幾何解題定理庫數(shù)學高手解題定理庫 3定理1共邊模型 3定理2鳥頭模型 10定理3蝴蝶模型 17定理4燕尾模型 25定理5沙漏模型 36定理6梅涅勞斯定理(梅氏線) 48定理7塞瓦定理(賽瓦點) 52定理8格點面積公式(皮克公式) 54定理9構(gòu)造新底新高巧求面積(萬底公式) 55定理10阿基米德折弦定理 56定理11圓冪定理 65定理12巴布斯定理(中線定理) 67定理13斯庫頓定理 68定理14費馬點 69定理16古堡朝圣問題 75定理17四點共圓 78定理18阿波羅尼定理 83定理19三角形中線長定理 84定理20廣義勾股定理 85定理21三角形高線長定理 86定理22三角形內(nèi)、外角平分線模型、角平分線長定理 87定理23托勒密定理 88定理24清宮定理 91定理25西姆松定理(西姆松線) 92定理26九點圓 93定理27莫利定理(摩萊三角形) 94定理28蝴蝶定理 95定理29正弦定理、余弦定理 97定理30斯特瓦爾特(Stewart)定理 99定理31歐拉(Euler)線 102定理32歐拉(Euler)定理 106定理33海倫公式 107定理34密格爾(Miquel)點 108定理35葛爾剛(Gergonne)點 109定理36帕普斯(Pappus)定理 110定理37笛沙格(Desargues)定理 111定理38帕斯卡(Paskal)定理 112定理39阿波羅尼斯(Apollonius)圓 113定理40布拉美古塔(Brahmagupta)定理 114定理41張角定理 115定理42雞爪定理 116定理43牛頓線定理..........................................................................................................................117數(shù)學高手解題定理庫定理1共邊模型|(等積模型|共邊模型〈一半模型|燕尾模型1.正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD邊長為10厘米，則圖中陰影面積為多少平方厘米？原圖解析：如圖1，當G點無限逼近C點時，陰影部分的面積接近于正方形ABCD面積的一半。2.圖中的E、F、G分別是正方形ABCD三條邊的三等分點，H是任意點。如果正方形的邊長是12，那么陰影部分的面積是______。解析：S3=SBCH=..S正方形=S正方形SABH+SCDH=3.(S1+S2)=.S正方形S1+S2=S正方形陰影123正方形：S=S+S+S=1S陰影123正方形33.如圖，正方形的邊長為10，四邊形EFGH的面積為5，那么陰影部分的面積是______。解析：S陰影=(SJCF5)+(SIBF5)JCFIBF=S+SJCFIBF=404.⑴如圖，ABFE和CDEF都是矩形，AB的長是4厘米，BC的長是3厘米，那么圖中陰影部分的面積是平方厘米。原圖解析：圖2是原圖的等效圖：432S陰影==62⑵一個長方形分成4個不同的三角形，綠色三角形面積占長方形面積的15%，黃色三角形面積是21cm2。問：長方形的面積是多少平方厘米？解析：根據(jù)一半模型得：黃色與綠色面積和占整個長方形面積的一半。5.如圖，正方形ABCD的邊長為6，AE＝1.5，CF＝2。長方形EFGH的面積為______。解析：根據(jù)一半模型得，長方形EFGH的面積為ΔDEF面積的2倍.\2\22222)(2x(2x+y=20(x=7.56.如圖，已知BD＝DC，EC＝2AE，三角形ABC的面積是30，求陰影部分面積。解析：設SCDF=x,SCEF=y，則SBDF=x,SAEF=y|SBCE|SBCE=2x+y=330=20〈SACD=x+y=30=15SxSxy=12.5定理2鳥頭模型幾何模型概述兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形結(jié)論及證明SAABCABACAB根AC\大根大) .AB.CG2.AD.EFCGACBFAEF？【分析】鳥頭定理或共邊模型【答案】22.5cm2【解答】根據(jù)鳥頭定理或共邊模型得：SAEF=SABE=SABD=SABC=SABC==22.5cm2MONACEBDFOABABCBCDCDE、△DEF的面積都等于1，則△DCF的面積等于______________.【解答】由題意得：BCD=3=OD=4DF=4SS=S=44DCFODC443.如右圖，AD＝DB，AE＝EF＝FC，已知陰影部分面積為5平方厘米，△ABC的面積是平方厘米。【分析】鳥頭模型【答案】30平方厘米【解答】S陰影=SABC=5SABC=30面積是16平方厘米，求△ABC的面積。所以，S四邊形A'B'C'D'=5S四邊形ABCD=5【分析】鳥頭模型【答案】70【解答】========頭SABCABAC57355.分別延長四邊形ABCD的四個邊，使得AB=BA,BC=CB,CD=DC,DA=AD(如下圖所示)，如果四邊形ABCD的面積是1，請問四邊形ABCD的面積為多少？【分析】鳥頭模型【答案】5【解答】連接BD，根據(jù)鳥頭模型，可得SAA'D'+SCC'B'=2S四邊形ABCD同理，連接AC，易證：SDC'D'+SBA'B'=2S四邊形ABCDABCDBAEACABAD＝5∶2，AE∶EC＝3∶2，△ADE的面積是12平方厘米，求△ABC的面積。【分析】鳥頭模型【答案】50【解答】==========頭SABCSABCABAC55256.已知△DEF的面積為7平方厘米，BE＝CE，AD＝2BD，CF＝3AF，求△ABC的面積。