第21頁（共21頁）2024-2025學年上學期高一數學北師大版（2019）期中必刷常考題之平面向量基本定理及坐標表示一．選擇題（共5小題）1．（2025?聊城一模）已知角α∈（0，π），向量a→=（1，3），b→=（cosα，sinα），若a→A．2π3 B．π3 C．π42．（2025?臨沂一模）在△ABC中，點D是AB的中點，點P在CD上，若AP→=λA．16 B．13 C．23 3．（2024秋?合肥期末）已知點M在平面ABC內，且對于平面ABC外一點O，滿足OM→A．13 B．512 C．12 4．（2025?江西模擬）已知向量a→=（cosθ，1），b→=（﹣1，2sinθ）且向量a→A．2π3 B．5π3 C．35．（2025?延慶區模擬）已知向量a→=(1，2)，b→=(λA．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?錦州期末）已知|OM→|=2，|ON→|=2，OM→與ON→夾角為π3，若|OP→|=2且OP→A．2 B．32 C．52 D（多選）7．（2024秋?白城校級期末）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，若點F是側面CDD1C1的中心，且AF→=AD→+A．m=12 B．m=-12 C．n=（多選）8．（2024春?啟東市校級期中）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知D，E分別在邊AB，AC上，且△ABC的重心在DE上，又AD→=xAB→，AE→=yAC→，設∠A．1xB．S△ADESC．csinθ＝asin（B﹣θ）+bsin（A+θ） D．ccosθ＝acos（B﹣θ）+bcos（A+θ）三．填空題（共4小題）9．（2025?百色校級開學）已知向量a→=(5，2)，b→=(1，10．（2025?新余一模）已知向量a→=(1，-2)，b→=(-1，1)11．（2025春?濟南月考）如圖，在△ABC中，BD→=2DC→，AE→=mAB→，AF→=nAC→，m＞0，n＞0，若D12．（2025?紅河州模擬）已知向量a→=（2，﹣1），b→=（λ，1），若a→∥b→，則實數λ四．解答題（共3小題）13．（2024秋?中山區校級期末）在△ABC中，點D為邊AC上靠近A的三等分點，點M為形內一點．（1）如圖，若點M滿足5AM→=2AC→-BC（2）若點O為△ABC的外心，點M滿足3OM→=OA→+OB→+OC→14．（2024秋?大連校級期末）已知e1→，e2→是平面內兩個不共線的非零向量，AB→（1）求實數λ的值；（2）若e1→=(2（3）已知D（3，5），在（2）的條件下，若A，B，C，D四點按順時針順序構成平行四邊形，求點A的坐標．15．（2024秋?沈陽期末）如圖，在△ABC中，點P滿足PC→=2BP→，O是線段AP的中點，過點O的直線與邊AB，AC分別交于點（1）若AF→=2（2）若EB→=λAE→

2024-2025學年上學期高一數學北師大版（2019）期中必刷常考題之平面向量基本定理及坐標表示參考答案與試題解析題號12345答案BBDDB一．選擇題（共5小題）1．（2025?聊城一模）已知角α∈（0，π），向量a→=（1，3），b→=（cosα，sinα），若a→A．2π3 B．π3 C．π4【考點】平面向量共線（平行）的坐標表示．【專題】轉化思想；轉化法；平面向量及應用；運算求解．【答案】B【分析】結合向量共線的性質，即可求解．【解答】解：向量a→=（1，3），b→=（cosα，sinα），則sinα=故tanα=α∈（0，π），則α=故選：B．【點評】本題主要考查向量共線的性質，屬于基礎題．2．（2025?臨沂一模）在△ABC中，點D是AB的中點，點P在CD上，若AP→=λA．16 B．13 C．23 【考點】平面向量的基本定理；平面向量的數乘與線性運算．【專題】轉化思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】B【分析】由題意運用平面向量的線性運算法則，推導出CP→=(23-λ)CA→+λCB【解答】解：根據點D是AB的中點，可得CD→因為AP→=λAB→+13AC→解得CP→=（λ-23）AC→因為P、C、D三點共線，所以23-λ故選：B．【點評】本題主要考查平面向量的線性運算法則、向量共線的條件等知識，考查了概念的理解能力，屬于基礎題．3．（2024秋?合肥期末）已知點M在平面ABC內，且對于平面ABC外一點O，滿足OM→A．13 B．512 C．12 【考點】平面向量的基本定理．【專題】對應思想；綜合法；空間向量及應用；運算求解．