計數原理、概率、隨機變量及其分布第十一章第8講二項分布與正態(tài)分布【考綱導學】1．了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念；2．理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，能解決一些簡單的實際問題；3．了解正態(tài)密度曲線的特點及曲線所表示的意義，并進行簡單應用．欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷11．條件概率(1)定義設A，B為兩個事件且P(A)>0，稱P(B|A)＝______為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．(2)性質①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝__________________.P(B|A)＋P(C|A)

P(A)P(B)

P(B)

P(A)

P(A)P(B)

3．獨立重復試驗與二項分布(1)獨立重復試驗在_______條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗．Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗結果，則P(A1A2A3…An)＝_____________________.(2)二項分布在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率是p，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作_______________，并稱p為__________．在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率P(X＝k)＝__________________(k＝0,1,2，…，n)．相同P(A1)P(A2)…P(An)

成功概率X～B(n，p)

上方x＝μx＝μ1⑤當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著________的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ______，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ______，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示．μ越小越大甲乙(3)正態(tài)分布的定義及表示：如果對于任何實數a，b(a<b)，隨機變量X滿足P(a<X≤b)＝_______________，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記作___________________．正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝____________；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝__________；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝___________.X～N(μ，σ2)

0.68260.95440.9974【答案】B【答案】B3．如圖，用K，A1，A2三類不同的元件連接成一個系統．當K正常工作且A1，A2至少有一個正常工作時，系統正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次為0.9,0.8,0.8，則系統正常工作的概率為(

)A．0.960

B．0.864

C．0.720

D．0.576【答案】B1．相互獨立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響，計算式為P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生，計算公式為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．2．運用公式P(AB)＝P(A)P(B)時一定要注意公式成立的條件，只有當事件A，B相互獨立時，公式才成立．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)條件概率一定不等于它的非條件概率．(

)(2)相互獨立事件就是互斥事件．(

)(3)對于任意兩個事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(

)(4)二項分布是一個概率分布，其公式相當于(a＋b)n二項展開式的通項公式，其中a＝p，b＝1－p.(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√

(6)×課堂考點突破2條件概率【跟蹤訓練】1．(2018年南寧模擬)袋中有6個黃色、4個白色的乒乓球，做不放回抽樣，每次任取1個球，取2次，則事件“第一次取得白球的情況下，第二次恰好取得黃球”的概率為________．相互獨立事件的概率

在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱，由現場數百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中隨機選3名歌手．(1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；(2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數之和，“求X≥2”的事件概率．【規(guī)律方法】(1)求解該類問題在于正確分析所求事件的構成，將其轉化為彼此互斥事件的和或相互獨立事件的積，然后利用相關公式進行計算．(2)求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的主要方法①利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解．②正面計算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時，可從其對立事件入手計算．獨立重復試驗與二項分布【規(guī)律方法】(1)已知二項分布，求二項分布列，可判斷離散型隨機變量是否服從二項分布，再由二項分布列公式求概率，列出分布列．(2)已知隨機變量服從二項分布，求某種情況下概率，依據題設及互斥事件弄清該情況下所含的所有事項，再結合二項分布公式即可求解．正態(tài)分布

已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0,32)，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內的概率為(

)(附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56%

B．13.59%C．27.18%

D．31.74%【答案】B【規(guī)律方法】(1)利用3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進行對比聯系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個．(2)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間的面積為1.注意下面兩個結論的活用：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)．【跟蹤訓練】4．(2018年哈爾濱模擬)某校共有500名高三學生，在一次考試中全校高三學生的語文成績X服從正態(tài)分布N(110，σ2)(σ＞0)，若P(100≤X≤110)＝0.3，則該校高三學生語文成績在120分以上的人數大約為(

)A．70

B．80

C．90

D．100【答案】D課后感悟提升31個技巧——抓住關鍵詞求解相互獨立事件的概率在應用相互獨立事件的概率公式時，要找準關鍵字句，對含有“至多有一個發(fā)生”“至少有一個發(fā)生”“恰有一個發(fā)生”的情況，要結合對立事件的概率求解．1．(2015年新課標Ⅰ)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為(

)A．0.648

B．0.432

C．0.36

D．0.312【答案】A【解析】記Ai＝{投中i次}，其中i＝1,2,3，B表示該同學通過測試，故P(B)＝P(A2∪A3)＝P(A2)＋P(A3)＝C×0.62×0.4＋C×0.63＝0.648.2．(2017年新課標Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2)．(1)假設生產狀態(tài)正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數，求P(X≥1)及X的數學期望；(2)一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．(ⅰ)試說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性；【解析】(1)抽取的一個零件的尺寸在