第9章頻域穩(wěn)定性

基礎(chǔ)練習(xí)題

E9.1某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞法數(shù)為L（S）=G.（S）G（S）=.0+5二，81）繪制其伯德

圖,并驗證增益裕度和相角裕度分別約為26.2dB和17.5°o

【解析】傳遞函數(shù)G,.（S）G（S）的伯德圖如圖所示，其中

增益裕度和用角裕度分別為G.M.=26.2dB,

G('s，)G('s)，=-s--(-l--+--5--s)(l+s…/9+//8i)、

尸."=17.5°。

K(l+s/5)

E9.2某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為￡（5）=G＜（3）G（S）=其中,AT-10.5

5(14-5/2)(1+5/10)o

驗證系統(tǒng)幅頻曲線與OdB線的穿越頻率為5rad/s,相角裕度為40,。

10.5(1+5/5)

【解析】開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)G(s)=伯德圖如圖所示。當(dāng)

5(1+.v/2)(l+5/IO)

3c=496rad/sec時相角裕度為P.M.=40.4,

BodeOdgram

Gm-radMC>,Pm-404deq(?496

8

A

x

s

c

50

a

a

s

a-50

100

豈-90

W?135

M

d

to'10'

Frequency(radsec)

E9.3某集成電路可以用做反饋系統(tǒng)，以便調(diào)節(jié)電源的輸出電壓。該電路開環(huán)傳遞函數(shù)

的伯德圖如圖E9.3所示，試求其增益裕度和相角裕度。

【解析】在200kHz時相角裕度為只例.丈75,我們估計2MHz時相角為-180°,故增益裕

度為G.M.=25dBo

E9.4某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G,、（s）G（s）=八、若希望閉環(huán)諧振峰值達(dá)到

*53°+?1。）

Mp?二3.0dB,而現(xiàn)有系統(tǒng)的諧振頻率處在6?9rad/s之間,諧振峰值僅為1.25dB。在6~15

rad/s的頻率范圍內(nèi)繪制系統(tǒng)的尼科爾斯圖，并證明為了達(dá)到所需要的諧振峰值，應(yīng)該將系

統(tǒng)增益提高4.6dB,即提高到171。最后，計算調(diào)整后系統(tǒng)的諧振頻率。

100

【解析】開環(huán)傳遞函數(shù)為伉（s）G（$）=尼科爾斯圖如下圖所示。當(dāng)系統(tǒng)增益提

5(5+10)

高4.6dB時，M=3,諧振頻率為"=ll「ad/sec0

Phaie（deg）

E9.5某集成CMOS電路的伯德圖如圖E9.5所示。

（a）試求出增益裕度和相角裕度。

(b)為了使相角裕度達(dá)到60,系統(tǒng)增益應(yīng)該下降多少(dB)?

【解析】(a)G.M.a5dE,

(b)為了使相角裕度達(dá)到60°,系統(tǒng)增益應(yīng)該下降10dB。

K(s+100)

E9.6某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為L(s)=(s)G(s)當(dāng)K=500時，系統(tǒng)

s(s+10)(s+40)

是不穩(wěn)定的。試驗證，當(dāng)增益減小為50時，諧振峰值為3.5dB,并找出此時的相角裕度.

/、50(s+l()0)

【解析】閉環(huán)傳遞函數(shù)為T(s):3<…，伯德圖如下。Mpe=3dB,當(dāng)

s+50s+450s+5()00

長=50時。.加.=40°。

E9.7某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為L(s)=G,(s)G(s)=試?yán)媚慰固貓D,

s~~5

確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。

【解析】K=5時奈奎斯特圖如下，曲線為一個直徑為K/5的圓。當(dāng)K〉5時，P=\,N=7,

故2='+P=-1+1=0,且當(dāng)K〉5時系統(tǒng)穩(wěn)定。

NyquistDogram

?

<x

JA

UV

d-

-a

E9.8某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為“s)=G,(s)G(s)=+s+2)

閉環(huán)頻率響應(yīng)如下圖所示,帶寬為緯=6rad/seco

10(l+0.4.v)

E9.ll某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G,(s)G(s)

5(1+25)(1+0.24.V+0.0452)

(a)繪制伯德圖。

(b)求出系統(tǒng)的增益裕度和相角裕度。

【解析】伯德圖如下，系統(tǒng)穩(wěn)定。

BodeOiagrtm

Gm-3.91dB(at3.74sec).Pm-144deg(a2.76rM'MC)

100

-

O

10',100

Frequency(radseci

E9.12考慮圖9.1所示的閉環(huán)系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為G,(s)G(s)=————；——萬其

S(T1S+1)(+11

中，r(=0.02S,r2—0.2So

(a)確定K的取值，便系統(tǒng)對斜坡輸入廠(。=A/,f20的穩(wěn)態(tài)誤差為斜坡輸入幅度A

的10%0

(b)繪制G'.(s)G(s)的伯德圖，并求出系統(tǒng)的增益裕度和相角裕度。

(c)利用尼科爾斯圖求出閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬,%,諧振峰值"p0和諧振頻率?

