第九章第5講[A級基礎達標]1．(2021年長沙一模)若橢圓的焦點在x軸上，中心在原點，其上、下頂點和兩個焦點恰為邊長是2的正方形的頂點，則橢圓的標準方程為()A．eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,\r(2))＝1 B．eq\f(x2,2)＋y2＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1【答案】C2．(2021年菏澤期末)已知F1，F2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為eq\f(\r(3),6)的直線上，|PF2|＝|F1F2|且∠F1PF2＝60°，則C的離心率為()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)【答案】D3．(2021年中衛一模)已知斜率為k1(k1≠0)的直線l與橢圓x2＋eq\f(y2,9)＝1交于A，B兩點，線段AB的中點為C，直線OC(O為坐標原點)的斜率為k2，則k1·k2＝()A．－3 B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(1,9) D．－9【答案】D4．(2021年浙江月考)已知橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上一動點P到兩個焦點F1，F2的距離之積為q，則q取最大值時，△PF1F2的面積為()A．eq\f(\r(3),2) B．1C．eq\r(3) D．2【答案】C5．(2021年臨汾模擬)過橢圓內定點M且長度為整數的弦，稱作該橢圓過點M的“好弦”．在橢圓eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,16)＝1中，過點M(4eq\r(3)，0)的所有“好弦”的長度之和為()A．120 B．130C．240 D．260【答案】C6．(2021年邢臺月考)(多選)關于橢圓3x2＋4y2＝12有以下結論，其中正確的有()A．離心率為eq\f(1,2)B．長軸長是2eq\r(3)C．焦點在y軸上D．焦點坐標為(－1,0)，(1,0)【答案】AD【解析】將橢圓方程化為標準方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，所以該橢圓的焦點在x軸上，故C錯誤；焦點坐標為(－1，0)，(1,0)，故D正確；因為a＝2，所以長軸長是4，故B錯誤；因為a＝2，b＝eq\r(3)，所以c＝1，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故A正確．故選AD．7．(2021年江蘇泰州中學期末)(多選)已知橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，若橢圓M與坐標軸分別交于A，B，C，D四點，且從F1，F2，A，B，C，D這六點中，可以找到三點構成一個直角三角形，則橢圓M的離心率的可能取值為()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(5)－1,2) D．eq\f(\r(3)－1,2)【答案】BC【解析】由題意可得左、右焦點和上、下頂點可能構成直角三角形，這時b＝c，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(2),2)；或者長軸的點和短軸的點和一個焦點可能構成直角三角形，如圖所示，這時AFeq\o\al(2,2)＝AB2＋BFeq\o\al(2,2)，即(a＋c)2＝a2＋b2＋a2，整理可得e2＋e－1＝0，可得e＝eq\f(\r(5)－1,2).故選BC．8．(2021年寧波月考)已知過橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的左焦點F的直線交C于A，B兩點，若|AF|＋2|BF|≤k恒成立，則k的最小值為________．【答案】3eq\r(2)＋1【解析】由橢圓的方程可得a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝1，所以a＝eq\r(2)，c＝1，|AF|＋2|BF|＝|AF|＋|BF|＋|BF|＝|AB|＋|BF|，因為|AB|的最大值為2a＝2eq\r(2)，|BF|＝a＋c＝eq\r(2)＋1，所以|AF|＋2|BF|≤2eq\r(2)＋eq\r(2)＋1＝3eq\r(2)＋1，所以k的最小值為3eq\r(2)＋1.9．(2021年臨沂一模)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，點P在橢圓上且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(F1F2,\s\up6(→))＝0，|PF1|＝eq\f(4,3)，|PF2|＝eq\f(14,3)，則C的標準方程為________；若過點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1))的直線l與橢圓C交于A，B兩點，且點A，B關于點M對稱，則l的方程為__________．【答案】eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝12x－3y＋6＝0【解析】因為點P在橢圓上，所以|PF1|＋|PF2|＝eq\f(4,3)＋eq\f(14,3)＝6＝2a，所以a＝3，又在直角三角形PF1F2中，|F1F2|＝eq\r(|PF2|2－|PF1|2)＝eq\r(20)＝2eq\r(5)，所以c＝eq\r(5)，則b＝2，故橢圓的標準方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1；設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),9)＋\f(y\o\al(2,1),4)＝1，,\f(x\o\al(2,2),9)＋\f(y\o\al(2,2),4)＝1，))兩式作差可得eq\f(x1－x2x1＋x2,9)＋eq\f(y1－y2y1＋y2,4)＝0，又由已知可得點M為AB的中點，即x1＋x2＝－3，y1＋y2＝2，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2,3)，即kAB＝eq\f(2,3)，所以直線l的方程為y－1＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，即2x－3y＋6＝0.10．