振動和波

第一講基本學(xué)問介紹

《振動和波》的競賽考綱和高考要求有很大的不同，必需做一些相對

具體的補(bǔ)充。

一、簡諧運動

1、簡諧運動定義：ZF=-kx①

凡是所受合力和位移滿意①式的質(zhì)點，均可

稱之為諧振子，如彈簧振子、小角度單擺等。

諧振子的加速度：a=-^x

m

2、簡諧運動的方程

回避高等數(shù)學(xué)工具，我們可以將簡諧運動

看成勻速圓周運動在某一條直線上的投影運

動(以下均看在x方向的投影)，圓周運動的

半徑即為筒諧運動的振幅Ao

依據(jù)：LFx二—mW2ACOS0=—mw2x

對于一個給定的勻速圓周運動，m>3是恒定不變的，可以令:

m3"二k

這樣，以上兩式就符合了簡諧運動的定義式①。所以，x方向的位移、

速度、加速度就是簡諧運動的相關(guān)規(guī)律。從圖1不難得出一一

位移方程：x=Acos(3t+6)

②

速度方程：v=—CDAsin(3t+小)

③

加速度方程：a=-3?ACOS(3t+6)

④

相關(guān)名詞：(3t+6)稱相位，。稱初相。

運動學(xué)參量的相互關(guān)系：a=-O2x

A=Jx；+(為2

V(o

tg(t)=一二

?x0

3、簡諧運動的合成

a、同方向、同頻率振動合成。兩個振動Xi二ACOS(3t+4>)和X2=

A2cos(3t+62)合成，可令合振動X=ACOS(3t+6),由于X=Xi+X2，

解得

A=JA；+A：+2AACOS(A，-8)，@二arctgAEn.+A’sinS

A,cos(J),+A,cos(|),

明顯，當(dāng)“2—6i=2k兀時(k=0,±1,±2,???),合振幅A最

大，當(dāng)。2—(2k+1)五時(k=0,±L±2,,??),合振幅最小。

b、方向垂直、同頻率振動合成。當(dāng)質(zhì)點同時參加兩個垂直的振動x

=Aicos(wt+%)和y=A2cos(st+62)時,這兩個忝動方程事實上已

經(jīng)構(gòu)成了質(zhì)點在二維空間運動的軌跡參數(shù)方程，消去參數(shù)t后，得一般形

式的軌跡方程為

2

二+匕一2^^cos((i)2—61)=sin(4)2—4>i)

A；A；A,A2

明顯，當(dāng)5=2kn時(k=0,±1,±2,…)，有y=dx,

A、

軌跡為直線，合運動仍為簡諧運動；

當(dāng)@2一儲=(2k+1)Ji時(k=0,±1,±2,???)，有二十工二

A；A；

1,軌跡為橢圓，合運動不再是簡諧運動：

當(dāng)—5取其它值，軌跡將更為困難，稱“李薩如圖形”，不

是簡諧運動。

C、同方向、同振幅、頻率相近的振動合成。令X產(chǎn)Acos（3]t+4））

x=Acos（wt+（b），由于合運動x=XI+X2,得：x=（2ACOS（°2-°）1t）

222

cos（耳色t+6）。合運動是振動，但不是簡諧運動，稱為角頻率為久詈

的“拍”現(xiàn)象。

4、簡諧運動的周期

由②式得：/二,而圓周運動的角速度和簡諧運動的角頻率是一

樣的，所以

T=2n后

⑤

5、簡諧運動的能量

一個做簡諧運動的振子的能量由動能和勢能構(gòu)成，即

ZE=-mv2+Ikx2=IkA2

4222

留意：振子的勢能是由（回復(fù)力系數(shù)）k和（相對平衡位置位移）X

確定的一個抽象的概念，而不是具體地指重力勢能或彈性勢能。當(dāng)我們計

量了振子的抽象勢能后，其它的具體勢能不能再做重復(fù)計量。

6、阻尼振動、受迫振動和共振

和高考要求基本相同。

二、機(jī)械波

1、波的產(chǎn)生和傳播

產(chǎn)生的過程和條件；傳播的性質(zhì)，相關(guān)參量（確定參量的物理因素）

2、機(jī)械波的描述

a、波動圖象。和振動圖象的聯(lián)系

b、波動方程

假如一列簡諧波沿x方向傳播，振源的振動方程為y=Acos(ot

+6),波的傳播速度為Y,則在離振源x處一個振動質(zhì)點的振動方程

便是

y-Acos(3t+4>-2L-2n)-Acos(3(t--)+6)

