1/819.2.3一次函數與方程、不等式第2課時一次函數與二元一次方程組函數、方程和不等式都是人們刻畫現實世界的重要數學模型．用函數的觀點看方程（組）與不等式，不僅能幫助學生加深對方程（組）、不等式的理解，提高認識問題的水平，而且能從函數的角度將三者統一起來，感受數學的統一美．本節課是學生學習完一次函數、一元一次方程及一元一次不等式的聯系后對一次函數和二元一次方程（組）關系的探究，學生在探索過程中體驗數形結合的思想方法和數學模型的應用價值，這對今后的學習有著十分重要的意義．【置疑導入】小聰和小惠去某景區游覽，約好在“飛瀑”見面．上午7：00小聰乘電動汽車從“古剎”出發：沿景區公路去“飛瀑”，車速為36km/h，小慧也于上午7：00從“塔林”出發，騎電動自行車沿景區公路去“飛瀑”，車速為26km/h.（1）當小聰追上小慧時，他們是否已經過了“草甸”？（2）當小聰到達“飛瀑”時，小慧離“飛瀑”還有多遠？追問：當小聰追上小慧時，他們兩個人的什么量是相同的？是否已經過了“草甸”？該用什么量來表示？你會選擇用哪種方式來解決？圖象法？還是解析式法？【說明與建議】說明：通過問題串的精心設計，引導學生根據實際問題建立適當的函數模型，利用該函數圖象的特征解決問題，在此過程中滲透數形結合的思想方法，發展學生的數學應用能力．建議：在這個環節的學習過程中，如果學生入手感到困難．可用以下問題串引導學生進行分析：（1）兩個人是否同時起步？（2）在兩個人到達之前所用時間是否相同？所行駛的路程是否相同？出發地點是否相同？兩個人的速度各是多少？（3）這個問題中的兩個變量是什么？它們之間是什么函數關系？（4）如果用s表示路程，t表示時間，那么他們各自的解析式分別是什么？【情景導入】在河道A，B兩個碼頭之間有客輪和貨輪通行．一天，客輪從A碼頭勻速行駛到B碼頭，同時貨輪從B碼頭出發，運送一批物資勻速行駛到A碼頭，兩船距B碼頭的距離y（km）與行駛時間x（min）之間的函數關系如圖所示，請根據圖象解決下列問題：（1）A，B兩個碼頭之間的距離是80km；（2）已知貨輪距B碼頭的距離與行駛時間的函數解析式為y1＝eq\f(1,2)x，求客輪距B碼頭的距離y2（km）與時間x（min）之間的函數解析式；（3）求出點P的坐標，并指出點P的橫坐標與縱坐標所表示的實際意義．【說明與建議】說明：通過學生熟悉的問題導入新課，培養學生的識圖能力和探究能力，調動學生學習的自主意識及學習興趣．建議：引導學生建立函數模型，結合圖象利用“數形結合”解決問題．命題角度1利用兩個一次函數圖象求二元一次方程組的解1.如圖，已知函數y＝ax＋b和y＝kx的圖象交于點P，則根據圖象可得，關于x，y的二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝ax＋b，,y＝kx))的解是（C）A．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－1))B．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3,y＝－1))C．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3,y＝1))D．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝1))第1題圖第3題圖2.在平面直角坐標系中，直線y＝－2x＋11與直線y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(5,3)的交點坐標是（4，3），則方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝11，,x－3y＝－5))的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝3))．命題角度2利用兩個一次函數圖象求一元一次不等式的解集3.函數y＝kx與y＝－x＋3的圖象如圖所示，根據圖象可知，不等式kx＞－x＋3的解集是x＞1．命題角度3利用一次函數與方程、不等式的聯系解決實際問題4.某電信公司有兩種上網費用的計算方式，方式A以每分鐘0.1元的價格按上網時間計費；方式B除收月基本費20元外，再以每分鐘0.05元的價格按上網時間計費．設上網時間為x分鐘，所需費用為y元．用函數方法解答何時兩種計費方式費用相等．解：yA＝0.1x，yB＝0.05x＋20.函數圖象如圖所示．∴當每月上網時間為400分鐘時，兩種計費方式費用相等．