(2020年Ⅱ卷)已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|＝eq\f(4,3)|AB|.(1)求C1的離心率；(2)設M是C1與C2的公共點．若|MF|＝5，求C1與C2的標準方程．解：(1)由已知可設C2的方程為y2＝4cx，其中c＝eq\r(a2－b2).不妨設A，C在第一象限，由題設得A，B的縱坐標分別為eq\f(b2,a)，－eq\f(b2,a)；C，D的縱坐標分別為2c，－2c，故|AB|＝eq\f(2b2,a)，|CD|＝4c.由|CD|＝eq\f(4,3)|AB|得4c＝eq\f(8b2,3a)，即3×eq\f(c,a)＝2－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2，解得eq\f(c,a)＝－2(舍去)或eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).所以C1的離心率為eq\f(1,2).(2)由(1)知a＝2c，b＝eq\r(3)c，故C1：eq\f(x2,4c2)＋eq\f(y2,3c2)＝1.設M(x0，y0)，則eq\f(x\o\al(2,0),4c2)＋eq\f(y\o\al(2,0),3c2)＝1，yeq\o\al(2,0)＝4cx0，故eq\f(x\o\al(2,0),4c2)＋eq\f(4x0,3c)＝1.①由于C2的準線為x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得eq\f(5－c2,4c2)＋eq\f(45－c,3c)＝1，即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)，c＝3.所以C1的標準方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1，C2的標準方程為y2＝12x.[B級能力提升]11．(2021年北京師大實驗中學月考)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，橢圓的左、右焦點分別為F1，F2，P是橢圓C上的任意一點，且滿足eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＞0，則橢圓離心率的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))【答案】B【解析】F1(－c,0)，F2(c,0)，設P(x0，y0)，則eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(－c－x0，－y0)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(c－x0，－y0)，因為eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＞0，所以(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＞0，所以－c2＋xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＞0，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＞c2，因為點P為橢圓上的任意一點，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)表示橢圓上的點到原點的距離的平方，所以(xeq\o\al(2,0)＋y0)min＝b2＞c2，所以a2－c2＞c2，所以eq\f(c2,a2)＜eq\f(1,2)，所以e＝eq\f(c,a)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).故選B．12．(2021年南通期末)已知橢圓ax2＋by2＝1與直線x＋y＝1交于點A，B，點M為AB的中點，直線MO(O為原點)的斜率為eq\f(\r(2),2)，則eq\f(b,a)＝________；又OA⊥OB，則2a＋b＝________.【答案】eq\r(2)2eq\r(2)【解析】設A(x1，y1)，B(x2，y2)，將A，B的坐標代入橢圓的方程可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax\o\al(2,1)＋by\o\al(2,1)＝1，,ax\o\al(2,2)＋by\o\al(2,2)＝1，))整理可得a(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋b(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，所以eq\f(a,b)＋eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2))＝0，即eq\f(a,b)＋eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝0，即eq\f(a,b)＋(－1)×eq\f(\r(2),2)＝0，所以eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\f(b,a)＝eq\r(2)，聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax2＋\r(2)ay2＝1，,y＝－x＋1，))消去y可得(a＋eq\r(2)a)x2－2eq\r(2)ax＋eq\r(2)a－1＝0，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝4－2\r(2)，,x1x2＝\f(\r(2)a－1,a＋\r(2)a)，))y1y2＝(－x1＋1)(－x2＋1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝eq\f(\r(2)a－1,a＋\r(2)a)＋2eq\r(2)－3，因為OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，所以eq\f(2\r(2)a－2,a＋\r(2)a)＋2eq\r(2)－3＝0，所以a＝2(eq\r(2)－1)＝2eq\r(2)－2，b＝4－2eq\r(2)，所以2a＋b＝2eq\r(2).13．