入v

這個方程展示的是一個復(fù)變函數(shù)。對隨意一個時刻t,都有一個y

(x)的正弦函數(shù)，在x-y坐標(biāo)下可以描繪出一個瞬時波形。所以，稱y

=Acos(3(t--)+6)為波動方程。

V

3、波的干涉

a、波的疊加。幾列波在同一介質(zhì)種傳播時，能獨立的維持它們的各

自形態(tài)傳播，在相遇的區(qū)域則遵從矢量疊加(包括位移、速度和加速度

的疊加)。

b、波的干涉。兩列波頻率相同、相位差

恒定時，在同一介質(zhì)中的疊加將形成一種特

別形態(tài)：振動加強(qiáng)的區(qū)域和振動減弱的區(qū)域

穩(wěn)定分布且彼此隔開。

我們可以用波程差的方法來探討干涉圖2

的定量規(guī)律。如圖2所示，我們用S和S2表示兩個波源，P表示空間隨

意一點。

當(dāng)振源的振動方向相同時，令振源Si的振動方程為打二A.COSOt,

振源S1的振動方程為y2=A2cos3t，則在空間P點(距S］為n,距

s°為n）,兩振源引起的分振動分別是

y/=Aicos（3（t一1））

V

y2'=A2cos（3（t-工））

V

P點便出現(xiàn)兩個頻率相同、初相不同的振動疊加問題（儲二處,

V

小2二些），且初相差△。二色（r-n）。依據(jù)前面已經(jīng)做過的探討,

VV2

有

r2-n=k入口寸（k=0,±1,±2,…），P點振動加強(qiáng)，振幅為

Ai+A2；

r2-r,=（2k-1）時（k=0,±1,±2,???）,P點振動減弱，

振幅為|A,-A2I<,

4、波的反射、折射和衍射

學(xué)問點和高考要求相同。

5、多普勒效應(yīng)

當(dāng)波源或者接受者相對與波的傳播介質(zhì)運動時，接收者會發(fā)覺波的頻

率發(fā)生變更。多普勒效應(yīng)的定量探討可以分為以下三種狀況（在探討中留

意：波源的發(fā)波頻率f和波相對介質(zhì)的傳播速度v是恒定不變的）-

a、只有接收者相對介質(zhì)運動（如圖3所示）

設(shè)接收者以速度v.正對靜止的波源運動。

假如接收者靜止在A點，他單位時間接收的波的個數(shù)為f,

當(dāng)他迎著波源運動時，設(shè)其在單位時間到

達(dá)B點，貝I」而二Vi,、

在從A運動到B的過程中，接收者事實上

“提前”多接收到了n個波

圖3

n=巫="二生

Xv/fv

明顯，在單位時間內(nèi)，接收者接收到的總的波的數(shù)目為：f+n=

工f,這就是接收者發(fā)覺的頻率f-即

明顯，假如W背離波源運動，只要將上式中的H代入負(fù)值即可。假

如V1的方向不是正對S,只要將u出正對的重量即可。

b、只有波源相對介質(zhì)運動（如圖4所示）

設(shè)波源以速度V2正對靜止的接收者運動。

假如波源S不動，在單位時間內(nèi)，接收者在

A點應(yīng)接收f個波，故S到A的距離：冢=f

X

在單位時間內(nèi)，S運動至S',即為二V2O

由于波源的運動，事實造成了S到A的f個波

被壓縮在了S，到A的空間里，波長將變短，

圖4

新的波長

7

入/二￡A=SA-SS^^72nv-v?

