2025屆甘肅省張掖市高三下學(xué)期數(shù)學(xué)檢測試卷（一模）一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】D【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的乘方運(yùn)算，可得其周期，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，可得答案.【詳解】由，且，則，所以，可得其在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，即該點(diǎn)在第四象限.故選：D.2.已知向量不共線，且，若與同向共線，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A.1 B.C.1或 D.或【正確答案】B【分析】由共線可得，求解可得或，檢驗(yàn)可求得的值.【詳解】因?yàn)榕c共線，所以，解得或.若，則，則，此時與方向相反，故舍去；若，則，則，此時與方向相同.故.故選：B.3.已知圓錐的底面半徑和球的半徑相等，且它們的表面積相等，則該圓錐和球的體積之比為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設(shè)球的半徑及圓錐的底面半徑均為，圓錐的母線長為，再根據(jù)球與圓錐的表面積公式求得，根據(jù)勾股定理求得，再結(jié)合球與圓錐的體積公式分析體積比即可【詳解】設(shè)球的半徑及圓錐的底面半徑均為，圓錐的母線長為，則，所以，球的體積為，圓錐的高，圓錐的體積為，所以圓錐的體積與球的體積的比值為．故選：C．4.若方向向量為的直線與圓相切，則直線的方程可以是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)直線的方向向量得出斜率，設(shè)點(diǎn)斜式方程，再由圓心到直線距離等于半徑求解.【詳解】由直線的方向向量為知，直線的斜率，設(shè)直線方程為，則由直線與圓相切知，圓心到直線的距離，解得或，所以直線的方程為或，即或，故選：B5.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A.0 B.1 C.2 D.2025【正確答案】C【分析】由函數(shù)奇偶性，確定為周期函數(shù)，再結(jié)合，求得，即可求解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以關(guān)于點(diǎn)中心對稱，又為偶函數(shù)，所以關(guān)于直線對稱，所以為周期函數(shù)且周期，∴，∵，∴，∴.故選:C．（新情境題）6.閬中熊貓樂園承載著許多人的回憶，將樂園的摩天輪圖（1）所示抽象成圖（2）所示的平面圖形．已知摩天輪的半徑為40米，其中心點(diǎn)距地面45米，摩天輪按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，每24分鐘轉(zhuǎn)一圈．摩天輪上一點(diǎn)距離地面的高度為（單位：米），若從摩天輪的最低點(diǎn)處開始轉(zhuǎn)動，則與轉(zhuǎn)動時間（單位：分鐘）之間的關(guān)系為．則摩天輪轉(zhuǎn)動8分鐘后，求點(diǎn)距離地面的高度（）A.50米 B.60米 C.65米 D.75米【正確答案】C【分析】由圖易得振幅，平衡軸，周期，再由題意知函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，代入解得初相，從而可得函數(shù)，即可得當(dāng)分鐘時，點(diǎn)距離地面高度米.【詳解】由題意知：摩天輪上一點(diǎn)距離地面的高度為（單位：米）與轉(zhuǎn)動時間（單位：分鐘）之間的關(guān)系為．所以由圖可知，，，于是，由于點(diǎn)是從摩天輪的最低點(diǎn)處開始按逆時針開始轉(zhuǎn)動，則當(dāng)時，，代入點(diǎn)得，，又，解得，又由函數(shù)的周期，解得，則，當(dāng)（分鐘）時，（米）.故選：C7.曲線與的公切線的斜率為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求的切線，結(jié)合題意列式求解即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，可得切線方程為，即；因?yàn)椋瑒t，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，可得切線方程為，即；由題意可得：，解得，所以公切線的斜率為.故選：A.（新情境題）8.有個盲盒，其中有個內(nèi)有獎品.若抽獎?wù)哌x定了一個盲盒但未打開時組織方（知道盲盒內(nèi)部是否有獎品）打開了一個沒有獎品的盲盒，此時抽獎?wù)咧匦逻x定另外一個盲盒后打開，記此時中獎的概率為；若抽獎?wù)哌x定了一個盲盒但未打開時有個未選的盲盒因被風(fēng)吹掉而意外打開，且抽獎?wù)甙l(fā)現(xiàn)其內(nèi)部沒有獎品，此時抽獎?wù)咧匦逻x定另外一個盲盒后打開，記此時中獎的概率為，則對任意符合題意的，，都有（）A. B. C. D.無法確定與的大小關(guān)系【正確答案】C【分析】利用古典概型概率公式和全概率公式，求出和，由比值確定大小關(guān)系.【詳解】設(shè)事件為“最終中獎”，事件為“一開始選中的有獎”，則，在組織方打開無獎的盲盒后，若一開始選中的有獎，則剩余個盲盒中有個獎品，更換后，若一開始選中的無獎，則剩余個盲盒中有個獎品，則更換后，故，由于風(fēng)吹掉為隨機(jī)吹掉，故所有個盲盒中有個獎品，且所有盲盒中有獎品的概率相等，，因此，故.故選：C方法點(diǎn)睛：設(shè)事件為“最終中獎”，事件為“一開始選中的有獎”，則，，利用的值，判斷和的大小關(guān)系.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為了研究y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)(見下表)：x12345y0.50.811.21.5假設(shè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（）A.B.當(dāng)時，y的預(yù)測值為2.2C.樣本數(shù)據(jù)y的40%分位數(shù)為0.8D.