(2021年中山期末)已知橢圓具有如下性質：若橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，則橢圓在其上一點A(x0，y0)處的切線方程為eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，試運用該性質解決以下問題：在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，且經過點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2))).(1)求橢圓C的方程；(2)設F為橢圓C的右焦點，直線l與橢圓C相切于點P(點P在第一象限)，過原點O作直線l的平行線與直線PF相交于點Q，問：線段PQ的長是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．解：(1)由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,\f(1,a2)＋\f(\f(1,2),b2)＝1，,a2＝b2＋c2，))解得a＝eq\r(2)，b＝1，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的右焦點為F(1,0)，設P(x0，y0)，顯然0＜x0＜eq\r(2)，則eq\f(x\o\al(2,0),2)＋yeq\o\al(2,0)＝1，直線l的方程為eq\f(x0x,2)＋y0y＝1，即x0x＋2y0y＝2，xeq\o\al(2,0)＋2yeq\o\al(2,0)＝2，過原點且與直線l平行的直線l1的方程為x0x＋2y0y＝0.①當x0＝1時，y0＝eq\f(\r(2),2)，故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2))).直線l的方程為eq\f(x,2)＋eq\f(\r(2),2)y＝1，即x＋eq\r(2)y＝2，故過原點且與直線l平行的直線l1的方程為x＋eq\r(2)y＝0.直線PF的方程為x＝1，聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\r(2)y＝0，,x＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－\f(\r(2),2)，))故Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(2),2)))，故|PQ|＝eq\r(2)；②當x0≠1，則直線l的方程為x0x＋2y0y＝2，且xeq\o\al(2,0)＋2yeq\o\al(2,0)＝2，過原點與直線l平行的直線l1的方程為x0x＋2y0y＝0，kPF＝eq\f(y0,x0－1)(x0≠1)，直線PF的方程為y＝eq\f(y0,x0－1)(x－1)(x0≠1)，即y0x－(x0－1)y－y0＝0，聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0x－x0－1y－y0＝0，,x0x＋2y0y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2y\o\al(2,0),2－x0)，,y＝\f(－x0y0,2－x0)，))故Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2y\o\al(2,0),2－x0)，\f(－x0y0,2－x0))).故|PQ|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(2y\o\al(2,0),2－x0)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(x0y0,2－x0)))2)＝eq\r(\f(4x0－12＋4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),2))),2－x02))＝eq\r(\f(2x0－22,2－x02))＝eq\r(2)，故線段PQ的長度為定值eq\r(2).綜上，線段PQ長度為定值eq\r(2).[C級創新突破]14．(2021年德州模擬)(多選)1970年4月24日，我國發射了自己的第一顆人造地球衛星“東方紅一號”，從此我國開始了人造衛星的新篇章．人造地球衛星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律：衛星在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規律，即衛星的向徑(衛星與地球的連線)在相同的時間內掃過的面積相等．設橢圓的長軸長、焦距分別為2a,2c，下列結論正確的是()A．衛星向徑的取值范圍是[a－c，a＋c]B．衛星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間C．衛星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁D．衛星運行速度在近地點時最大，在遠地點時最小【答案】ABD【解析】根據橢圓定義知衛星向徑的取值范圍是[a－c，a＋c]，故A正確；當衛星在左半橢圓弧上運行時，對應的面積更大，根據面積守恒規律，知其速度更慢，故B正確；eq\f(a－c,a＋c)＝eq\f(1－e,1＋e)＝eq\f(2,1＋e)－1，當比值越大，則e越小，橢圓軌道越圓，故C錯誤；根據面積守恒規律，衛星在近地點時向徑最小，故速度最大，在遠地點時向徑最大，故速度最小，故D正確．故選ABD．15．(2021年東北三省三校一模)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率是eq\f(1,2)，橢圓C過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，