【解析】取K=10來滿足穩(wěn)態(tài)誤差為斜坡輸入幅度的10%。伯德圖和尼科爾斯圖如下，

15()

E9.13某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為L(s)=Gc(s)G(s)=

s(s+5)

(a)利用尼科爾斯圖，計算閉環(huán)頻率響應(yīng)的最大幅值。

(b)求出閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬和諧振頻率。

(c)用頻域指標(biāo)估計系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量。

【解析】(a)尼科爾斯圖如下，Mpe=7.97dB。

18.65rad/sec,

諧振頻率為?=11工9rad/seco

算帶為

估統(tǒng)

，系數(shù)

據(jù)環(huán)函

數(shù)閉

率遞

求。c

頻J傳e

的八Us

2環(huán)/d

出+a

嗎閉r

給/R4.

表S則6

下==

),

合s

(紂

結(jié)G)

，)U2寬

s帶

圖(嗎+

斯,s，

。G(s示

%爾=

2科所

)上

5尼s圖

=(如

.的L網(wǎng)

O.)為圖

P3數(shù)卜值

0。函幅

故,Gc伍

e遞的

2.)us為

3B/d。傳統(tǒng)

00dac系

=re環(huán)數(shù)

-o63s開環(huán)

GG)=/°函

Ba=da0的閉

算統(tǒng)d2r03，

估(M統(tǒng)遞

系值0°=0

,。。l系傳0

。了：值==

B峰饋1

8Psed出已物。"4”——+

標(biāo)振.反環(huán)

8給峰率寬度為0P5

=4指諧=負(fù)—0

1頻帶裕)率8度開

0.統(tǒng)振a位2

p9系振B角(頻。裕】—+

MEd振寬角單1

環(huán)諧諧3相】-

由圖))諧帶相某析=

4閉57

)1bd析)))1)

c.列))bcd.。解5

(9a((c((解【(((9【('

E下E寬T

BedeDiagram

￡3?-2

-Y3

號

一

6c

g

-5

10°10-

Frequency(rad'sec)

丁*1-B/2

E9.16純時延環(huán)節(jié)"'7的傳遞函數(shù)可以近似表示為*丁八其中,0＜。＜2/7。當(dāng)

1+Is2

7=0.2,即時，分別繪制實(shí)際傳遞函數(shù)和近似傳遞函數(shù)的伯德圖。

］一/◎10

【解析】近似傳遞函數(shù)為GO。)，"；①]0,幅值為Q(9)|==1,其等于

i+a/io

實(shí)際的時延幅度。相角近似為。=TanTM0+tanT(-3/10)=-2tanT?/10,實(shí)際相角

為。=一0.2口。相角圖如圖所示，&＜3rad/sec時近似值是準(zhǔn)確的。

Actual&Approximatx)n

-120

10"101101

Frequency(rad'sec)

\K(s+2)

E9.17某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為L(s)=Gc(s)G(s)=$+；『+&

(a)繪制伯德圖。

(b)確定增益K的合適取值，使系統(tǒng)的相角裕度達(dá)到30\并計算此時系統(tǒng)斜坡響應(yīng)的穩(wěn)

態(tài)誤差。

【解析】系統(tǒng)的相角裕度達(dá)到30：,則相位角為。=—9O°+tanT@—tan-i3y=-15()°,

215-5

./、IK(4+41

解得@=47@6(汝------------------------=1,則K=10.82。伯德圖如下。

0((2蘇)-+(15-1)]2

80ddO?grarm

5=35545dB(M43301rad/secXPm=40deg.僮3.5147rad/sec)

0

-P

J

P

Z

&

M?B

_

6

3

一

Frequency(rX/xd

R(s)=NS~時斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為e.=/■=弋-0.60A。

、/MK、10K

nr

E9.18在磁盤驅(qū)動器的執(zhí)行機(jī)構(gòu)中，常用防震支架來吸收頻率為60HZ左右的震蕩能量。若

減震控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G,(S)G(S)的伯德圖如圖E9.18所示。

(a)估算閉環(huán)階躍響應(yīng)的超調(diào)量(%)?