'-~T~f-ff

而每個波在介質(zhì)中的傳播速度仍為V,故“被壓縮”的波（A接收

到的波）的頻率變?yōu)?/p>

當(dāng)V2背離接收者，或有肯定夾角的探討，類似a情形。

c、當(dāng)接收者和波源均相對傳播介質(zhì)運動

當(dāng)接收者正對波源以速度5（相對介質(zhì)速度）運動，波源也正對接

收者以速度V2（相對介質(zhì)速度）運動，我們的探討可以在b情形的過程

上持續(xù)…

關(guān)于速度方向變更的問題，探討類似a情形。

6、聲波

a、樂音和噪音

聲音的三要素：音調(diào)、響度和音品

聲音的共鳴

其次講重要模型與專題

一、簡諧運動的證明與周期計算

物理情形：如圖5所示，將一粗細(xì)勻稱、兩邊開口的U型管

固定，其中裝有肯定量的水銀，汞柱總長為Lo當(dāng)水銀受到一nn

個初始的擾動后，起先在管中振動。忽視管壁對汞的阻力，試I*

1

回復(fù)力與位移關(guān)系是否滿意定義式①，值得留意的是，回復(fù)力Z戶0圖5

系指振動方向上的合力（而非整體合力）。當(dāng)簡諧運動被證明后，回復(fù)力

系數(shù)k就有了，求周期就是順理成章的事。

本題中，可設(shè)汞柱兩端偏離平衡位置的瞬時位移為X、水銀密度為P、

U型管橫截面積為S,則次瞬時的回復(fù)力

2F=Pg2xS=警x

由于L、m為固定值，可令：警=k,而且2F與x的方向相反，故

汞柱做簡諧運動。

周期T=2n后二2兀假

答：汞柱的周期為2五后o

學(xué)生活動：如圖6所示，兩個相同的柱形滾輪平行、登高、水平放置,

繞各自的軸線等角速、反方向地轉(zhuǎn)動，

在滾輪上覆蓋一塊均質(zhì)的木板。已知兩|m

滾輪軸線的距離為L、滾輪與木板之間（3

的動摩擦因素為u、木板的質(zhì)量為m,r—L------；

且木板放置時，重心不在兩滾輪的正中圖6

心。試證明木板做簡諧運動，并求木板運動的周期。

思路提示:找平衡位置（木板重心在兩滾輪中心處）一力矩平衡和ZF6二

0結(jié)合求兩處彈力f求摩擦力合力…

答案：木板運動周期為2兀屆o

鞏固應(yīng)用：如圖7所示，三根長度均為L=2.00m地質(zhì)量勻稱直桿，

構(gòu)成一正三角形框架ABC,C點懸掛在一光滑水平軸上，整個框架可繞轉(zhuǎn)

軸轉(zhuǎn)動。桿AB是一導(dǎo)軌，一電動松鼠可在導(dǎo)軌上運動?，F(xiàn)視察到松鼠正

在導(dǎo)軌上運動，而框架卻靜止不動，試探討松鼠的運動是一種什么樣的運

動。

解說：由于框架靜止不動，松鼠在豎直方

向必平衡，即：松鼠所受框架支持力等于松

鼠重力。設(shè)松鼠的質(zhì)量為田，即：

N=mg①

再回到框架，其靜止平衡必滿意框架所受

A

圖7

合力矩為零。以C點為轉(zhuǎn)軸，形成力矩的只有松鼠的壓力N、和松鼠可能

加速的靜摩擦力f,它們合力矩為零，即：

MN=M「

現(xiàn)考查松鼠在框架上的某個一般位置（如圖7,設(shè)它在導(dǎo)軌方向上距C

點為x）,上式即成：

N?x=f?Lsin60°②

解①②兩式可得：f=簪x,且f的方向水平向左°

V3L

依據(jù)牛頓第三定律，這個力就是松鼠在導(dǎo)軌方向上的合力。假如我們

以C在導(dǎo)軌上的投影點為參考點，X就是松鼠的瞬時位移。再考慮到合力

與位移的方向因素，松鼠的合力與位移滿意關(guān)系一一

Z戶二—kx

其中k二警,對于這個系統(tǒng)而言，k是固定不變的。

明顯這就是簡諧運動的定義式。

答案：松鼠做簡諧運動。

評說：這是第十三屆物理奧賽預(yù)賽試題，問法比較模糊。假如理解為

定性求解，以上答案已經(jīng)足夠。但考慮到原題中還是有定量的條件，所以

做進(jìn)一步的定量運算也是有必要的。譬如，我們可以求出松鼠的運動周期

為：T=2冗后=2n停=2.64s。

二、典型的簡諧運動

1、彈簧振子

物理情形：如圖8所示，用彈性系數(shù)為k的輕質(zhì)

彈簧連著一個質(zhì)量為m的小球，置于傾角為0的光

滑斜面上。證明：小球在彈簧方向的振動為簡諧運動,

e

圖8

并求其周期T。

學(xué)生自己證明…。周期T=2五后

模型分析：這個結(jié)論表明，彈簧振子完全可以突破放置的方向而伸展

為一個廣義的概念，且伸展后不會變更運動的實質(zhì)。其次，我們還可以這

樣拓展：把上面的下滑力換程任何一個恒力（如電場力），它的運動性質(zhì)

