函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第三章

第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測糾偏03配套訓(xùn)練02重難突破

能力提升基礎(chǔ)整合自測糾偏11.幾類函數(shù)模型2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)遞增遞增y軸x軸3.解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型．(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論．(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題的意義．【特別提醒】“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長量越來越小．x123458y0.51.52.082.52.853.52．(2021年臨沂月考)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當(dāng)x∈(4，＋∞)時，對三個函數(shù)的增長速度進(jìn)行比較，下列選項(xiàng)中正確的是

(

)A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)【答案】B3．(2021年寧波期末)(多選)如圖所示的某池塘中的浮萍蔓延的面積y(m2)與時間t(月)的關(guān)系為y＝at.有以下幾個判斷，正確的是 (

)A．a(chǎn)＝2B．浮萍從5m2蔓延到15m2只需要經(jīng)過1.5個月C．在第6個月，浮萍面積超過30m2D．若浮萍蔓延到2m2,4m2,8m2所經(jīng)過的時間分別為t1，t2，t3，則t1＋t2＝t3【答案】ACD【答案】185．(2021年大慶模擬)某機(jī)構(gòu)一年需購買消毒液300噸，每次購買x噸，每次運(yùn)費(fèi)為3萬元，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則x的值是________．【答案】15判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?．(1)某種商品進(jìn)價為每件100元，按進(jìn)價增加25%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利． (

)(2)冪函數(shù)增長比直線增長更快． (

)(3)在(0，＋∞)內(nèi)，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xa(a>0)的增長速度． (

)(4)指數(shù)型函數(shù)y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)的增長速度越來越快． (

)(5)指數(shù)函數(shù)模型，一般用于解決變化較快、短時間內(nèi)變化量較大的實(shí)際問題． (

)【答案】(1)√

(2)×

(3)√

(4)×

(5)√重難突破能力提升2已知函數(shù)模型求解實(shí)際問題【答案】C【解題技巧】利用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)；(3)利用該模型求解實(shí)際問題．【答案】C利用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問題給出下列四個結(jié)論：①在[t1，t2]這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②在t2時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；③在t3時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；④甲企業(yè)在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時間中，在[0，t1]的污水治理能力最強(qiáng)．其中所有正確結(jié)論的序號是________．【答案】①②③【解析】由題圖可知甲企業(yè)的污水排放量在t1時刻高于乙企業(yè)，而在t2時刻甲、乙兩企業(yè)的污水排放量相同，故在[t1，t2]這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故①正確；由題圖知在t2時刻，甲企業(yè)對應(yīng)的關(guān)系圖象斜率的絕對值大于乙企業(yè)，故②正確；在t3時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都低于污水達(dá)標(biāo)排放量，故都已達(dá)標(biāo)，③正確；甲企業(yè)在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時間中，在[0，t1]的污水治理能力明顯低于[t1，t2]時的，故④錯誤．【解題技巧】判斷實(shí)際問題中兩變量呈現(xiàn)某種變化趨勢的方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象；(2)驗(yàn)證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案．【變式精練】2．(1)(2021年武漢月考)如圖所示是一魚缸的軸截面圖，已知該魚缸裝滿水時儲水量為V，缸高為H，其底部破了一個小洞，滿缸水從洞中流出，若魚缸水深為h時水的體積為v，則函數(shù)v＝f(h)的大致圖象是 (

)(2)已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時出發(fā)，并沿同一路線(假定為直線)行駛，甲、乙車的速度曲線分別為v甲和v乙，如圖所示，那么對于圖中給定的t0和t1，下列判斷中一定正確的是 (

)A．在t1時刻，甲車在乙車前面B．t1時刻后，甲車在乙車后面C．在t0時刻，兩車的位置相同D．t0時刻后，乙車在甲車前面【答案】(1)B

(2)A【解析】(1)v＝f(h)是增函數(shù)，且曲線的斜率應(yīng)該是先變大后變小．故選B．(2)由圖象可知，曲線v甲比v乙在0～t0,0～t1與t軸所圍成的圖形面積大，則在t0，t1時刻，甲車均在乙車前面．示通法構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題考向2構(gòu)建指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型

(2021年青島期末)2006年某市某地段商業(yè)用地價格為每畝60萬元，由于土地價格持續(xù)上漲，到2018年已經(jīng)上漲到每畝120萬元，現(xiàn)給出兩種地價增長方式，其中P1：f(t)＝at＋b(a，b∈R)是按直線上升的地價，P2：g(t)＝clog2(d＋t)(c，d∈R)是按對數(shù)增長的地價，t是2006年以來經(jīng)過的年數(shù).2006年對應(yīng)的t值為0.(1)求f(t)，g(t)的解析式；(2)2018年開始，國家出臺“穩(wěn)定土地價格”的相關(guān)調(diào)控政策，為此，該市要求2022年的地價相對于2018年上漲幅度控制在10%以內(nèi)，請分析比較以上兩種增長方式，確定出最合適的一種模型(參考數(shù)據(jù)：log210≈3.32)．(1)求k的值，并將該產(chǎn)品每日的利潤L(萬元)表示為日產(chǎn)量x(千只)的函數(shù)；(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少千只時，每日的利潤可以達(dá)到最大，并求出最大值．【解題技巧】構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題的方法(1)在實(shí)際問題中，若兩個變量之間的關(guān)系是直線上升或直線下降或圖象為直線(或其一部分)，一般構(gòu)建一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解；構(gòu)建二次函數(shù)模型，首先根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的圖象、最值求法、單調(diào)性、零點(diǎn)等知識解決實(shí)際問題；若變量間的關(guān)系由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成，則應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解．(1)你認(rèn)為哪個函數(shù)模型較好，并簡單說明理由；(2)試用你認(rèn)為較好的函數(shù)模型，分析大約從第幾個月份開始，該公司的月收入會超過100萬元(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)?x15202530Q(x)