(b)估算系統(tǒng)的閉環(huán)帶寬。

(c)估算系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間(按2%準(zhǔn)則)o

【解析】(a)在"=486%時有增益交叉，相角裕度為2M.=36.2°,故G、0.36。閉環(huán)

階躍響應(yīng)的超調(diào)量為P.O.=100"6/叱=30%。

(b)估算系統(tǒng)帶寬為^^2萬(600)。

44

⑹近似值與5=2萬(48。)，則…嬴=(0.36)21(480)/，。

E9.19使用比例控制器G，(s)=K的單位負(fù)反饋系統(tǒng)的受控對象為6(5)=：^確定K

的取值,使系統(tǒng)的相角裕度達(dá)到50',并計算此時的增益裕度。

0Ai-Ob

e-1675e

【解析】K=16.75時傳遞函數(shù)為G(s)G(s)=K底而=：；10,伯德圖如下。相角

裕度和增益裕度為P.M.=50.0,G.M.=2.72dB0

GE27233㈤Urt206l8xc).Pm?5080MU434dec)

E9.20在高速公路上，一位司機(jī)駕駛汽車跟在另外一輛汽車后面。若將司機(jī)也考慮在內(nèi)，汽

車系統(tǒng)的簡化模型可以用圖E9.20的框圖表示，該模型考慮了司機(jī)的反應(yīng)時延下。不同的

司機(jī)具有不同的反應(yīng)時延，假設(shè)一個司機(jī)的反應(yīng)時延為1s,另一個為1.5So當(dāng)前面一輛汽車

緊急剎車時，司機(jī)獲得階躍輸入R(s)=-l/s,分別確定不同司機(jī)駕駛的車輛的時域輸出響

應(yīng))?)(也就是汽車的動態(tài)剎車過程)。

司機(jī)

*Y(s)

R(s)

~2汽車速度

圖E9.20汽車控制系統(tǒng)

【解析】兩個司機(jī)駕駛的系統(tǒng)響應(yīng)如圖

當(dāng).帶

)B環(huán)

-0d

-5閉

-+4

-0.，的

-s20

-()16統(tǒng)

-2-=系

-..

-+M"出

-,

-s(.求

G~)

。l〃圖

=豆+斯

)。下。則

S-s,爾

度如7(度

(=4科

G裕裕

)圖)=尼

SS角

益德(K用

(增G相

伯)的使。

G和S8

=統(tǒng)益3

度)))(

)cc增4

0ex系

S裕s//G

5dd小=

^rQ出

角+(l=

"yy

一cc)求減K

snn，

為相(eeS

uu圖0。有

、)qq(

數(shù)ererL6

2FF德定時

函率+為于穩(wěn)

頻s伯此

遞(數(shù)小統(tǒng)，

越刀s的

傳函)不系統(tǒng)

穿二s,

環(huán))遞(度°系

開線SG裕9

B(傳).的

的d環(huán)s角6。

G(出即

統(tǒng)O).(相3

S開給

系的(G使=”

、的.中

制統(tǒng)G統(tǒng)用，M1值

06cmpamx>p>3一一qoulo-nv.2.峰

控系為系利值P9

,取振

饋算數(shù)饋時E

計0的0題諧

反函反1

負(fù)，,1習(xí)和

遞5負(fù)=K=

位時8.慮率

0傳位K定K

單06單考頻

】1令確】振

某3=某))再

11析.2析3諧

2.=2.ab2.、

9解【M9((解【9

EKREE寬

438

【解析】G(s)G叱(-2)(.0)，尼科爾斯侵如下。

「0

Phw(deg)

M磨)=1.6598(4.4dB),3r-2.4228rad/sec,%=4.5834rad/sec,,

E9.24某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為L(5)=G,(s)G(s)=-^―其中K=1/2,

7=1。圖E9.24給出了Gr(/0)G(〃y)的極坐標(biāo)圖，用奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)

的穩(wěn)定性。

圖E9.24G(S)G(S)=K/(-l+7S)的極坐標(biāo)圖

【解析】由奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)，有尸=1,乂=0即2=2+2=1,因此，系統(tǒng)在右半平

面有一個根。

117

E9.25某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為L(s)=G,(s)G(s)=八…試

s(l+0.05s)(1+0.1s)

估算系統(tǒng)的相角裕度和OdB線穿越頻率。

【解析】伯德圖如下。

。,的度

陶B統(tǒng)裕

d

和6系益

7使增

叼.

6了的

，=

的°為時

p此

MM)

6算。

的，K+

統(tǒng)估

知——s)

系(并6