導數及其應用第三章第2講導數在研究函數中的應用【考綱導學】1．了解函數的單調性與導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間(其中多項式函數一般不超過三次)．2．了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值(其中多項式函數一般不超過三次)；會求閉區間上函數的最大值、最小值(其中多項式函數一般不超過三次)．欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷11．函數的單調性與導數(1)在區間D上，若f′(x)≥0，且f′(x)＝0不連續成立?函數f(x)在區間D上________；(2)在區間D上，若f′(x)≤0，且f′(x)＝0不連續成立?函數f(x)在區間D上________；(3)在區間D上，若f′(x)＝0恒成立?函數f(x)在區間D上是________．遞增遞減常函數2．函數的極值與導數>

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大小大小3．函數的最值(1)在閉區間[a，b]上連續的函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值，且最大(小)值必在區間端點或極值點處取得．(2)若函數f(x)在[a，b]上單調遞增，則______為函數的最小值，______為函數的最大值；若函數f(x)在[a，b]上單調遞減，則______為函數的最大值，______為函數的最小值．f(a)

f(b)

f(a)

f(b)

1．(教材習題改編)如圖所示是f(x)的導函數f′(x)的圖象，則f(x)的極小值點的個數為(

)A．1

B．2

C．3

D．4【答案】A2．若函數f(x)＝kx－lnx在區間(1，＋∞)內單調遞增，則k的取值范圍是(

)A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)

D．[1，＋∞)【答案】D3．(2018年烏魯木齊模擬)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1時有極值且為10，那么a＋b的值為(

)A．－7 B．0C．－7或0 D．以上都不對【答案】A4．(2018年荊州模擬)函數f(x)＝x3－x2＋2在(0，＋∞)上的最小值為________．【答案】31．求函數單調區間與函數極值時沒有列表的習慣，會造成問題不能直觀且有條理地解決．2．求函數最值時，易誤認為極值點就是最值點，不通過比較就下結論．3．解題時要注意區分求單調性和已知單調性的問題，處理好f′(x)＝0時的情況；區分極值點和導數為0的點．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)f′(x)>0是f(x)為增函數的充要條件．(

)(2)函數在其定義域內離散的點處導數等于0不影響函數的單調性．(

)(3)函數的極大值不一定比極小值大．(

)(4)對可導函數f(x)，f′(x0)＝0是x0為極值點的充要條件．(

)(5)函數在開區間一定不存在最大值和最小值．(

)(6)函數的最大值不一定是極大值，函數的最小值也不一定是極小值．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)×

(6)√課堂考點突破2利用導數研究函數的單調性

已知函數f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的遞增區間；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上為減函數？說明理由．【解析】(1)由f(x)＝ex－ax－1，得f′(x)＝ex－a.當a≤0時，f′(x)＝ex－a≥0，f(x)在R上遞增；當a>0時，由f′(x)＝ex－a≥0，解得x≥lna.所以當a≤0時，f(x)的遞增區間為R；當a>0時，f(x)的遞增區間是[lna，＋∞)．(2)要使f(x)在(－2,3)上為減函數，則f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立，即a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．又因為－2<x<3，所以e－2<ex<e3，只需a≥e3.故存在實數a≥e3，使f(x)在(－2,3)上為減函數．【規律方法】(1)確定函數單調區間的步驟：①確定函數f(x)的定義域；②求f′(x)；③解不等式f′(x)>0，解集在定義域內的部分為單調遞增區間；④解不等式f′(x)<0，解集在定義域內的部分為單調遞減區間．(2)利用導數研究函數的單調性的關鍵在于準確判定導數的符號，當f(x)含參數時，需依據參數取值對不等式解集的影響進行分類討論．分類討論時，要做到不重不漏．已知函數的單調性求參數【規律方法】(1)函數f(x)存在單調遞減區間，即導函數在某區間上的值為負，即f′(x)<0有解．(2)f(x)為增函數的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)內的任一非空子區間上f′(x)不恒為0.【跟蹤訓練】2．已知函數f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在R上為增函數，求實數a的取值范圍；(2)若函數f(x)的單調減區間為(－1,1)，求a的值．【解析】(1)因為f(x)在R上是增函數，所以f′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2對x∈R恒成立．因為3x2≥0，所以只需a≤0.又因為a＝0時，f′(x)＝3x2≥0，當且僅當x＝0時取等號，所以f(x)＝x3－1在R上是增函數．所以實數a的取值范圍是(－∞，0]．利用導數研究函數的極值【考向分析】函數的極值是每年高考的必考內容，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度適中，為中、高檔題．常見的考向：(1)由圖象判斷函數極值；(2)已知函數求極值；(3)已知極值求參數．由圖象判斷函數極值

設函數f(x)在R內可導，其導函數為f′(x)，且函數y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是(

)A．函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B．函數f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1)C．函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2)D．函數f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2)【答案】D

【解析】由圖可知，當x＜－2時，f′(x)＞0；當－2＜x＜1時，f′(x)＜0；當1＜x＜2時，f′(x)＜0；當x＞2時，f′(x)＞0.由此可以得到函數f(x)在x＝－2處取得極大值，在x＝2處取得極小值．故選D．已知函數求極值

已知函數f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)當a＝2時，求曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程；(2)求函數f(x)的極值．已知極值求參數【規律方法】(1)求函數f(x)極值的步驟：①確定函數的定義域；②求導數f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函數定義域內的所有根；④列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側值的符號，如果左正右負，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負右正，那么f(x)在x0處取極小值．(2)可導函數y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側與右側f′(x)的符號不同．應注意，導數為零的點不一定是極值點．對含參數的求極值問題，應注意分類討論．利用導數求函數的最值

(2018年石嘴山模擬)已知函數f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx.(1)當a＝1時，求f(x)在區間[1，e]上的最小值；(2)若對任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，f(x1)＋2x1＜f(x2)＋2x2恒成立，求a的取值范圍．【規律方法】求函數f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟：(1)求函數在(a，b)內的極值；(2)求函數在區間端點的函數值f(a)，f(b)；(3)將函數f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．課后感悟提升31個提醒——函數的定義域求函數的單調區間應遵循定義域優先的原則．2個條件——函數在區間(a，b)內單調的條件(1)在某區間內f′(x)>0(f′(x)<0)是函數f(x)在此區間上為增(減)函數的充分不必要條件．(2)可導函數f(x)在(a，b)內是增(減)函數的充要條件為：對?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子區間內都不恒為零．4個步驟——求函數單調區間的步驟第一步：求函數f(x)的定義域；第二步：求導數f′(x)；第三步：在函數定義域內解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；第四步：確定f(x)的單調區間．1．(2018年新課標Ⅰ)已知函數f(x)＝2sinx＋sin2x，則f(x)的最小值是_______．2．(2018年江蘇)若函數f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)內有且只有一個零點，則f(x)在[－1,1]上的最大值與最小值的和為________．【答案】－3

【解析】由f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)，得f′(x)＝2x(3x－a)．①當a≤0，x>0時，f′(x)＞0，函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，f(0)＝1，f(x)在(0，＋∞)上沒有零點，舍去．3．(2018年北京)設函數f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.(1)若曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線斜率為0，求a；(2)若f(x)在x＝1處取得極