去掉樣本點(diǎn)后，x與y樣本相關(guān)系數(shù)r不變【正確答案】ABD【分析】對于A選項(xiàng)：根據(jù)回歸直線必過點(diǎn)解得;對于B選項(xiàng)：結(jié)合經(jīng)驗(yàn)回歸方程的性質(zhì)即可求解；對于C選項(xiàng)：結(jié)合百分位數(shù)的定義即可求解；對于D選項(xiàng)：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)即可判斷；【詳解】對于A選項(xiàng)：線性回歸方程必過點(diǎn)，，，解得，所以選項(xiàng)A正確；對于B選項(xiàng)：當(dāng)時，可以的出y的預(yù)測值為2.2,所以B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)：從小到大排列共有5個數(shù)據(jù)，則是整數(shù)，則第40百分位數(shù)為從小到大排列的第2、3個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即第40百分位數(shù)為0.9，所以C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)：因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)為,5組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為：

，

去掉樣本中心點(diǎn)后相關(guān)系數(shù)為，所以相關(guān)系數(shù)r不變,所以D選項(xiàng)正確；故選：ABD10.已知拋物線：與雙曲線：有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則下列結(jié)論正確的是（）A.雙曲線的離心率為2B.雙曲線的漸近線為C.D.點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為3【正確答案】ACD【分析】選項(xiàng)A由雙曲線的方程可得進(jìn)而可得，即可得；選項(xiàng)B由焦點(diǎn)在軸上雙曲線漸近線方程可得；選項(xiàng)C先由點(diǎn)在拋物線上判斷，在根據(jù)焦點(diǎn)相同可得；選項(xiàng)D由拋物線的定義，將點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到拋物線準(zhǔn)線的距離可得.【詳解】選項(xiàng)A：由得，，，故，所以，故A正確；選項(xiàng)B：由得漸近線方程為：，故B錯誤；選項(xiàng)C：因點(diǎn)在拋物線上，可得開口向右，，由選項(xiàng)A得的焦點(diǎn)為，故的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，得，即，故C正確；選項(xiàng)D：由選項(xiàng)C知，拋物線：，故其準(zhǔn)線為，由拋物線的定義知點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為到拋物線準(zhǔn)線的距離為，故D正確.故選：ACD11.已知，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，為增函數(shù). B.當(dāng)時，的值域?yàn)?C.. D.與軸有兩個交點(diǎn)時，.【正確答案】ACD【分析】對于A，當(dāng)時，可得為增函數(shù)；對于B，當(dāng)時，分別求出當(dāng)時和當(dāng)時的值域，即可判斷；對于C，當(dāng)時，分和時，，再代入計算即可；對于D，分類討論當(dāng)和時，和，與軸交點(diǎn)情況，得出與軸有兩個交點(diǎn)時，即可判斷；【詳解】對于A，當(dāng)時，，當(dāng)時，為增函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)，且在處連續(xù)，所以為增函數(shù)，故A正確；對于B，當(dāng)時，函數(shù)的值域?yàn)椋瘮?shù)，因?yàn)閷ΨQ軸，所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以其值域?yàn)椋驗(yàn)楫?dāng)時，，所以的值域不為，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，若，則，若，則，所以，故C正確；對于D，當(dāng)時，若，函數(shù)與軸有一個交點(diǎn)，若，則函數(shù)與軸的交點(diǎn)由方程決定，此時方程須有一個實(shí)根，則，解得，則，當(dāng)時，若，函數(shù)與軸沒有交點(diǎn)，若，方程有兩個不同實(shí)根時，函數(shù)的對稱軸，則，解得或，且，則，綜上，與軸有兩個交點(diǎn)時，故D正確.故選：ACD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷分段函數(shù)與軸交點(diǎn)個數(shù)，須分類討論每段函數(shù)與軸交點(diǎn)個數(shù)，并且注意交點(diǎn)要滿足自變量的范圍.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，都為銳角，，，則______．【正確答案】【分析】根據(jù)題意，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系分別得到，，再由，結(jié)合和差角公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋紴殇J角，所以，由可得，由可得，所以.故13.已知關(guān)于的不等式的解集為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【正確答案】【分析】若，則將代入不等式求解即可得到的范圍，根據(jù)題意求其補(bǔ)集即可.【詳解】關(guān)于的不等式的解集為，若，則有，即，所以，解得或．因此若，則故14.已知數(shù)列是公差不為的等差數(shù)列，，且、、成等比數(shù)列，設(shè)，則的前項(xiàng)和為______.【正確答案】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，根據(jù)求出的值，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后對任意的，計算出，即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，因?yàn)椤ⅰ⒊傻缺葦?shù)列，則，即，即，因?yàn)椋獾茫裕裕瑢θ我猓裕驗(yàn)椋蕯?shù)列的前項(xiàng)和為.