立體幾何第八章第6講立體幾何中的向量方法(一)

——證明平行與垂直考點要求考情概覽1．理解直線的方向向量及平面的法向量．2．能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關系．3．能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定理

考向預測：從近三年高考情況來看，本講主要考查空間直角坐標系的建立及空間向量坐標的運算能力及應用能力，有時也以探索論證的形式出現．試題以解答題的形式呈現，難度中等．學科素養：主要考查直觀想象和邏輯推理的素養欄目導航01基礎整合

自測糾偏03素養微專

直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏11．兩個重要向量直線的方向向量

直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的非零向量，一條直線的方向向量有________個平面的法向量直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個向量叫作平面α的法向量．顯然一個平面的法向量有________個，它們是共線向量無數

無數

2．空間中平行、垂直關系的向量表示設直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則線線平行l∥m?a＝kb(k∈R)線面平行l∥α?a⊥n1?a·n1＝0面面平行α∥β?n1∥n2?n1＝kn2(k∈R)線線垂直l⊥m?a·b＝0線面垂直l⊥α?a∥n1?a＝kn1(k∈R)面面垂直α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0【特別提醒】

方向向量和法向量均不為零且不唯一．【答案】A2．若平面α，β的法向量分別為n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，則 (

)A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不正確【答案】C3．若直線l∥平面α，直線l的方向向量為s，平面α的法向量為n，則下列結論正確的是 (

)A．s＝(－1,0,2)，n＝(1,0，－1)B．s＝(－1,0,1)，n＝(1,2，－1)C．s＝(－1,1,1)，n＝(1,2，－1)D．s＝(－1,1,1)，n＝(－2,2,2)【答案】C【答案】C

5．在平面ABC中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a為平面ABC的法向量，則y＋z＝________.【答案】16．(2019年日照期末)設平面α的一個法向量為n1＝(1,2，－2)，平面β的一個法向量為n2＝(－2，－4，k)，若α∥β，則k＝________.【答案】4

判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)直線的方向向量是唯一確定的． (

)(2)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行． (

)(3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行或重合． (

)(4)若空間向量a垂直于平面α的法向量，則a所在直線與平面α平行． (

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×重難突破能力提升2

如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，側棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分別是線段PA，PD，AB的中點．求證：(1)PB∥平面EFH；(2)PD⊥平面AHF.利用空間向量證明平行問題【解題技巧】用向量證明平行的方法(1)線線平行：證明兩直線的方向向量共線．(2)線面平行：①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行．(3)面面平行：①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉化為線面平行、線線平行問題．【變式精練】1．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F分別是BB1，DD1的中點．求證：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.證明：建立空間直角坐標系如圖，則有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0，2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，示通法用空間向量證明垂直問題時，在建立恰當的空間直角坐標系的基礎上，利用空間坐標、空間向量表示點、線，把立體幾何的垂直問題轉化為向量的數量積問題．利用空間向量證明垂直問題【解題技巧】證明垂直問題的方法(1)利用已知的線面垂直關系構建空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算．其中靈活建立空間直角坐標系是解題的關鍵．(2)證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內不共線的兩個向量垂直即可，當然，也可證直線的方向向量與平面法向量平行；證明面面垂直：①證明兩平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個平面內的一條直線的方向向量為另一個平面的法向量即可．證明：(1)取BC的中點O，連接PO.因為平面PBC⊥底面ABCD，△PBC為等邊三角形，所以PO⊥底面ABCD．以BC的中點O為坐標原點，以BC所在直線為x軸，過點O與AB平行的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．

如圖所示，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD．利用空間向量解決探索性問題(1)求證：BD⊥AA1；(2)在直線CC1上是否存在點P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出點P的位置；若不存在，請說明理由．【解題技巧】立體幾何