【答案】D【分析】根據空間共面向量定理的推論得到λ+【解答】解：因為OM→=λOA→+所以λ+16故選：D．【點評】本題考查空間共面向量定理的應用，屬于基礎題．4．（2025?江西模擬）已知向量a→=（cosθ，1），b→=（﹣1，2sinθ）且向量a→A．2π3 B．5π3 C．3【考點】平面向量共線（平行）的坐標表示．【專題】轉化思想；轉化法；平面向量及應用；運算求解．【答案】D【分析】利用向量相反的坐標表示求解即可．【解答】解：因為向量a→=(cosθ當cosθ≠0時，-1cosθ=2sinθ1＜0，解得sin2θ所以2θ=3π2+2kπ，θ=3π4+kπ，且經檢驗只有θ=當cosθ＝0時，sinθ＝±1，a→綜上所述，θ可以是θ=故選：D．【點評】本題主要考查向量相反的坐標表示，屬于基礎題．5．（2025?延慶區模擬）已知向量a→=(1，2)，b→=(λA．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考點】平面向量共線（平行）的坐標表示．【專題】方程思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】B【分析】由向量平行的坐標表示即可求解．【解答】解：因為a→所以a因為(a→+所以﹣（1+μ）＝λ，所以λ+μ＝﹣1．故選：B．【點評】本題考查平面向量的坐標運算，屬于基礎題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?錦州期末）已知|OM→|=2，|ON→|=2，OM→與ON→夾角為π3，若|OP→|=2且OP→A．2 B．32 C．52 D【考點】平面向量的基本定理；數量積表示兩個平面向量的夾角．【專題】轉化思想；向量法；平面向量及應用；運算求解．【答案】CD【分析】由題意將OP→=xOM→+yON→平方可得x2+y2【解答】解：由|OM→|=2，|ON→|=2，所以OM→因為|OP→|=2且OP→=xOM→+所以4=x2OM→2+y2ON即x2+y2+xy＝1，所以(x所以34(x+y)2≤1結合選項可得C，D符合題意．故選：CD．【點評】本題考查平面向量的數量積運算，屬于中檔題．（多選）7．（2024秋?白城校級期末）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，若點F是側面CDD1C1的中心，且AF→=AD→+A．m=12 B．m=-12 C．n=【考點】平面向量的基本定理．【專題】轉化思想；轉化法；空間向量及應用；運算求解．【答案】AD【分析】直接利用向量的三角形、平行四邊形法則求解．【解答】解：AF→=1=1∴m=12，故選：AD．【點評】本題考查了向量的三角形法則、平行四邊形法則、空間向量基本定理，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．（多選）8．（2024春?啟東市校級期中）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知D，E分別在邊AB，AC上，且△ABC的重心在DE上，又AD→=xAB→，AE→=yAC→，設∠A．1xB．S△ADESC．csinθ＝asin（B﹣θ）+bsin（A+θ） D．ccosθ＝acos（B﹣θ）+bcos（A+θ）【考點】平面向量的基本定理；正弦定理．【專題】計算題；整體思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】ABD【分析】對于A，設△ABC的重心為M，由題意可知，D，E，M三點共線，AM→=13AB→+13AC→，化簡判斷A；對于B，S△ADE=12×|【解答】解：對于A選項，設△ABC的重心為M，由題意可知，D，E，M三點共線，所以存在λ使得AM→=λ又AM→=23×12（AB化簡得1x+1對于B選項，S△又因為AD→=xAB→，AE→=yAC→，即|AD|＝x|所以S△因為1x+1y=3≥21xy所以S△ADES△ABC對于C，D，因為BA→=BC→+又因為DE?DE→DE→所以c|所以ccosθ＝acos（B﹣θ）+bcos（A+θ），故D正確，C錯誤．故選：ABD．【點評】本題考查了三角形的面積公式、基本不等式和向量數量積公式，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）9．（2025?百色校級開學）已知向量a→=(5，2)，b→=(1，【考點】平面向量共線（平行）的坐標表示．【專題】轉化思想；轉化法；平面向量及應用；運算求解．