故答案為.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若為中點(diǎn)，，，求的周長.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）方法一：利用正弦定理將邊化角后，再利用兩角和的正弦公式及，得到，再得出的值；方法二：利用余弦定理將角化邊，得出，消去，得出結(jié)果.（2）方法一：利用已知條件和余弦定理，得出，題干已知條件有轉(zhuǎn)化成，利用余弦定理得出，解方程得出再計算得出周長；方法二：利用，得出，由，得出，解方程得出，再計算得出周長；方法三：在和分別利用余弦定理，得出，由，得出，解方程得出，再計算得出周長.【小問1詳解】方法一：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫瑒t，所以，因?yàn)樵谥校?方法二：因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻茫裕虼耍驗(yàn)椋?【小問2詳解】方法一：由已知條件得.在利用余弦定理得.所以，由余弦定理得，所以，因此，所以的周長為.方法二：因?yàn)椋裕虼耍裕钟捎嘞叶ɡ淼茫裕裕郑裕缘闹荛L為.方法三：在和分別利用余弦定理可得，所以，又由余弦定理得，所以，所以，又，所以，所以的周長為.16.已知P為圓上任意一點(diǎn)，另有一點(diǎn)，線段NP的垂直平分線和半徑MP相交于點(diǎn)Q.（1）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，求動點(diǎn)Q的軌跡方程C;（2）直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，求證:點(diǎn)O到直線AB的距離為定值.【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由題意可得QN+QM=2（2）設(shè)，分直線l的斜率是否存在兩種情況求解，當(dāng)直線l的斜率不存在，，由已知可得，可得，當(dāng)直線l的斜存在時，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離公式可求結(jié)論.【小問1詳解】由題意得，又點(diǎn)Q為NP垂直平分線上的點(diǎn)，可得，因?yàn)椋訯N+QM所以點(diǎn)Q的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，且，所以，故，所以動點(diǎn)Q的軌跡方程為.【小問2詳解】設(shè)，①當(dāng)直線l的斜率不存在時，由橢圓的對稱性可知，，因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，即，又點(diǎn)A在橢圓C上，所以，所以，所以點(diǎn)O到直線AB的距離；②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線，聯(lián)立，消去y，得，則Δ=4km2所以，因?yàn)橐訟B為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以，所以，即，又，所以，將代入上式，整理得.所以點(diǎn)O到直線AB的距離.綜上所述，點(diǎn)O到直線AB的距離為定值.（創(chuàng)新題）17.如果數(shù)列對任意的，，則稱為“速增數(shù)列”.（1）判斷數(shù)列是否為“速增數(shù)列”?說明理由;（2）若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項(xiàng)，，，，求正整數(shù)的最大值.【正確答案】（1）數(shù)列為“速增數(shù)列”，理由見解析（2）64【分析】（1）利用“速增數(shù)列”的定義判斷說明即可；（2）根據(jù)新定義有，，，，，累加得，再結(jié)合已知求參數(shù)最大值.【小問1詳解】數(shù)列為“速增數(shù)列”.理由如下，易知數(shù)列對，有,所以，即，所以數(shù)列為“速增數(shù)列”.【小問2詳解】因?yàn)閿?shù)列為“速增數(shù)列”，，，，所以對，有，且，所以，，，，累加得，所以，由，得，又，，所以正整數(shù)的最大值為.18.如圖，在三棱錐P?ABC中，平面PAB⊥平面PAC，BC=2AB=2，∠ABC=.（1）證明:PB⊥AC;（2）若側(cè)面PAB是等邊三角形，點(diǎn)D滿足=λ（0<λ<1），過B，D兩點(diǎn)作平面α，滿足直線AC∥α，設(shè)平面α與PC交于點(diǎn)E，直線PC與平面α所成的角為，求λ的值.【正確答案】（1）證明見解析（2）λ=【分析】（1）由勾股定理和面面垂直性質(zhì)可分別證得，由線面垂直的判定與性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）由線面平行性質(zhì)可得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【小問1詳解】，，由余弦定理得：，，即，作，垂足為，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，；，平面，平面，平面，.【小問2詳解】，平面平面，，又，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，過點(diǎn)垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，，設(shè)平面，即平面的法向量，則，令，解得：，，，直線與平面所成角為，，解得：，滿足，.（重難題）19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，都有恒成立，求最大整數(shù)值；（3）對于任意的，證明：．【正確答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；（2）的最大整數(shù)值為2；（3）證明見解析.【分析】（1）先求，接著令并求，根據(jù)的正負(fù)情況可得導(dǎo)函數(shù)的值的情況，從而可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）先將題設(shè)等價轉(zhuǎn)換為對任意，恒成立，進(jìn)而將問題等價轉(zhuǎn)化成求函數(shù)在區(qū)間上的最小值，利用導(dǎo)數(shù)工具求出該最小值即可得解.（3）由（1）在上單調(diào)遞增可得，進(jìn)而可得，從而結(jié)合累加