課題19.2.3第2課時一次函數與二元一次方程組授課人素養目標1.理解一次函數的圖象與二元一次方程（組）的關系．2.經歷用函數觀點分析二元一次方程（組）的過程，進一步體會類比思想、分類討論思想．3.利用一次函數圖象的性質，解決實際問題．4.體會數學知識的融會貫通，發現數學的美，激發學生的學習興趣．教學重點借助兩個一次函數圖象求二元一次方程（組）的解或一元一次不等式的解集．教學難點借助四個一次[一次函數、一元一次方程、二元一次方程（組）的解、一元一次不等式]之間的關系，解決實際問題．授課類型新授課課時教學活動教學步驟師生活動設計意圖回顧1.解二元一次方程組2.一次函數y＝5x＋6與y＝3x＋10的交點坐標是多少？復習舊知，引發思考，為突破本節課重難點做鋪墊．活動一：創設情境、導入新課【課堂引入】1號探測氣球從海拔5m出發，以1m/min的速度上升，與此同時，2號探測氣球從海拔15m處出發，以0.5m/min的速度上升，兩個氣球都上升了1小時．用式子分別表示兩個氣球所在位置的海拔y（單位：m）關于上升時間t（單位：min）的函數關系；1號氣球：y＝x＋5，2號氣球：y＝0.5x＋15.從實際問題抽象出數學問題，一方面有助于發展學生抽象邏輯能力，另一方面可以激發學生的學習興趣，更好地開展新課．活動二：實踐探究、交流新知【探究新知】針對【課堂引入】的問題，繼續思考在某時刻兩個氣球能否位于同一高度？如果能，這時氣球上升了多少時間？位于什么高度？問題1從數的角度看，二元一次方程組與一次函數有什么關系？問題2從形的角度看，二元一次方程組與一次函數有什么關系？師生活動：教師引導學生類比一次函數與一元一次方程的關系，結合兩個一次函數的圖象，探求與二元一次方程組之間的關系．最后，教師幫助學生總結．歸納：（2）圖象法解方程組的步驟：①將方程組中各方程化為y＝ax＋b的形式；②畫出各函數的圖象；③由交點坐標得出方程組的解．自主探究：在什么時候，1號氣球比2號氣球高？在什么時候，2號氣球比1號氣球高？通過類比一次函數與一元一次方程，分別從數和形兩個角度分析二元一次方程組與一次函數之間的關系，進一步開拓學生的思維，感受數形結合思想以及分類討論思想，體會數學思想的應用價值．活動三：開放訓練、體現應用【典型例題】例1如圖，一次函數y＝kx＋b與y＝x＋2的圖象相交于點P（m，4），則關于x的方程kx＋b＝x＋2的解是（B）A.x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝4例2如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝－2x和y＝ax＋2相交于點A（m，1），則不等式－2x<ax＋2的解集為（D）A.x<eq\f(1,2)B．x<1C．x>1D．x>－eq\f(1,2)【變式訓練】在同一平面直角坐標系內畫一次函數y1＝－x＋4和y2＝2x－5的圖象，解決下列問題：（1）求方程－x＋4＝2x－5的解；（2）求二元一次方程組的解；（3）當x取何值時，y1＞y2？當x取何值時，y1＞0且y2＜0？解：畫函數圖象如圖所示．（1）∵一次函數y1＝－x＋4和y2＝2x－5的圖象相交于點（3，1），∴方程－x＋4＝2x－5的解為x＝3.（2）由圖可知，二元一次方程組（3）由圖可知，當x＜3時，y1＞y2；當x＜eq\f(5,2)時，y1＞0且y2＜0.師生活動：學生獨立思考，舉手回答，師生交流心得和方法．通過典型例題和變式訓練．進一步感受兩個一次函數與二元一次方程組的解之間的聯系．由形判數，培養數形結合思想，體會數學知識的融會貫通．活動四：課堂檢測【課堂檢測】1.如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝－2x和y＝ax＋2相交于點A（m，1），則關于x，y的二元一次方程組的解為（C）第1題圖第2題圖第3題圖2.如圖，一次函數y1＝k1x＋b1與y2＝k2x＋b2的圖象交于點A（3，2），它們與x軸的交點橫坐標分別為1和－1，則不等式k2x＋b2>0>k1x＋b1的解集為（D）A.x>3B．x<－1C．x>1D．－1<x<13.一次函數y1＝mx＋n與y2＝－x＋a的圖象如圖所示，則不等式mx＋n＞－x＋a的解集為（A）A.x＞3B．x＜3C．x＜2D．x＞24.如圖，直線l1：y＝x＋1與直線l2：y＝mx＋n相交于點P（1，b）.（1）求b的值；（2）不解關于x，y的方程組請你直接寫出它的解．解：（1）∵P（1，b）在直線l1上，∴b＝1＋1，即b＝2.（2）師生活動：學生進行當堂檢測，完成后，教師進行批閱、點評、講