不等式第二章第2講基本不等式及其應用課標要求考情概覽1．了解基本不等式的證明過程．2．會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題考向預測：主要考查利用基本不等式求最值、證明不等式、求參數的范圍等，常與函數結合命題．學科素養：主要考查邏輯推理、數學運算的素養欄目導航01基礎整合

自測糾偏03素養微專

直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏1a>0，b>0

a＝b

2ab

3.算術平均數與幾何平均數設a>0，b>0，則a，b的算術平均數為______，幾何平均數為______，基本不等式表明：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．4.利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則：(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當_______時，x＋y有最小值是______(簡記：積定和最小)；(2)如果和x＋y是定值p，那么當且僅當_______時，xy有最大值是______(簡記：和定積最大)．x＝y

x＝y

【特別提醒】1．求最值時要注意三點：一是各項為正；二是尋求定值；三是考慮等號成立的條件．2．運用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，還要注意“添、拆項”技巧．【答案】B【答案】B【答案】AD【答案】5【答案】(1)√

(2)×

(3)×

(4)×

(5)×重難突破能力提升2示通法利用基本不等式求最值時，如果項是負數，可轉化為正數后解決，當和(或積)不是定值時，需要對項進行添加、分拆或變系數，將和(或積)化為定值．利用基本不等式求最值考向1利用配湊法求最值

已知0<x<1，則x(4－3x)取得最大值時x的值為________．【答案】C

考向3消元法求最值

已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．【答案】6

【解題技巧】1．拼湊法利用基本不等式求最值的實質及關鍵點拼湊法就是將相關代數式進行適當的變形，通過添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼湊法的實質是代數式的靈活變形，拼系數、湊常數是關鍵．2．常數代換法求解最值的基本步驟(1)根據已知條件或其變形確定定值(常數)；(2)把確定的定值(常數)變形為1；(3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構造和或積為定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．3．消元法利用基本不等式求最值的策略當所求最值的代數式中的變量比較多時，通常是考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數”或“積為常數”，最后利用基本不等式求最值．【答案】(1)16

(2)4

(2021年鹽城期末)某中學為了更好地開展高一社團活動，現要設計如圖的一張矩形宣傳海報，該海報含有大小相等的左中右三個矩形欄目，這三欄的面積之和為60000cm2，四周空白的寬度為10cm，欄與欄之間的中縫空白的寬度為5cm.(1)怎樣確定矩形欄目高與寬的尺寸，能使整個矩形海報面積最小，并求最小值；(2)如果要求矩形欄目的寬度不小于高度的2倍，那么怎樣確定海報矩形欄目高與寬的尺寸，能使整個矩形海報面積最小，并求最小值．基本不等式的實際應用【解題技巧】利用基本不等式解實際應用題的3個注意點：(1)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數．(2)根據實際問題抽象出函數的解析式后，只需利用基本不等式求得函數的最值．要注意在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內求解．(3)在應用基本不等式求函數最值時，若等號取不到，可利用函數的單調性求解．【答案】B

基本不等式的綜合應用【解題技巧】利用基本不等式解題的策略(1)應用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解．(2)條件不等式的最值問題：通過條件轉化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求參數的值或范圍：觀察題目特點，利用基本不等式確定相關成立條件，從而得參數的值或范圍．素養微專直擊高考3利用基本不等式求最值或證明不等式是高中數學的一個重點，應用該公式時需要滿足“一正、二定、三相等”，在運用基本不等式時，常常遇到不能直接套用公式的情況，這時需要對題中的關系式進行適當的配湊變形，使問題快速解決．素養提升——邏輯推理：基本不等式的應用策略典例精析【考查角度】基本不等式的應用．【核心素養】邏輯推理、數學運算．【思路引導】對所給不等式適當變形，結合基本不等求解．【解題技巧】方法一是通過不等式兩邊平方，構造出基本不等式，從而可用基本不等式知識求解．方法二是通過等量代換，將所要證的不等式轉化為不等式的恒成立問題．遷移應用

若a＞0，b＞0，a3＋b3＝2，求證：a＋b≤2，ab≤1.證法二：2＝a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab)≥(a＋b)·(2ab－ab)＝ab(a＋b)，于是6≥3ab