仍舊不會變更。

當(dāng)然，這里的運動性質(zhì)不變并不是全部運動參量均不變更。譬如，振

子的平衡位置、振動方程還是會變更的。下面我們看另一類型的拓展一一

物理情形：如圖9所示，兩根相同的彈

性系數(shù)分別為L和k2的輕質(zhì)彈簧，連接一小低產(chǎn)H

/_____________________________

Z77777777777ZZ7z/Z/Z7zZ77777777/7Z7z/

個質(zhì)量為m的滑塊，可以在光滑的水平面演°

上滑動。試求這個系統(tǒng)的振動周期To

解說：這里涉與的是彈簧的串、并聯(lián)學(xué)問綜合。依據(jù)彈性系數(shù)的定義，

不難推導(dǎo)出幾個彈性系數(shù)分別為k1、k2、…、k”的彈簧串、并聯(lián)后的彈性

系數(shù)定式（設(shè)新彈簧系統(tǒng)的彈性系數(shù)為k）一一

串聯(lián)：J=之；

kI=Ikj

并聯(lián)：k=Sk,ITWWLWV-|l-MWWW——,

在圖9所示的情形中，同學(xué)們不難得出：T=圖io

2Jl

當(dāng)情形變成圖10時?，會不會和圖9一樣呢？具體分析形變

量和受力的關(guān)系，我們會發(fā)覺，事實上，這時已經(jīng)變成了彈簧

的并聯(lián)。

圖11

思索：假如兩個彈簧通過一個動滑輪（不計質(zhì)量）再與質(zhì)量為m的鉤

碼相連，如圖11所示，鉤瑪在豎直方向上的振動周期又是多少？

解:這是一個極簡單出錯的變換一一因為圖形的外表形態(tài)很象“并聯(lián)，

但經(jīng)過細(xì)致分析后，會發(fā)覺，動滑輪在這個物理情形中起到了重要的作用

——致使這個變換的結(jié)果既不是串聯(lián)、也不是并聯(lián)。

★而且，我們前面已經(jīng)證明過，重力的存在并不會變更彈簧振子的振

動方程，所以為了便利起見，這里（包括后面一個“在思索”題）的受力

分析沒有考慮重力。

具體分析如下：

設(shè)右邊彈簧的形變量為X2、滑輪（相對彈簧自由長度時）的位移為x、

鉤子上的拉力為F,則

k]Xi=k2x2

F=2k2x2

解以上三式，得到：F二駕x,也就是說，彈簧系統(tǒng)新的彈性系數(shù)

k,+k2

k=o

再思索：假如兩彈簧和鉤碼通過輕桿和轉(zhuǎn)軸，

連成了圖12所示的系統(tǒng)，已知L、kz、m、a、

b,再求鉤碼的振動周期T。

思路提示：探討鉤碼位移和回復(fù)力關(guān)系，和“思

圖12

索”題類似。

(過程備考：設(shè)右彈簧伸長X2,則中間彈簧伸長XI='X2

al

鉤碼的位移量X=Xi+-X

b2

而鉤碼的回復(fù)力F=kiXi

結(jié)合以上三式解回復(fù)力系數(shù)k=￡=:七，所以…)

Xa*k,+b*k2

答：T=2冗尸+b%mo

;

