知識梳理一、一次函數的圖象與性質概念一般地，形如（是常數，）的函數，叫作一次函數（特別地，當時，是正比例函數）的作用的符號函數增減性或圖象的傾斜方向；直線的傾斜程度的作用的符號直線與軸交點的位置圖象經過的象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四增減性隨的增大而增大隨的增大而減小與坐標軸的交點令，求對應的值，與軸的交點坐標為；令，求對應的值，與軸的交點坐標為二、一次函數圖象的平移平移情況解析式變化情況【溫馨提示】（1）簡記為“左加右減自變量，上加下減常數項”；（2）直線可以看作由直線向上或向下平移個單位得到向上平移個單位向下平移個單位向左平移個單位向右平移個單位【拓展】同一平面直角坐標系中兩直線，的位置關系的關系與的關系與相交，與相交于軸上的一點，與平行三、一次函數的解析式待定系數法的步驟（1）設：設所求一次函數的解析式為；（2）代：將圖象上的點的橫坐標、縱坐標分別代換，得到方程組（3）解：解關于的值代入中，從而得到函數解析式常見類型（1）兩點型：直接運動待定系數法求解；（2）平移型：由平移前后不變，設出平移后的函數解析式，再代入已知點坐標即可四、一次函數與一次方程（組）、一元一次不等式（組）一次函數與一元一次方程的關系1.一次函數與一元一次方程的關系（1）從“數”上看：函數中，當時，的值方程的解.（2）從“形”上看：函數的圖象與軸的交點的橫坐標方程的解2.利用一次函數的圖象解一元一次方程的步驟（1）轉化：將一元一次方程轉化為一次函數（2）畫圖象：畫出一次函數的圖象（3）找交點：找出一次函數圖象與軸的交點，則交點的橫坐標即一元一次方程的解.【注意】對于一次函數，已知的值，求的值，或已知的值求的值，就是把問題轉化為關于或的一元一次方程來求解.【拓展】方程的解函數中，時的值；方程的解函數的圖象與直線的交點的橫坐標.一次函數與一元一次不等式的關系因為任何一個以為未知數的一元一次不等式都可以變形為或的形式，所以解一元一次不等式可以看成求一次函數的函數值大于0或小于0時，自變量的取值范圍.一次函數與一元一次不等式（或）的關系如下：一次函數與一元一次不等式的關系數的角度不等于的解集在函數中，時的取值范圍不等式的解集在函數中，時的取值范圍形的角度不等式的解集直線在軸上方的部分所對應的的取值范圍不等式的解集直線在軸下方的部分所對應的的取值范圍例如：一次函數與一元一次不等式【拓展】直線與直線的交點的橫坐標即為方程的解；不等式（或）的解集就是直線在直線上（或下）方部分對應的的取值范圍.如圖所示，方程的解為；不等式的解集為；不等式的解集為.一次函數與二元一次方程（組）的關系一次函數圖象一次函數圖象上點的坐標二元一次方程的解一次函數二元一次方程相互轉化一一一一對應2.二元一次方程組（都不為0，且,都是常數）的解是一次函數和圖象的交點坐標.【注意】每個二元一次方程都對應一個一次函數，也就是對應一條直線，因此每個二元一次方程組都對應兩個一次函數，也就是對應兩條直線.3.用圖象法求二元一次方程組的解的一般步驟（1）變函數：把方程組化為一次函數與.（2）畫圖象：建立一個平面直角坐標系，畫出兩個一次函數的圖象.（3）找交點：由圖象確定兩直線交點的坐標.（4）寫結論：依據點的坐標寫出方程組的解.【注意】用圖象法解二元一次方程組要求作圖精準，且有時只能得到近似解.【拓展】二元一次方程組中的兩個方程化為一次函數后，其圖象可能是兩條相交直線、兩條重合直線或兩條平行直線，因此，方程組可能有唯一解、無窮多解或無解.如的兩個方程化為一次函數后，其圖象是兩條平行的直線，故方程組無解.五、一次函數的應用判斷等量關系為一次函數的情況（1）函數圖象是直線（或直線的一部分）；（2）用表格呈現數據時：當自變量的變化值均勻時，函數的變化值也是均勻的，而且當自變量的變化值為1時，函數的變化值就是自變量的系數；（3）用語言呈現數據時：當自變量每變化1個單位時，因變量就相應變化個單位常見類型（1）最優方案或方案選擇問題：常通過比價函數值的大小關系確定方案；（2）利潤最大或費用最少問題：通過函數增減性確定最值.注意：根據實際情況確定變量的取值范圍方法點撥1.解正比例函數的圖象與性質問題形如（是常數，）的函數叫做正比例函數.正比例函數（是常數，）的圖象是一條經過原點的直線.當時，圖象經過第一、三象限，隨的增大而增大；當時，圖象經過第二、四象限，隨的增大而減小.正比例函數圖象上的任意一點中都滿足函數解析式.2.解一次函數的圖象與性質問題一次函數（是常數，）的圖象是一條直線.當時，其圖象一定經過第一、三象限，隨的增大而增大，這時直線由左至右上升；當時，其圖象一定經過第二、四象限，隨的增大而減小，這時直線由左至右下降；3.兩個一次函數圖象的識別方法方法一：選定一個函數圖象確定的符號，看另一個函數圖象的位置是否符合.方法二：按同號和異號四種情況討論，看兩個圖象是否同時符合，若符合，則正確；若不符合，則錯誤.方法三：確定兩個一次函數各自的的符號，看結果是否一致，若一致，則正確；若不一致，則錯誤.4.比較函數值大小的方法對于函數值的大小比較問題，一般有三種方法：一是直接法，即直接代入函數解析式求出對應的函數值進行比較；二是利用函數的增減性比較函數值的大小；三是畫出一次函數圖象，在函數圖象上標出點，直接觀察圖象比較大小.5.求直線與坐標軸圍成的幾何圖形的面積的方法先求出直線與直線、直線與坐標軸的交點坐標，再利用數形結合的方法求解，計算時要注意線段的長與坐標的關系.6.解一次函數與方程（組）之間關系的問題對于一次函數來說，當時，就是關于的一元一次方程，反之，一元一次方程就是一次函數當時的一種特殊情況，而兩條直線的交點坐標就是對應二元一次方程組的解.【方法總結】關于的一元一次方程的解，實際上可以看作是一次函數的函數值時對應的值.7.解一次函數與不等式之間關系的問題①對于一次函數，從圖象上看，的解集是直線位于軸上方部分相應的取值范圍；的解集是直線位于軸下方部分相應的取值范圍.②對于一次函數和，從圖象上看，不等式的解集就是直線位于直線上方部分對應的的取值范圍；不等式的解集就是直線位于直線下方部分對應的的取值范圍.根據兩個一次函數的圖象來確定其所對應的有關不等式的解集，實質上是確定其中一個函數圖象在另一個函數圖象上（下）方所有點的橫坐標構成的集合.【方法總結】要比較兩個一次函數值的大小，可借助不等式加以解決.8.一次函數圖象的平移規律（1）上、下平移：直線向上平移個單位長度得到直線；直線向下平移個單位長度得到直線.簡記為：上加下減（只改變）.（2）左、右平移：直線向左平移個單位長度得到直線；直線向右平移個單位長度得到直線.簡記為：左加右減（只改變）.9.解一次函數的實際應用問題利用一次函數解決實際問題的關鍵是把實際問題進行抽象概括、獲取信息，進而建立一次函數模型解決問題.這類問題主要有兩種：一種是題目中已知一次函數的解析式，可直接運用一次函數的性質求解；另一