2024-2025學年安徽省樅陽縣高二下學期數學3月月考數學檢測試卷考生注意：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據空間直角坐標系中，點關于坐標軸對稱的特征求解.【詳解】依題意，點關于軸的對稱點為.故選：D2.經過點且與直線垂直的直線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用兩直線的垂直的斜率關系結合點斜式計算即可.【詳解】由題意可知的斜率為，所以與其垂直的直線斜率為，由點斜式可知該直線方程為，故B正確.故選：B3.已知圓關于直線對稱，則實數（）A.4 B.5 C.6 D.8【正確答案】C【分析】利用圓的對稱性及一般式求出圓心坐標，代入直線方程求參數即可.【詳解】由，即，由題意可知圓心在直線上，代入得.故選：C4.已知函數在點處的切線的傾斜角為，則實數的值為（）A.2 B.1 C. D.【正確答案】A【分析】利用導數的幾何意義計算即可.【詳解】易知，所以.故選：A5.已知為等差數列前項和，且，則（）A.24 B.36 C.48 D.72【正確答案】D【分析】設等差數列的公差為，由已知可求得，利用等差數列的前項和求解即可.【詳解】設等差數列的公差為，由，得，所以，所以故選：D.6.已知，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，若，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用橢圓、雙曲線的離心率及關系列式，求出的關系即可求得漸近線方程.【詳解】由，得，則，整理得，即，雙曲線的漸近線方程為，即.故選：C7.已知拋物線的焦點為，過上一點作的準線的垂線，垂足為，若，則（）A. B. C. D.2【正確答案】A【分析】利用拋物線的準線確定拋物線方程，結合拋物線定義與特殊三角形計算即可.【詳解】由于的準線，所以，設準線與縱軸交于E點，根據拋物線定義可知，所以，易知，所以.故選：A8.已知數列滿足，且，則使不等式成立的的最大值為（）A.98 B.99 C.100 D.101【正確答案】B【分析】利用取倒數法并構造新數列求其通項公式，再由等比數列求和公式結合數列的單調性解不等式即可.【詳解】由，可得，易知，兩側同時除，可得，整理得，所以是以為首項，為公比的等比數列，則，故，故，易知單調遞增，，所以.故選：B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知正項等比數列的前項積為，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】BC【分析】利用前項積的意義，結合等比數列性質求出公比，再逐項分析判斷.【詳解】設正項等比數列的公比為，，則，，則，對于A，，A錯誤；對于B，，則，B正確；對于CD，由，得數列是遞增數列，則，于是，當時，，因此，C正確，D錯誤.故選：BC10.已知函數的定義域為，是的導函數，且，，則下列說法正確的是（）A.在區間上單調遞增B.有兩個零點C.，D.若，且，則【正確答案】BCD【分析】利用構造函數法結合導數的運算法則確定解析式，再利用導數研究其單調性與最值，作出函數大致圖象，結合基本函數的單調性、基本不等式一一判定選項即可.【詳解】因為，不妨設，則，所以（為常數），又，所以，即，所以，則在上單調遞減，在上單調遞增，則，且時，，時，，作出函數草圖如下：顯然A錯誤，B正確；由圖知，，故C正確；由，因，由基本不等式知，所以，當且僅當時取得等號，故D正確.故選：BCD11.已知正方體的棱長為2，，分別是棱，的中點，是棱上的動點，則下列說法正確的是（）A.在線段上存在一點，使得平面B.對于線段上的任意一點，都有C.過，，三點作正方體的截面，則截面的面積為D.若點在正方形所在平面內，且平面，則線段長度的取值范圍是【正確答案】ABD【分析】建立空間直角坐標系，利用空間位置關系的向量證明判斷ABD；作出截面并求出截面面積判斷C.【詳解】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，，對于A，，，，由，得，即當點時，，而平面，因此平面，A正確；對于B，由選項A知，，而，，因此對于線段上的任意一點，都有，B正確；對于C，取中點，，即，而直線，則，四邊形是符合題意的截面，，等腰梯形高，該截面面積，C錯誤；對于D，設，則，由平面，得，解得，則，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等比數列的公比為，若，，則________．【正確答案】【分析】利用等比數列通項公式，列方程組求公比.【詳解】等比數列的公比為，，，則，解得.故答案為.13.已知直線與圓相交于，兩點，則的取值范圍是________．