導數及其應用第三章第3講導數的綜合應用【考綱導學】1．利用導數研究函數的單調性、極(最)值，并會解決與之有關的方程(不等式)問題．2．會利用導數解決某些簡單的實際問題．欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷11．生活中的優化問題通常求利潤最大、用料最省、效率最高等問題稱為________問題．一般地，對于實際問題，若函數在給定的定義域內只有一個極值點，那么該點也是最值點．2．利用導數解決生活中的優化問題的基本思路優化3．導數在研究方程(不等式)中的應用研究函數的單調性和極(最)值等離不開方程與不等式；反過來方程根的個數、不等式的證明、不等式恒成立求參數等，又可轉化為函數的單調性、極值與最值的問題，利用導數進行研究．4．導數在綜合應用中使用轉化與化歸思想的常見類型(1)把不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題；(2)把證明不等式問題轉化為函數的單調性問題；(3)把方程解的問題轉化為函數的零點問題．【答案】C2．已知e為自然對數的底數，設函數f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，則(

)A．當k＝1時，f(x)在x＝1處取到極小值B．當k＝1時，f(x)在x＝1處取到極大值C．當k＝2時，f(x)在x＝1處取到極小值D．當k＝2時，f(x)在x＝1處取到極大值【答案】C3．已知定義在實數集R內的函數f(x)滿足f(1)＝3，且f(x)的導數f′(x)在R內恒有f′(x)<2(x∈R)，則不等式f(x)<2x＋1的解集為(

)A．(1，＋∞)

B．(－∞，－1)C．(－1,1)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】A4．若函數f(x)＝x3－3x＋a有3個不同的零點，則實數a的取值范圍是________．【答案】(－2,2)

【答案】f(a)<f(b)1．利用導數解決恒成立問題時，若分離參數后得到“a<f(x)恒成立”，要根據f(x)的值確定a的范圍中端點能否取到．2．實際問題中的函數定義域一般受實際問題的制約，不可盲目地確定函數的定義域；在解題時要注意單位的一致性；把實際問題轉化成數學問題后，要根據數學問題中求得的結果對實際問題作出解釋.

【答案】(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

(5)×

(6)√課堂考點突破2利用導數解決生活中的優化問題

某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)．設該蓄水池的底面半徑為rm，高為hm，體積為Vm3.假設建造成本僅與表面積有關，側面的建造成本為100元/m2，底面的建造成本為160元/m2，該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率)．(1)將V表示成r的函數V(r)，并求該函數的定義域；(2)討論函數V(r)的單調性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．【規律方法】(1)利用導數解決生活中優化問題的一般步驟：①設自變量、因變量，建立函數關系式y＝f(x)，并確定其定義域；②求函數的導數f′(x)，解方程f′(x)＝0；③比較函數在區間端點和f′(x)＝0的點的函數值的大小，最大(小)者為最大(小)值；④回歸實際問題作答．(2)如果目標函數在定義域內只有一個極值點，那么根據實際意義該極值點就是最值點．【跟蹤訓練】1．(2018年徐州模擬)如圖①是一個仿古的首飾盒，其橫截面是由一個半徑為r分米的半圓及矩形ABCD組成，其中AD長為a分米，如圖②，為了美觀，要求r≤a≤2r.已知該首飾盒的長為4r分米，容積為4立方分米(不計厚度)，假設該首飾盒的制作費用只與其表面積有關，下半矩形部分的制作費用為每平方分米1百元，上半圓部分制作費用為每平方分米2百元，設該首飾盒的制作費用為y百元．(1)寫出y關于r的函數表達式，并求該函數的定義域；(2)當r為何值時，該首飾盒的制作費用最低？利用導數研究函數的零點或方程的根【規律方法】函數零點問題通常可作以下適當轉化來處理：函數y＝f(x)的零點?方程f(x)＝0的根?函數y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標．若f(x)＝g(x)－h(x)，則f(x)的零點就是函數y＝g(x)與y＝h(x)圖象交點的橫坐標．【跟蹤訓練】2．(2018年榆林三模)設函數f(x)＝ax3＋bx2－x(x∈R，a，b

是常數，a≠0)，且當x＝1和x＝2時，函數f(x)取得極值．(1)求f(x)的解析式；(2)若曲線y＝f(x)與g(x)＝－3x－m(－2≤x≤0)有兩個不同的交點，求實數m的取值范圍．利用導數研究不等式問題【考向分析】導數在不等式中的應用問題是每年高考的必考內容，常以解答題的形式考查，屬于壓軸題，難度較大．常見的考向：(1)證明不等式；(2)不等式恒成立問題；(3)存在型不等式成立問題．證明不等式

(2016年新課標Ⅲ)設函數f(x)＝lnx－x＋1.(1)討論f(x)的單調性；不等式恒成立問題存在型不等式成立問題

已知a為實數，函數f(x)＝alnx＋x2－4x.(1)是否存在實數a，使得f(x)在x＝1處取得極值？證明你的結論；【規律方法】導數在不等式問題中的應用問題兩大解題策略：(1)利用導數證明不等式：若證明f(x)＜g(x)，x∈(a，b)，可以構造函數F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＜0，則F(x)在(a，b)內是減函數，同時若F(a)≤0，由減函數的定義可知，x∈(a，b)時，有F(x)＜0，即證明了f(x)＜g(x)．(2)利用導數解決不等式的恒成立問題：利用導數研究不等式恒成立問題，首先要構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參數的不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．課后感悟提升31個構造——構造函數解決問題把所求問題通過構造函數，轉化為可用導數解決的問題，這是用導數解決問題時常用的方法．2個轉化——不等式問題中的兩個轉化(1)利用導數解決含有參數的單調性問題，可將問題轉化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數形結合思想的應用．(2)將不等式的證明、方程根的個數的判定轉化為函數的單調性、極值問題處理．3個注意點——利用導數解決實際問題應注意的三點(1)既要注意將問題中涉及的變量關系用函數關系式表示，還要注意確定函數關系式中自變量的取值范圍．(2)一定要注意求得函數結果的實際意義，不符合實際的值應舍去．(3)如果目標函數在定義區間內只有一個極值點，那么根據實際意義該極值點就是最值點．2．(2018年新課標Ⅱ)已知函數f(x)＝ex－ax2.(1)若a＝1，求證：當x≥0時，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一個零點，求a.【解析】(1)證明：當a＝1時，f(x)＝ex－x2，則f′(x)＝ex－2x.令g(x)＝ex－2x，則g′(x)＝ex－2.令g′(x)＝0，解得x＝ln2.當x∈(