第=page11頁，共=sectionpages11頁華大新高考聯盟2025屆高三下學期3月教學質量測評數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={?3,?2,0,2}，B={x|?1<x<4}，則A∩B的子集個數為(

)A.2 B.4 C.8 D.162.(1?5i)(4+3i)在復平面內所對應的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知某機械在生產正常的情況下，生產出的產品的指標參數符合正態分布N(100,16).現從該機械生產出的所有產品中隨機抽取2件，則這2件產品的質量指標分別在(96,112)和(92,108)的概率為(運算結果保留小數點后兩位)(

)

參考數據：若X服從正態分布(μ,σ2)，則P(μ?σ<X<μ+σ)=0.6827，P(μ?2σ<X<μ+2σ)=0.9545，P(μ?3σ<X<μ+3σ)=0.9973A.0.57 B.0.75 C.0.80 D.0.844.已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中acosB+bcosA=3ctanC，若c=A.16π B.25π C.36π D.49π5.如圖，已知在四面體ABCD中，△BCD為等邊三角形，AB=3，△BCD的面積為3，點A在平面BCD上的投影為點B，點M，N分別為AC，CD的中點，則(

)

A.MN與BD相交 B.MN與AD異面 C.BM⊥AN D.DM⊥BN6.進位制是人們為了計數和運算方便而約定的記數系統，約定滿十進一就是十進制，滿八進一就是八進制，即“滿幾進一”就是幾進制，不同進制的數可以相互轉換，如十進制下，159=2×82+3×8+7，用八進制表示159這個數就是237.現用八進制表示十進制的719A.3 B.4 C.5 D.77.已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長為4，側棱長為2，點M在平面B1BCC1上(A.3?2 B.23?8.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線上，且|PF1A.y=±x B.y=±2x C.y=±二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數f(x)=2cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示，其中A(π6,0)，B(2πA.f(x)的最小正周期為π B.f(0)≠f(11π6)

C.f(x)在[π,3π2]上單調遞減 D.10.已知函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)A.y=|f(x)|的圖象關于直線x=2對稱 B.g(0)=0

C.ab<0 D.f(0)+f(4)=611.19世紀俄國數學家切比雪夫在研究統計的規律中，用標準差表達并論證了一個不等式，該不等式被稱為切比雪夫不等式，它可以使人們在隨機變量X的分布未知的情況下，對事件|X?μ|<ε做出估計.切比雪夫不等式定義為：若隨機變量X具有數學期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2，則對任意正數ε，不等式P(|X?μ|<ε)≥1?σ2作物類別數量作物平均高度/cm作物高度的方差雄性作物5030256雌性作物5020361由本次的試種可知，該新型作物的高度受到環境、肥料等一系列因素的影響，每株作物成長到達標高度的概率為0.6，則下列說法正確的是(

)A.本次種植實驗中被調研的所有作物的高度的平均值為25

B.本次種植實驗中被調研的所有作物的高度的方差為313.5

C.為了保證下一次種植實驗中至少有90%的作物的高度達到預定達標高度的頻率大于0.3且小于0.9，則根據切比雪夫不等式可以估計下一次最少種植27株

D.經過幾次實驗之后，作物最終成長的高度到達24cm及以上的頻率為0.8，若種植20000株此類作物，則作物存活16000株的概率最大三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知O為坐標原點，拋物線C:y2=8x的焦點為F，點M(2,y0)在拋物線C13.已知在梯形ABCD中，BC=2AD，若M為CD邊上靠近C的三等分點，且BM=xAB+yAD14.已知m=99?912個9，n=66?68個6，則m，n的最大公約數為四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)為了了解某地25～40歲居民的工資情況，研究人員隨機抽取了部分居民進行調查，所得數據統計如下表所示：工資超過3500工資不超過3500合計男性居民200180女性居民280240合計(1)完善上述表格并依據小概率值α=0.05的獨立性檢驗，能否認為工資的多少與居民的性別具有相關性?(2)以頻率估計概率，若在該地所有居民中隨機抽取3人，求至少2人工資超過3500的概率．附：χ2P(0.050.010.001k3.8416.63510.82816.(本小題15分)已知數列{an}的首項為2，前n項和為S(1)求數列{an(2)求滿足an>3n+52(3)已知bn=16an+6n?20，記數列{b17.(本小題15分)已知函數f(x)的導函數為f′(x)，若f′(x)在區間D上單調遞增，則稱f(x)為區間D上的凹函數;若f′(x)在區間D上單調遞減，則稱f(x)為區間D上的凸函數.已知函數f(x)=x(1)若f(x)在[2,3]上為凹函數，求實數λ的取值范圍;(2)已知F(x)=f(x?1)，且F(x)在(1,+∞)上存在零點，求實數λ的取值范圍．18.(本小題17分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點(?1,32)，(1)求橢圓C的方程;(2)若直線l的斜率為12，求|MN|的值(3)已知M′(4,y1)，直線M′N交x軸于點P，若四邊形MAPM′為等腰梯形，求直線19.(本小題17分)已知四棱錐S?ABCD的底面ABCD為平行四邊形，SA=AB=SB，SB⊥AC，∠ABC=60°，BC=2，(1)求三棱錐S?ABC外接球的表面積．(2)設T為線段SD上的點．(ⅰ)若ST=13SD，求直線AC(ⅱ)平面α過點B，T，且AC//平面α，探究：是否存在點T，使得平面SAD與平面α之間所成角的正切值為34，若存在，求出STSD的值;若不存在，請說明理由．參考答案1.B