Vbk,k2

2、單擺

單擺分析的基本點，在于探討其回復(fù)力隨位移的變更規(guī)律。相對原始

模型的伸展，一是關(guān)于擺長的變更，二是關(guān)于“視重加速度”的變更，以

與在具體情形中的處理。至于困難的搖擺情形探討，往往會超出這種基本

的變形，而僅僅是在分析方法上做適當(dāng)借鑒。

物理情形1：如圖13所示，在一輛靜止的小車

內(nèi)用長為L的輕繩靜止懸掛著一個小鋼球，當(dāng)小

車突然獲得水平方向的大小為a的加速度后(a

<g),試描述小球相對小車的運動。圖13

模型分析：小鋼球相對車向a的反方向擺起，擺至繩與豎直方向夾角

。二arctg3時，達(dá)到最大速度，此位置即是小球相對車“單擺”的平衡位

g

置。以車為參照，小球受到的場力除了重力G外，還有一慣性力F。所以,

此時小球在車中相當(dāng)于處在一個方向傾斜。、大小變?yōu)楹笮牡男隆爸?/p>

力”的作用，屬超重狀況。這是一種“視重加速度”增加的情形。

解說：由于擺長L未變，而g視二所了，

假如a很小，致使最大擺角不超過5。的話，

小角度單擺可以視為簡諧運動，周期也可以求

圖14

出來。

答案：小球以繩偏離豎直方向9"arctg3的角度為平衡位置做最大擺

g

角為。的單擺運動，假如0W5。，則小球的搖擺周期為T=2兀1-^=

物理情形2：某秋千兩邊繩子不等長，且懸點不等高，相關(guān)數(shù)據(jù)如圖

14所示，且有a?+b2=L；+U,試求它的周期（認(rèn)為人的體積足夠?。?/p>

模型分析：用C球替代人，它事實上是在繞AB軸

搖擺，類似將單擺放置在光滑斜面上的情形。故視重

加速度g視二geos0=g——,等效擺長1二5，

Va2+b2

如圖15所示。

由于a2+b2=L；+L；可知,AC±CB,因此不難

求出

,最終應(yīng)用單擺周期公式即可。

答案：T=2nJLti

ag

相關(guān)變換1：如圖16所示，質(zhì)量為M的車廂中用長為L的細(xì)繩懸掛著

一個質(zhì)量為m的小球，車輪與水平地面間的摩擦不計，試求這個系統(tǒng)做微

小振動的周期。

分析：我們知道，證明小角度單擺作簡諧運動用

到了近似處理。在本題，也必需充分理解“小角度”

的含義，大膽地應(yīng)用近似處理方法。

解法一：以車為參照，小球?qū)⑾鄬σ粋€非慣性系

作單擺運動，在一般方位角0的受力如圖17所示，

其中慣性力F二ma,且a為車子的加速度。由于球在垂直T方向振動,

故回復(fù)力

Fa=Gsin0+Feos0=mgsin0+macos0①

*由于球作“微小”搖擺，其圓周運動效應(yīng)可以忽視，故有

T+Fsin。七mgeos8②

再隔離車，有TsinO二Ma③

解①②③式得F同=m(m+M)g;in。/

M+msin10

*再由于球作“微小”搖擺，si/O-O，所以=mm+M)g$ine7；

M/

④

令擺球的振動位移為x，常規(guī)處理Sin62L?

L圖17

⑤

解④⑤即得F回二嗯產(chǎn)x

ML

明顯，嘿普=k是恒定的，所以小球作簡諧運動。最終求周期用

公式即可。

解法二：由于車和球的系統(tǒng)不受合外力，故系統(tǒng)質(zhì)心無加速度。小球

可以看成是繞此質(zhì)心作單擺運動，而新擺長L'會小于二。由于質(zhì)心是慣

性參照系，故小球的受力、回復(fù)力的合成就很常規(guī)了。

若繩子在車內(nèi)的懸掛點在正中心，則質(zhì)心在水平方向上應(yīng)與小球相距

x=^-LsinO,不難理解，“新擺長"1。(從嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊饬x上

m+Mm+M

來講，這個“擺長”并不固定：隨著車往“平衡位置”靠近，它會加長。

所以，這里的等效擺長得出和解法一的忽視圓周運動效應(yīng)事實上都是一種

相對“模糊”的處理。假如非要做精準(zhǔn)的運算，不啟用高等數(shù)學(xué)工具唯恐

不行。)

相關(guān)變換2：如圖18所示，有一個均質(zhì)的細(xì)

圓環(huán)，借助一些質(zhì)量不計的輻條，將一個與環(huán)

等質(zhì)量的小球固定于環(huán)心處，然后用三根豎直

的、長度均為L且不行伸長的輕繩將這個物體

懸掛在天花板上，環(huán)上三個結(jié)點之間的距離相

等。試求這個物體在水平方向做微小扭動的周

期。

分析：此題的分析角度大變。象分析其它物理問題一樣，分析振動也

有動力學(xué)途徑和能量兩種途徑，此處若援用動力學(xué)途徑尋求回復(fù)力系數(shù)k

有相當(dāng)?shù)碾y度，因此啟用能量分析。

本題的任務(wù)不在簡諧運動的證明，而是可以干脆應(yīng)用簡諧運動的相關(guān)

