2024－2025學(xué)年度高二年級3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名，準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試題卷，草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷，草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一，選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.曲線在點(diǎn)處切線斜率為（

）A.2 B.1 C. D.2.已知首項(xiàng)為1的數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.3.已知函數(shù)，則（

）A.0 B.1 C. D.4.已知拋物線恰好經(jīng)過圓的圓心，則的準(zhǔn)線方程為（

）A. B. C. D.5.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則最大值為（

）A.4 B.8 C.12 D.166.已知是函數(shù)的極小值點(diǎn)，則（

）A.-2 B.0 C.-1 D.-1或-27.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則（）A.12 B.8 C.6 D.38.棱長為1的正方體中，為平面上的一動點(diǎn)（包含邊界），則周長的最小值為（

）（附：平面的截距式方程為：，其中分別為平面在軸上的截距）A. B. C. D.二，選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中；有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在某次物理試驗(yàn)課堂上，某同學(xué)利用位移跟蹤儀記錄了一玩具車在靜止?fàn)顟B(tài)下釋放，其運(yùn)動的位移方程滿足，則（

）A.該玩具車位移的最大值為110B.該玩具車在內(nèi)的平均速度為12.5C.該玩具車在時的瞬時速度為30D.該玩具車的速度和時間的關(guān)系式是10.記為首項(xiàng)為2的數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則（

）A. B.C. D.11.平行六面體的各棱長為1，且分別為，，，中點(diǎn)．若兩兩垂直，則（

）A. B.C. D.四面體的體積為三，填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)在上最大值為_______13.已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則______14.曲線與曲線公切線斜率最大值為______．四，解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知圓，直線．（1）若與僅有一個交點(diǎn)，求；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)滿足，且點(diǎn)在直線上，求的取值范圍．16.已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，為公差不為0的等差數(shù)列，且，成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：．17.已知曲線與曲線交于，兩點(diǎn)．（1）求；（2）求的最小值．18.直橢圓柱體是指上下底面為橢圓，側(cè)面與底面垂直的柱體．如圖，已知某直橢圓柱體的底面橢圓離心率為，高為橢圓短軸長的一半，上底面橢圓的長軸為，下底面橢圓的長軸為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)線段與線段的長度之比為.（1）當(dāng)點(diǎn)為底面橢圓的焦點(diǎn)時，求的值；（2）當(dāng)時，求平面與平面夾角的余弦值．19.已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，且過點(diǎn)的右支上有三點(diǎn)，滿足．（1）求的方程；（2）求的面積；（3）求四邊形面積最小值．

2024－2025學(xué)年度高二年級3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名，準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試題卷，草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷，草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一，選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（

）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用商的導(dǎo)數(shù)來求切線斜率即可.【詳解】求導(dǎo)得：，當(dāng)時，切線斜率，故選：A.2.已知首項(xiàng)為1的數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用累乘法求解.【詳解】依題意，.故選：A.3.已知函數(shù)，則（

）A.0 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】對函數(shù)兩邊同時求導(dǎo)，再由賦值法代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由可得，令可得，解得.故選：C4.已知拋物線恰好經(jīng)過圓的圓心，則的準(zhǔn)線方程為（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，得，從而拋物線方程為，即可求解.【詳解】由題知，解得，所以拋物線，則的準(zhǔn)線方程為，故選：B.5.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為（

）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值求解即可.【詳解】因?yàn)椋裕捎谠谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，所以，故的最大值為，故選：D6.已知是函數(shù)的極小值點(diǎn)，則（

）A.-2 B.0 C.-1 D.-1或-2【答案】A【解析】【分析】求得，根據(jù)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求得，得到，進(jìn)而求得的值，得到答案.【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極小值點(diǎn)，可得，解得或，當(dāng)時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意，舍去；當(dāng)時，，令，解得或；令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上點(diǎn)單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，符合題意，所以，此時，所以.故選：A.7.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則（）A.12 B.8 C.6 D.3【答案】C【解析】【分析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合求和公式，可得答案.【詳解】由，則，解得或，由，顯然，解得.故選：C.8.棱長為1的正方體中，為平面上的一動點(diǎn)（包含邊界），則周長的最小值為（

）（附：平面的截距式方程為：，其中分別為平面在軸上的截距）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，利用平面的法向量得出平面的截距式方程，再求關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為的坐標(biāo)，則周長的最小值為.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，以為基底建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)平面與軸的交點(diǎn)為，則，則，得故平面的截距式方程為：，即，設(shè)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，則的中點(diǎn)為，，則，且，解得，即，則，因，故周長的最小值為.故選：D二，選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中；有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在某次物理試驗(yàn)課堂上，某同學(xué)利用位移跟蹤儀記錄了一玩具車在靜止?fàn)顟B(tài)下釋放，其運(yùn)動的位移方程滿足，則（

）A.該玩具車位移最大值為110B.該玩具車在內(nèi)的平均速度為12.5C.該玩具車在時的瞬時速度為30D.該玩具車的速度和時間的關(guān)系式是【答案】ACD【解析】【分析】利用二次函數(shù)性質(zhì)可判斷A正確，再由平均速度計(jì)算公式可得B錯誤，根據(jù)瞬時速度概念以及導(dǎo)數(shù)定義可得CD正確.詳解】根據(jù)題意，由可得其導(dǎo)數(shù)，對于A，由二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時，位移取得最大值，其最大值為，即A正確；對于B，該玩具車在內(nèi)的平均速度為，因此該玩具車在內(nèi)的平均速度為，可得B錯誤；對于C，由可知當(dāng)時的瞬時速度為，即C正確；對于D，由于，所以該玩具車的速度和時間的關(guān)系式是，所以D正確.故選：ACD10.記為首項(xiàng)為2的數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則（