2.D

3.C

4.B

5.C

6.D

7.D

8.B

9.AD

10.BCD

11.ACD

12.2513.4314.3333

15.解：(1)完善表格如下表所示：

零假設：依據小概率值α=0.05的獨立性檢驗，不能認為工資的多少與居民的性別具有相關性，

則χ2=900×(200×240?180×280)2380×520×480×420≈0.13<3.841，

故依據小概率值α=0.05的獨立性檢驗，假設成立，

即不能認為工資的多少與居民的性別具有相關性．

(2)記至少2人工資超過350016.解：(1)∵Sn+1+2=an+3n+Sn，

∴an+1?an=3n?2，

則當n≥2時，a2?a1=1，a3?a2=4，??,an?an?1=3n?5，

累加可得，an?a1=(1+3n?5)(n?1)2=3n2?7n+42，

故an=3n2?7n+82，

當n=1時，a1=2滿足上式，

所以a17.解：(1)f′(x)=1?xex+λx+1=m(x)，

則m′(x)=x?2ex?λ(x+1)2，依題意知，m′(x)≥0對任意的x∈[2,3]恒成立，

則(x+1)2(x?2)ex≥λ恒成立，

令n(x)=(x+1)2(x?2)ex=x3?3x?2ex，x∈[2,3]，

則n′(x)=1ex(?x3+3x2+3x?1)=x+1ex(?x2+4x?1)>0，

故n(x)在[2,3]上單調遞增，故n(2)=0≥λ，則實數λ的取值范圍為(?∞,0]．

(2)依題意得，F(x)=f(x?1)=x?1ex?1+λlnx.

若λ≥0，當x>1時，x?1ex?1>0，lnx>0，

所以F(x)>0，F(x)在(1,+∞)上無零點，舍去．

若λ<0，則F′(x)=λex?1?x2+2xxex?1，令g(x)=λex?1?x2+2x，

則g′(x)=λex?1?2(x?1)<0，則g(x)在(1,+∞)上單調遞減，且g(1)=λ+118.解：(1)依題意得，1a2+34b2=1,14a2+1516b2=1,解得a2=4，b2=1，

故橢圓C的方程為x24+y2=1．

(2)依題意得，直線l的方程為y=12(x?1)，聯立x24+y2=1,y=12(x?1),

整理得，2x2?2x?3=0，故x1+x2=1，x1x2=?32，

故|MN|=1+k2|x1?x2|=1+k2?(x1+x2)2?4x1x2=1+14?1+6=35219.解：(1)因為∠ABC=60°，BC=2，AB=1，

故AC2=AB2+BC2?2AB?BC?cos∠ABC=3，

故△ABC為直角三角形，即AB⊥AC．

而SB⊥AC，SB∩AB=B，SB，AB?平面SAB，則AC⊥平面SAB．

又因為AC?平面ABCD，所以平面SAB⊥平面ABCD．

過△SAB的外接圓圓心O1作直線l1垂直于平面SAB，

過線段BC的中點O2作直線l2垂直于平面ABCD，其中l1∩l2=O3，

則O3即為三棱錐S?ABC的外接球球心，

則O2O3=36，故BO3=BO22+O2O32=1312，

故三棱錐S?ABC外接球的表面積S=4πR2=4π×BO32=4π×1312=13π3

(2)(i)以AB的中點O為原點，OB為x軸，平行AC方向為y軸，OS為z軸，建立如圖1所示的空間直角坐標系，

則A(?12,0,0)，B(12,0,0)，C(?12,3,0)，S(0,0,32)，D(?32,3,0)，

而ST=13SD，故T(?12,33,