【正確答案】【分析】先求出直線恒過定點，當直線經過圓心時，取得最大值，當直線時，取得最小值時，即可得出結論.【詳解】由，得，可得直線恒過的定點，由圓，得，又，所以點在圓內，可得圓心，半徑為，當直線經過圓心時，，當直線時，又，所以，所以的取值范圍是.故答案為.14.若關于的不等式在上恒成立，則正數的最小值為________．【正確答案】##【分析】同構變形給定的不等式，在時構造函數，利用函數單調性可得，分離參數并構造函數，求出函數的最大值即可.【詳解】不等式，，當時，，令，依題意，，對函數求導得，函數在上單調遞增，則當時，恒成立，令函數，求導得，當時，；當時，，函數上單調遞增，在上單調遞減，，因此，所以正數的最小值為最小值為.故四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線經過點，且與橢圓交于，兩點，的中點坐標為．（1）求的方程；（2）若與拋物線交于，兩點，求的面積（為坐標原點）．【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）求出直線的斜率，進而求出其方程，再與橢圓方程聯立驗證即可.（2）將直線的方程與拋物線方程聯立，求出三角形面積.【小問1詳解】依題意，直線經過點，則直線的斜率為，直線的方程為，即，設由消去得，，，，因此線段的中點坐標為，符合題意，所以直線的方程為.【小問2詳解】由（1）知，直線的方程為，設點，由消去得，則，所以的面積.16.已知公差不為0的等差數列的前項和為，，為，的等比中項．（1）求的通項公式；（2）若，記的前項和為，證明：．【正確答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據等差數列與前n項和的性質及等比中項，計算通項公式基本量即可；（2）利用裂項相消法求和，結合數列的單調性證明即可.【小問1詳解】設的公差為，則，所以，又為，的等比中項，則，解之得，故；【小問2詳解】由上可知，所以，易知，令，顯然定義域上單調遞減，，所以，故.17.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，，，分別為棱，，，的中點，，．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用線線垂直可得平面，進而可得平面平面，利用面面垂直的性質可證結論；（2）建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量與平面的一個法向量，利用向量法可求得平面與平面所成的夾角的余弦值.【小問1詳解】因為底面為正方形，所以，又，，所以，所以，所以．又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又因為，為棱的中點，所以，又平面平面，所以平面；【小問2詳解】以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意可求得則，則，設平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，設平面與平面所成的夾角為，則，所以平面與平面所成的夾角的余弦值為.18.已知函數．（1）若，求的單調區間；（2）若有兩個極值點，求實數的取值范圍；（3）若在區間上有且僅有一個零點，求實數的取值范圍．【正確答案】（1）答案見解析；（2）；（3）.【分析】（1）求導，令，可求單增區間與單減區間；（2）求導可得，由已知可得有兩個正根，求解即可；（3）由與在上有一個交點，利用導數判斷的單調性，進而可求得實數的取值范圍.【小問1詳解】若，fx=則，令，解得，令，解得，所以函數單調遞減區間為，單調遞增區間為；【小問2詳解】由fx=x?1由有兩個極值點，則有兩個變號零點，即有兩個正根，所以Δ=?22所以實數的取值范圍為；【小問3詳解】由在區間上有且僅有一個零點，得在區間有一個根，即在區間有一個根，即與在上有一個交點，由，可得，因為，所以，所以對恒成立，所以在上單調遞增，又，因為，可得，當時，，所以函數單調遞減，所以，所以，所以時，，所以，所以實數的取值范圍為．19.對于數列，若存在常數滿足，則稱為“上界數列”，為的“上界”，并把最小的值叫做“上界臨界值”，記為．記數列的前項和為，已知，．（1）判斷是否為“上界數列”，并說明理由；（2）若，為數列的前項和，求數列的“上界臨界值”；（3）若，數列的“上界臨界值”為，證明：．【正確答案】（1）不是“上界數列”，理由見解析；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）利用的關系先求通項，再根據新定義確定即可；（2）利用裂項相消法求和得，再利用數列的單調性結合新定義計算即可；（3）利用放縮法將，結合等比數列求和公式得，根據新定義證明即可.【小問1詳解】當時，，作差得，因為，所以，又當時，，所以