第2課時向量數量積的運算律及其應用第六章

平面向量及其6.2平面向量的運算6.2.4向量的數量積整體感知[學習目標]

1．掌握平面向量數量積的運算律及常用的公式．2．會利用向量數量積的有關運算律進行計算或證明．[討論交流]

預習教材P20－P22的內容，思考以下問題：問題1．向量數量積的運算有哪些運算律？問題2．如何利用數量積求向量的模、夾角等問題．[自我感知]經過認真預習，結合你對本節課的理解和認識，請畫出本節課的知識邏輯體系．探究建構探究1向量數量積的運算律【鏈接·教材例題】例11我們知道，對任意a，b∈R，恒有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)(a－b)＝a2－b2．對任意向量a，b，是否也有下面類似的結論？(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．[解]

(1)(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a2－b2．因此，上述結論是成立的．[新知生成]1．對于向量a，b，c和實數λ，有(1)a·b＝b·a(交換律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(數乘結合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．2．數量積運算的常用公式(1)(a＋b)2＝________________．(2)(a－b)2＝________________．(3)(a＋b)·(a－b)＝________．a2＋2a·b＋b2a2－2a·b＋b2a2－b2【教用·微提醒】

(1)a·b＝b·c推不出a＝c．(2)(a·b)c≠a(b·c)，它們表示不同的向量．【鏈接·教材例題】例12已知|a|＝6，|b|＝4，a與b的夾角為60°，求(a＋2b)·(a－3b)．[解]

(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a||b|cosθ－6|b|2＝62－6×4×cos60°－6×42＝－72．[典例講評]

1．(多選)設a，b，c是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列結論，正確的是(

)A．a·c－b·c＝(a－b)·cB．(b·c)·a－(c·a)·b與c不垂直C．|a|－|b|<|a－b|D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2√√√ACD

[根據數量積的分配律知A正確；∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b與c垂直，B錯誤；∵a，b不共線，∴|a|，|b|，|a－b|組成三角形，∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正確；顯然D正確．故選ACD．]反思領悟

向量的數量積a·b與實數a，b的乘積a·b有聯系，同時也有許多不同之處．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0．特別是向量的數量積不滿足結合律．[學以致用]

1．已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(

)A．4

B．3

C．2

D．0B

[由|a|＝1，知a2＝|a|2＝1，又a·b＝－1，∴a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3．]√探究2與向量模有關的問題[典例講評]

2．(1)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，求|a＋2b|；(2)已知|a＋b|＝|a－b|，求a·b．

(2)由題意可知|a＋b|2＝|a－b|2，即(a＋b)2＝(a－b)2，因此a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，因此a·b＝0．

√√

√

探究3與向量垂直、夾角有關的問題【鏈接·教材例題】例13已知|a|＝3，|b|＝4，且a與b不共線．當k為何值時，向量a＋kb與a－kb互相垂直？

√

[母題探究]將本例(2)中的條件“銳角”改為“鈍角”，其他條件不變，求k的取值范圍．

【教用·備選題】已知非零向量a，b滿足a＋3b與7a－5b互相垂直，a－4b與7a－2b互相垂直，求a與b的夾角θ．4

243題號1應用遷移

C

[由題意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3．]√23題號142．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，則|2a＋3b|等于(

)A．16 B．256C．8 D．64√23題號14A

[法一：∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16．法二：由題意知2a＝b，∴|2a＋3b|＝|4b|＝4|b|＝16．]23題號41

√

243題號14．已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，則向量a與a－b的夾角為________．

1．知識鏈：(1)向量數量積的運算律．(2)利用數量積求向量的模和夾角．(3)向量垂直的應用．2．方法鏈：類比法．3．警示牌：注意向量數量積不滿足結合律．回顧本節知識，自主完成以下問題：1．向量的數量積滿足哪些運算律？[提示]

(1)a·b＝b·a．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．2．向量的夾角與其數量積之間存在什么關系？[提示]

向量a，b的