【答案】25【分析】先求出2a【解答】解：由a→=(5，又(2a所以9λ﹣（4﹣λ）＝0，解得λ=故答案為：25【點評】本題主要考查平面向量共線的性質，屬于基礎題．10．（2025?新余一模）已知向量a→=(1，-2)，b→=(-1，1)【考點】平面向量共線（平行）的坐標表示．【專題】方程思想；定義法；概率與統計；運算求解．【答案】12【分析】由向量線性關系的坐標運算及共線的坐標表示列方程求參數即可．【解答】解：由題設b→a→∴-2-3故答案為：12【點評】本題考查向量線性關系的坐標運算及共線的坐標表示等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．11．（2025春?濟南月考）如圖，在△ABC中，BD→=2DC→，AE→=mAB→，AF→=nAC→，m＞0，n＞0，若D【考點】平面向量的基本定理；運用“1”的代換構造基本不等式．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；不等式的解法及應用；空間向量及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】3+22【分析】結合圖形由平面向量的基本定理可得1m+2【解答】解：在△ABC中，BD→=2DC→，AE→=mAB→，AF→=nAC→，m＞0，即AD→∵D，E，F三點共線，∴13∴m+當且僅當m=2+1所以m+n的最小值為3+22故答案為：3+22【點評】本題考查的知識點：向量共線的充要條件，基本不等式的性質，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．12．（2025?紅河州模擬）已知向量a→=（2，﹣1），b→=（λ，1），若a→∥b→，則實數λ【考點】平面向量共線（平行）的坐標表示．【專題】轉化思想；轉化法；平面向量及應用；運算求解．【答案】﹣2．【分析】根據向量共線的坐標表示運算求解即可．【解答】解：因為a→∥b→，b→=（λ，1），a→=(2，-1)故答案為：﹣2．【點評】本題主要考查向量共線的坐標表示，是基礎題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?中山區校級期末）在△ABC中，點D為邊AC上靠近A的三等分點，點M為形內一點．（1）如圖，若點M滿足5AM→=2AC→-BC（2）若點O為△ABC的外心，點M滿足3OM→=OA→+OB→+OC→【考點】平面向量的基本定理．【專題】轉化思想；向量法；平面向量及應用；運算求解．【答案】（1）35（2）k=【分析】（1）延長AM至E使AE＝5AM，可以得到四邊形ABEC是平行四邊形，然后根據AC→=3AD→，所以S△（2）設MN→=λDN→，由BN→=【解答】解：（1）M是△ABC所在平面內一點，延長AM至E使AE＝5AM，因為5AM所以AB→連接BE，因為向量AB→和向量CE→則四邊形ABEC是平行四邊形，由于AC→=3AD又AE→=5AM在平行四邊形中，S△ABC＝S△ABE，所以△ABM與△ABD的面積之比為S△（2）因為3OM→=設MN→=λDN→因為BN→=k所以BN=λ=λ=(2又BN→則有23λ+(1+所以k=【點評】本題考查平面向量的基本定理的應用，屬中檔題．14．（2024秋?大連校級期末）已知e1→，e2→是平面內兩個不共線的非零向量，AB→（1）求實數λ的值；（2）若e1→=(2（3）已知D（3，5），在（2）的條件下，若A，B，C，D四點按順時針順序構成平行四邊形，求點A的坐標．【考點】平面向量加減法的坐標運算．【專題】轉化思想；轉化法；平面向量及應用；運算求解．【答案】（1）λ=（2）（﹣7，﹣2）（3）（10，7）．【分析】（1）首先表示出AE→，根據AE（2）直接由向量線性運算的坐標表示即可求解；（3）根據AD→【解答】解：（1）AE→因為A，E，C三點共線，所以存在實數k，使得AE→即e1→+(1+因為e1→，e2→是平面內兩個（2）BE→（3）因為A，B，C，D四點按順時針順序構成平行四邊形，所以AD→設A（x，y），則AD→因為BC→=(-7，-2)即點A的坐標為（10，7）．【點評】本題主要考查平面向量的線性運算、坐標運算，屬于基礎題．15．（2024秋?沈陽期末）如圖，在△ABC中，點P滿足PC→=2BP→，O是線段AP的中點，過點O的直線與邊AB，AC分別交于點（1）若AF→=2（2）若EB→=λAE→【考點】平面向量的基本定理．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；平面向量及應用；不等式．【答案】（1）45（2）3+22【分析】（1）根據向量的線性運算法則，推導出AP→=23AB→+13AC→，AO（2）根據題意，可得AB→=(1+λ)AE→，AC→=(1+μ)AF→，結合E、O【解答】解：（1）因為PC→=2BP因為O是線段AP的中點，所以AO→又因為AF→=23AC因為E、O、F三點共線，所以x3+14=1，解得x（2）因為EB→=λAE→(λ＞0)，AB→=AE→由（1）的結論，可知AO→=1因為E，O，F三點共線，所以1+λ3+1+μ6=1，即所以1λ當且僅當μ+1=2λ，即λ=4-22【點評】本題主要考查平面向量的線性運算法則、兩個向量共線的條件、利用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．

