第=page11頁，共=sectionpages11頁重慶八中2024-2025學年高三（下）月考數學試卷（3月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x∈ZA.{0,1,3} B.{2.設z=a+bi(A.a≠0且b=0 B.a≠0且b≠03.已知直線l：3x+4y?16=0，點P為圓C：(A.1 B.2 C.3 D.44.已知Sn為數列{an}的前n項和，且a1=A.47 B.53 C.57 D.645.如圖所示，點O為正八邊形的中心，已知|OA|=1，點P為線段BC，CDA.[1,2]

B.[2?

6.銳角△ABC中的角A，B，C滿足6coA.π6 B.π4 C.π37.小明工作日每天往返于家和公司辦公室，有兩把雨傘用于上下班，如果上班時天下雨，他將拿一把去辦公室，如果下班時天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家.如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設每天上班和下班時下雨的概率均為14，不下雨的概率均為34，且與過去情況相互獨立.現在兩把雨傘均在家里，那么連續上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為(

)A.316 B.15128 C.391288.如圖所示，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長均為2，點P，M，N分別為棱AA1，AA.直線C1Q與直線CP始終異面

B.直線C1Q與直線CP可能垂直

C.直線C1Q與直線B二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數f(x)=axA.f(x)=?x+1x+1 B.?x∈10.已知點F1、F2分別為雙曲線C：x24?yA.雙曲線C與雙曲線y22?x24=1有相同的漸近線

B.若|PF1|=2|PF2|，則△P11.已知數列{an}滿足a1=0,ean+1=A.an+an+1≥ln2 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若(x?1)6=a13.若直線y=kx+b是曲線f(x)=14.設A(x1,y1)，B(x2,y2)為平面上兩點，定義d(A,四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，B1C⊥平面ABC且AC=BC=B16.(本小題15分)

設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(b?3c)?sin(A+C)=(a?c)?(sinA+17.(本小題15分)

已知F1、F2是離心率e=32的橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點，B為橢圓C上一點，且BF1?BF2的最小值為?2．

(1)求橢圓C的方程；

18.(本小題17分)

信息熵是信息論中的一個重要概念，它刻畫了隨機試驗結果的不確定性的大小.一般地，當信息熵越大時，不確定性越大.設隨機試驗A的所有可能結果為a1,a2,……,an(n∈N*)，且P(ai)=pi>0(i=1,2,?,n)，19.(本小題17分)

已知函數f(x)=lnx+a(x2?1)x2+bx+1．

(1)當a=?3，b=4，x>1答案和解析1.【答案】B

【解析】解：因為52x?1∈Z，

所以2x?1=1或2x?1=?1或2x?1=5或2x?1=?5，

解得x=1或x=0或x=2.【答案】C

【解析】解：z=a+bi(a,b∈R)，則z為純虛數的充要條件是a=0b≠0，

因此3.【答案】A

【解析】解：根據題意，圓C：(x?2)2+y2=1，其圓心C(2,0)，半徑r=1，

圓心C到直線l的距離d=|3×4.【答案】C

【解析】解：因為數列{an}滿足a1=4，an+1=11?an，

所以a2=11?a1=11?4=?13，

a3=115.【答案】D

【解析】解：如圖所示，點O為正八邊形的中心，已知|OA|=1，點P為線段BC，CD上一動點，

由點O為正八邊形的中心，可得|OA|=1，故AB=BC=1，∠AOB=360°÷8=45°，

取AB的中點T，連接OT，則OT⊥AB，∠AOT=∠BOT=22.5°，

利用二倍角的余弦公式可得sin22.5°=1?cos45°2=2?22，

在Rt△ATO中，可得AT=OAsin22.5°=2?22，AB=2AT=2?2，

6.【答案】C

【解析】解：因為6cosA+3tanB+3tanC=6cosAtanBtanC，

所以6cosA+3(sinBcosB+s7.【答案】C

【解析】解：假設每天上班和下班時下雨的概率均為14，不下雨的概率均為34，

且與過去情況相互獨立．

“至少有一天淋雨”的對立事件為“兩天都不淋雨”，連續上兩天班，上班、下班的次數共有4次．

(1)4次均不下雨，概率為(34)4=81256；

(2)有1次下雨但不淋雨，則第一天或第二天上班時下雨，概率為2×14×(34)3=54256；

(3)有2次下雨但不淋雨，共3種情況：

①同一天上下班均下雨；

②兩天上班時下雨，下班時不下雨；

③第一天上班時下雨，下班時不下雨，第二天上班時不下雨，下班時下雨，

概率為2×8.【答案】B

【解析】解：在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1/?/BB1且AA1=BB1，∴四邊形AA1B1B為平行四邊形，