結(jié)論。依據(jù)前面的介紹，任何簡諧運動的總能都可以表達(dá)為

E二*①

而我們對過程進(jìn)行具體分析時，令最大擺角為0

（為了便于尋求參量，這里把擺角夸大了）、環(huán)和球的

質(zhì)量均為m,發(fā)覺最大的勢能（即總能）可以表達(dá)為

（參見圖19）

E=2m,gL（l-cos0）②

且振幅A可以表達(dá)為

A=2Lsin1③

解①②③式易得：k二等

最終求周期時應(yīng)留意，中間的球體未參加振動，故不能納入振子質(zhì)量

（振子質(zhì)量只有m）o

答：T二兀p。

三、振動的合成

物理情形：如圖20所示，一個手電筒和一個屏

幕的質(zhì)量均為m,都被彈性系數(shù)為k的彈簧懸掛著。

平衡時手電筒的光斑恰好照在屏幕的正中心0點。

現(xiàn)在令手電筒和屏幕都在豎直方向上振動（無水平

晃動或扭動），振動方程分別為Yi=Acos（wt+

*1）,y2=Acos（wt+M）。試問：兩者初位相

滿意什么條件時，可以形成這樣的效果：（1）光斑相對屏幕靜止不動：（2）

光斑相對屏幕作振幅為2A的振動。

模型分析：振動的疊加包括振動的相加和相減。這里考查光斑相對屏

幕的運動事實上是尋求手電筒相對屏幕的振動，聽從振動的減法。設(shè)相對

振動為y,有

y=yi-y2=Acos（3t+6）-Acos（cot+62）

=-2Asin叫一sin（＜o(jì)i+%）

262

解說：（1）光斑相對屏幕靜止不動，即y=0,得儲=

（2）要振幅為2A,必需sin曳芳二1,得儲-小2二土兀

答案：初位相相同；初位相相反。

相關(guān)變換：一質(zhì)點同時參加兩個垂直的簡諧運動，其表達(dá)式分別為X二

2cos（231+26）,y=sin3t。（1）設(shè)6二,求質(zhì)點的軌跡方程,

并在xOy平面繪出其曲線；（2）設(shè)6=兀,軌跡曲線又怎樣？

解：兩個振動方程事實已經(jīng)構(gòu)成了質(zhì)點軌跡的參數(shù)方程，我們所要做

的，只不過是消掉參數(shù)，并尋求在兩個具體4>值下的特解。在實際操作

時，將這兩項工作的次序顛倒會便利一些。

(1)當(dāng)巾二］時，x=-2(1-2sincot),即x=4/—2

描圖時應(yīng)留意，振動的物理意義體現(xiàn)在：函數(shù)的定義域TWyW1

(這事實上已經(jīng)確定了值域fWxW2)

(2)當(dāng)6二人時，同理x=2(1-2sin2wt)=2-4y2

答：軌跡方程分別為x=4y2-2和x=2-4y2,曲線分別如圖21

的(a)(b)所示----

圖21

四、簡諧波的基本計算

物理情形：一平面簡諧波向t方向傳播，振幅A=6cm,圓頻率3=6

nrad/s,當(dāng)t=2.Os時，距原點0為12cm處的P點的振動狀態(tài)為yp二

3cm，且VP>0,而距原點22cm處的Q點的振動狀態(tài)為yQ=0，且VQ<

0o設(shè)波長X>10cm,求振動方程，并畫出t二0時的波形圖。

解說：這是一個對波動方程進(jìn)行了解的基本訓(xùn)練題。簡諧波方程的一

般形式已經(jīng)總結(jié)得出，在知道A、3的前提下，加上本題給出的兩個特解,

應(yīng)當(dāng)足以解出v和6值。

由一般的波動方程y=Acos(3(t--)+@)

V

(★說明：假如我們狹義地理解為波源就在坐標(biāo)原點的話，題目給出

特解是不存在的一一因為波向T方向傳播一一所以，此處的波源不在原

點。同學(xué)們自己理解：由于初相6的隨意性，上面的波動方程對波源不在

原點的情形也是適用的。）

參照簡諧運動的位移方程和速度方程的關(guān)系，可以得出上面波動方程

所對應(yīng)質(zhì)點的速度（復(fù)變函數(shù)）

v=-wAsin(3(t--)+6)

V

代t=2.Os時P的特解，有一

y=6cos(6n(2--)+(i))=3v=T6“sin(6n(2-丑)

PPV

+6)>0

BP6JI(2-—)+4)=2kiJi--①

v3

代t=2.0s時Q的特解，有一一

y=6cos(6n(2--)+(!))=0,v=-36nsin(6n(2-—)

QVQV

+*)<0

BP6n(2-—)+<|)=2k2n+-②

v2

又由于AB=22-12=10<x，故ki=k2。解①②兩式易得

v=-72cm/s，(b=—(或一生)

33

所以波動方程為：y=6cos(6n(t