1?cos2∠AOC=0.6，

所以15.【答案】答案見解析；

有關(guān)．

【解析】(1成績不低于總體均分成績低于總體均分合計(jì)每天整理錯題14620未每天整理錯題51520合計(jì)192140(2)根據(jù)題意可知，學(xué)生3次數(shù)學(xué)考試成績的總體均分為115分，

假設(shè)H0：數(shù)學(xué)成績不低于總體均分與每天整理數(shù)學(xué)錯題無關(guān)，

計(jì)算可得χ2=40(14×15?5×6)216.【答案】證明見解答；

3333【解析】解：(1)證明：因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABC，PO⊥平面ABC，P∈平面PAD，

所以PO?平面PAD，且O∈AD．

又因?yàn)锽C?平面ABC，所以PO⊥BC，

因?yàn)椤鰽BC為正三角形，所以O(shè)為△ABC中心，所以AO⊥BC，所以AD⊥BC，

因?yàn)镻O?平面PAD，AD?平面PAD，PO∩AD=O，

所以BC⊥平面PAD．

(2)設(shè)AD∩BC=M，則M是BC的中點(diǎn)．

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC的平行線為x軸，AD所在直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正四面體的棱長為1，

則A(0,?33,0)，B(12,36,0),C(?12,36,0)，D(0,33,017.【答案】證明見解答，bn=41?n【解析】解：(1)證明：因?yàn)閍n+12=1an，且an>0，

所以lnan+12=ln1an，所以2lnan+1=?lnan，所以lnan+1lnan=?12，

所以數(shù)列{lnan}是以ln2為首項(xiàng)，?12為公比的等比數(shù)列，

所以lnan=l18.【答案】證明過程見解析；

36【解析】解：(1)證明：點(diǎn)P(2,4)在橢圓外，A、B為橢圓上的兩個動點(diǎn)，

設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，

此時OP=λ(OA+OB)=λ(x1+x2,y1+y2)(λ∈R)，

則x12+2y12=4①x22+2y22=4②，

①?②得(x1+x2)(x1?x2)+2(y1+y2)(y1?y2)=0，

即y1?y2x1?x2=?x1+x22(y1+y2)，

因?yàn)橹本€OP的斜率為y1+y2x1+x2=4?02?0=2，

所以直線AB的斜率為y1?y2x1?x2=?14，

所以直線AB的一個方向向量為(119.【答案】答案見解析；

2cos2【解析】解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(1+x)r?m?1(x>?1，且r>0)，

所以f′(