）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)已知給賦值即可判斷，；由數(shù)列是周期為的周期數(shù)列即可判斷，.【詳解】當(dāng)時，，因?yàn)椋裕收_；當(dāng)時，，所以，即，當(dāng)時，，所以，即，故錯誤；所以數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，所以，即，故正確；，所以，故錯誤.故選：.11.平行六面體的各棱長為1，且分別為，，，中點(diǎn)．若兩兩垂直，則（

）A. B.C. D.四面體的體積為【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)，，，用，，表示，，，由向量線性運(yùn)算及數(shù)量積的定義即可判斷，，，由錐體的體積公式即可判斷.【詳解】設(shè)，，，因?yàn)槠叫辛骟w的棱長為1，所以，因?yàn)榉謩e為，，，中點(diǎn)，所以，，，因?yàn)閮蓛纱怪保裕驗(yàn)椋裕裕收_；因?yàn)椋裕裕叔e誤；因?yàn)椋裕裕收_；因?yàn)椋矫妫矫妫云矫妫裕允侵苯侨切危娣e為，所以四面體的體積為，故正確.故選：.三，填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)在上的最大值為_______【答案】【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)并得出其在指定區(qū)間上的單調(diào)性，即可求得最大值.【詳解】由可得，在上，恒成立，因此在上單調(diào)遞增，所以的最大值為.故答案為：13.已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則______【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義及其通項(xiàng)公式列方程組即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，可知；因此可得，兩式相除可得，解得或；可得或（舍）；因此.故答案為：14.曲線與曲線公切線斜率的最大值為______．【答案】e【解析】【分析】根據(jù)題意，求得與，得到，進(jìn)利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最值.【詳解】設(shè)公共切線與曲線切于點(diǎn)，與曲線切于點(diǎn)，因?yàn)榍€與曲線，可得與則，將代入可得，又因?yàn)榭傻茫裕瑢⒋肟傻茫O(shè)，則，可得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以最大值為故答案為：四，解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知圓，直線．（1）若與僅有一個交點(diǎn)，求；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)滿足，且點(diǎn)在直線上，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用可求；（2）利用求出點(diǎn)的軌跡圓的方程，則問題轉(zhuǎn)化為該圓與直線存在公共點(diǎn)，再利用即可.【小問1詳解】圓心，半徑，因與僅有一個交點(diǎn)，則圓心到直線的距離，解得.【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)，由得，化簡得，又點(diǎn)在直線上，則直線與圓存在公共點(diǎn)，則，解得，故取值范圍為16.已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，為公差不為0的等差數(shù)列，且，成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知可得，由遞推關(guān)系，即可求解；（2）由已知可得，根據(jù)裂項(xiàng)相消法求和即可證明.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，解得，因?yàn)椋裕裕?dāng)時，，當(dāng)時上式成立，所以；【小問2詳解】，，得證.17.已知曲線與曲線交于，兩點(diǎn)．（1）求；（2）求的最小值．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)交點(diǎn)列式結(jié)合對數(shù)運(yùn)算計(jì)算求值；（2）先根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)，參數(shù)分離再構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性即可求出最小值.【小問1詳解】因?yàn)榍€與曲線交于兩點(diǎn)，所以，化簡得，即，所以，因?yàn)榻稽c(diǎn)為，，所以或，所以；【小問2詳解】因?yàn)椋裕裕O(shè)，所以，當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；所以，所以.18.直橢圓柱體是指上下底面為橢圓，側(cè)面與底面垂直的柱體．如圖，已知某直橢圓柱體的底面橢圓離心率為，高為橢圓短軸長的一半，上底面橢圓的長軸為，下底面橢圓的長軸為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)線段與線段的長度之比為.（1）當(dāng)點(diǎn)為底面橢圓的焦點(diǎn)時，求的值；（2）當(dāng)時，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）令橢圓半焦距為c，利用橢圓的離心率，結(jié)合橢圓焦點(diǎn)與長軸兩個端點(diǎn)的距離求出.（2）利用橢圓方程求出，由已知求出，借助對稱性利用幾何法求出夾角的余弦.【小問1詳解】令橢圓半焦距為，由橢圓離心率為，得該橢圓的長半軸長，短半軸長，點(diǎn)為底面橢圓的焦點(diǎn)，則，，或，，所以的值是或.【小問2詳解】由（1）知底面橢圓對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，由，得，解得，，由，得直線，與橢圓方程聯(lián)立，得，則，由，平面平面，平面平面，平面，得平面，則點(diǎn)關(guān)于平面對稱，過作于，連接，于是≌，，即，是二面角的平面角，連接，由平面，平面，得，，而，則，，而，則，，，所以平面與平面夾角的余弦值為.19.已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，且過點(diǎn)的右支上有三點(diǎn)，滿足．（1）求的方程；（2）求的面積；（3）求四邊形面積最小值．【答案】（1）；（2）6；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，列方程求出即可得的方程.（2）設(shè)點(diǎn)，由此求出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的方程，再求出三角形面積.（3）取弦的中點(diǎn)為，由（2）證得是的中點(diǎn)