考點卡片1．運用“1”的代換構造基本不等式【知識點的認識】基本不等式主要應用于求某些函數的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數的幾何平均數小于或等于它們的算術平均數．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2【解題方法點撥】在一些復雜的代數式問題中，結合已知條件中的和或積為常熟，可以通過將“1”表示為兩個數的和或積，從而構造均值不等式，簡化問題．【命題方向】運用“1”的代換構造均值不等式時，可以通過將“1”表示為兩個數的和或積，從而應用均值不等式．已知實數x，y∈R+，且x+y＝4，求1x解：∵x＞0，y＞0，x+y＝4，∴1x+3y=∴1x+3故答案為：1+32．平面向量的數乘與線性運算【知識點的認識】（1）實數與向量a→的積是一個向量，記作λa→，它的大小為|λa→|＝|λ||a→|，其方向與λ的正負有關．若|λa→|≠0，當λ＞0時，λa→的方向與a→的方向相同，當λ＜當λ＝0時，λa→與a對于非零向量a、b，當λ≠0時，有a→∥b→?a（2）向量數乘運算的法則①1a→=a→；（﹣②（λμ）a→=λ（μ）a→=μ③（λ+μ）a→=λa→④λ（a→+b→）＝λ一般地，λa→+μb→叫做a→，b→的一個線性組合（其中，λ、μ均為系數）．如果l→=λa→+3．平面向量的基本定理【知識點的認識】1、平面向量基本定理內容：如果e1、e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么對這一平面內任一a→，有且僅有一對實數λ1、λ2，使a2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內表示所有向量的一組基底．3、說明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．4．平面向量加減法的坐標運算【知識點的認識】﹣向量加法：如果a→=(a1，﹣向量減法：如果a→=(a1，【解題方法點撥】﹣坐標運算：直接對向量的坐標分量進行加減操作，得出結果．﹣實際應用：用于解決如點的移動、向量差等問題．【命題方向】﹣向量運算的實際應用：考查向量加減法在實際問題中的應用，如幾何問題中的位置計算．﹣坐標運算技巧：如何高效進行向量的坐標運算．向量a→，b→滿足a解：由a→+b→=（﹣1，5），a得2b→=（﹣1，5）﹣（5，﹣3）＝（﹣6，所以b→=12（﹣6，2）＝（﹣5．平面向量共線（平行）的坐標表示【知識點的認識】平面向量共線（平行）的坐標表示：設a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），則b→∥a→（a→≠0→）?x16．數量積表示兩個平面向量的夾角【知識點的認識】我們知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共線的，那么，當兩條向量a→與b→不平行時，那么它們就會有一個夾角θ，并且還有這樣的公式：cosθ【解題方法點撥】例：復數z=3+i與它的共軛復數z對應的兩個向量的夾角為60解：zz=3+i3∴復數z=3+i與它的共軛復數z對應的兩個向量的夾角為故答案為：60°．點評：這是個向量與復數相結合的題，本題其實可以換成是用向量（3，1）與向量（3，﹣1）的夾角．【命題方向】這是向量里面非常重要的一個公式，也是一個常考點，出題方式一般喜歡與其他的考點結合起來，比方說復數、三角函數等，希望大家認真掌握．7．正弦定理【知識點的認識】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內容asinA=（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC變形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角在△ABC中，已知a