∴AB//A1B1且AB=A1B1，

∵點M，N分別為棱AB，A1B1的中點，∴AM//A1N且AM=A1N，

∴四邊形AA1NM為平行四邊形，∴MN//AA1，

∵MN?平面AA1C1C，AA1?平面AA1C1C，∴MN/?/平面AA1C1C，

∵C1，P，C，Q四點不共面，∴直線C1Q與CP始終異面，故A正確；

∵△ABC為等邊三角形，M為AB的中點，∴CM⊥AB，

又∵AA1⊥平面ABC，∴MN⊥平面ABC，

如圖，以M為坐標原點，MB、MC、MN的方向分別為x、y、z軸，建系如圖：

則M(9.【答案】AB【解析】解：函數f(x)=ax+1x+1的圖象關于直線y=x對稱，

對于A，f(0)=1，故點(0,1)在函數y=f(x)的圖象上，

由f(x)的圖象關于直線y=x對稱，則(1,0)也在函數y=f(x)的圖象上，

故f(1)=a+12=0，得a=?1，f(x)=?x+1x+110.【答案】AB【解析】解：對于選項A：雙曲線y22?x24=1，a′=2，b′=2，故漸近線方程為y=±a′b′x，即y=±22x，

雙曲線C：x24?y22=1，則a=2，b=2，故漸近線方程為y=±bax，即y=±22x，

A選項正確；

對于選項B：由題意得，c=a2+b2=6，|F1F2|=26，

由雙曲線的定義得，||PF1|?|PF2||=11.【答案】AC【解析】解：數列{an}滿足a1=0,ean+1=1ean+1(n∈N*)，前n項和為Sn，

對于A：令bn=ean，即an=lnbn，

則bn+1=1+1bn，由a1=0，b1=1，

所以bn+1∈(1,2]，bn∈[1,2]，bn+1bn=1+bn∈[2,3]，

所以an+an+1=lnbn+lnbn+1=lnbnbn+1=ln(1+bn)∈[ln2,ln3]，故A正確；

對于B12.【答案】?20【解析】解：二項式展開式的通項公式為Tk+1=C6kx6?k(?1)k(k=0,13.【答案】2

【解析】解：因為f(x)=ex?1，g(x)=ex?2，

所以f′(x)=ex?1，g′(x)=ex，

設f(x)=ex?1上點A(x0,ex0?1)處的切線和g(x)=ex?2在點B(x14.【答案】154【解析】解：聯立x2=12yy=2(x?4)，消去y并整理得x2?x+4=0，

此時Δ=(?1)2?16<0，

所以直線l與拋物線C無交點，

因為點P為拋物線C上一動點，點Q是直線l：y=2(x?4)上一動點，

過點P作PN/?/x軸交l于點N，過點Q作QE⊥PN交PN于點E，

刺死d(P,Q)=|PE|+|EQ|≥|P15.【答案】證明見解析；

358【解析】解：(1)證明：取A1B1的中點M，連接ME，AM，

在三棱柱ABC?A1B1C1，AA1/?/CC1且AA1=CC1，

∴四邊形AA1C1C為平行四邊形，

∴AC/?/A1C1且AC=A1C1，

∵D，E分別為AC，B1C1的中點，

∴ME//A1C1且ME=12A1C1，AD//A1C1且AD=12A1C1，

∴ME/?/AD且ME=AD，

∴四邊形ADEM為平行四邊形，∴DE//AM，

∵DE?面ABB1A1，AM?面ABB1A1，

∴DE/?/平面ABB1A1．

(2)∵B1C⊥平面ABC，AC⊥CB，AC=16.【答案】A=π6；

【解析】解：(1)由(b?3c)?sin(A+C)=(a?c)?(sinA+sinC)，

即(b?3c)sinB=(a?c)(sinA+sinC)，

由正弦定理可得：(b?3c)?b=(a?c)?(a+c)，

整理可得：b2+c2?a2=3bc，

由余弦定理可得b2+c2?a2=2bccosA，

所以cosA=32，

因為0<A<π17.【答案】x24+y2=1；

【解析】解：(1)易知F1(?c,0)，F2(c,0)，

此時BF1?BF2=(BO+OF1)?(BO+OF2)

=(BO+OF1)?(BO?OF1)=|BO|2?c2≥b2?c2，

當且僅當B為短軸頂點時，等號成立，

因為BF1?BF2的最小值為?2，

所以b2?c2=?2，①

因為橢圓C的離心率e=32，

所以ca=32，②

又a2=b2+c2，③

聯立①②③，

解得a=2，b=1，

則橢圓C的方程為x24+y2=1；

(2)(18.【答案】答案見解析；

證明見解析．

【解析】解：(1)設隨機試驗A的所有可能結果為a1,a2,……,an(n∈N*)，

且P(ai)=pi>0(i=1,2,?,n)，i=1npi=1，

定義隨機試驗A的信息熵H(A)=?i=1npilog2pi.：H(A)=?12log212?12log212=1，

設質地不均勻的硬幣正面朝上的概率為p(0<p<1,p≠12)，

則H(B)=?plog2p?(1?p)log2(19.【答案】證明見解析；

(i)

{a|a【解析】解：(1)當a=?3，b=4時，f(x)=lnx?3(x2?1)x2+4x+1，

則f′(x)=1x?12(x2+x+1)(x2+4x+1)2=(x2+4x+1)2?12x(x