【分析】鳥頭模型【答案】24【解答】===|SABCBCAC428JEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up18(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up15(D),A)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up15(E),)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up15(F),)=1EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up18(),)=SABC==24SABCBCAC428J7.一只小鳥ABC，后來長成大鳥XYZ了。AB先長出一倍到X；BC再長出兩倍到Y(jié)；CA再長出三倍到Z；問大鳥是小鳥面積的幾倍?【分析】鳥頭模型【答案】18倍【解答】===SBXY=3SABC|SXYZ=SABC+3SABC+8SABC+6SABC=18SABC8.長方形ABCD面積為120，EF為AD上的三等分點，G、H、I為DC上的四等分點，陰影面積是多大？【答案】15【解答】如圖所示，S陰影=S1+S2=SADI=SACD=60=159.如右圖，過平行四邊形ABCD內(nèi)的一點作邊的平行線EF、GH，若△PBD的面積為8平方分米，求平行四邊形PHCF的面積比平行四邊形PGAE的面積大多少平方分米？【分析】“都增加一個定量”【答案】16【解答】題目等效于S四邊形PBCD一S四邊形ABPD=16SPHCF一SAEPG=16定理3蝴蝶模型幾何模型概述任意四邊形中的比例關(guān)系梯形中比例關(guān)系結(jié)論及證明(1)==.(2)S1.S3=S2.S4.(3)=12.AO(3)=12.34OCS+34BOBOS+SOD=S1+S4.(1)(2)(3)S1=a23Sb2.3 ababS2=S4=a2+b2+2ab.S梯形=(a+b)2S梯形證明：3==S=SSCO3==S=S23.2SOAa23.23=S=.SS3=S=.S1Sa21b23.11324b233b3b3：S:S:S:S=a2S:S:1324b233b3b3=a2:b2:ab:ab.(4)梯形S的對應份數(shù)為(a+b)2.1.如下圖所示，在梯形ABCD中，AB//CD，對角線AC，BD相交于點O.已知AB=5，CD=3，且梯形CDOAB【分析】【答案】【解答】蝴蝶模型252.如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD，被對角線AC、BD分成四個部分，△AOB面積為1平方千米，△BOC面積為2平方千米，△COD的面積為3平方千米，公園由陸地面積是6.92平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？【分析】共邊模型【答案】0.58平方千米【解答】EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(),)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(),)23.如下圖，梯形ABCD的AB平行于CD，對角線AC，BD交于O，已知△AOB與△BOC的面積分別為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形ABCD的面積是多少平方厘米？【分析】蝴蝶定理【答案】144【解答】EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(),)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(),)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(35),)4.如圖，長方形ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形OFBC的面積為_____平方厘米。【分析】蝴蝶模型、一半模型【答案】9【解答】S編COD\OC)8\OC)OC2S編COD\OC)8\OC)OC2EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(),)根據(jù)蝴蝶模型：S編DOE=S編COF=4，所以S編ADE=S四邊形ADOE-S編DOE=5-4=1由一半模型得：1S矩形ABCD=S編ADE+S編CEF+S編BCF所以，SBCF=55.如圖，長方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4比5，四邊形2的面積為36，則三角形1的面積為。【分析】蝴蝶模型【答案】16【解答】由蝴蝶定理得：S1=三角形1的面積，S3=三角形3的面積13|5S+S=13|56.如圖所示，BD、CF將長方形ABCD分成4塊，△DEF的面積是5平方厘米，△CED的面積是10平方厘米。問：四邊形ABEF的面積是多少平方厘米？【分析】蝴蝶模型、一半模型【答案】25【解答】根據(jù)蝴蝶模型：SBEF=SCDE=10,SBCE0由一半模型得：S矩形ABCD=SCDF+SABF20+10=15+SABFABFS=ABF所以，S四邊形ABEF=SABF+SBEF=15+10=25舉一反三：如圖，BD、CF將長方形ABCD分成4塊，紅色三角形面積是4平方厘米，黃色三角形面積是6平方厘米，問：綠色四邊形的面積是多少平方厘米？【分析】蝴蝶模型【答案】11【解答】同上，略7.平行四面形ABCD中，對角線AC、BD交于一點O。E是AD中點，F(xiàn)是AB中點。CE交BD于點M，CF交BD于點N。求陰影部分面積占平行四邊形面積的幾分之幾？【分析】【答案】【解答】比例模型13OD=OB：OM=ON,即MN=BD：SMNC=SBCD=S平行四邊形=S平行四邊形：S陰影=2SMNC=S平行四邊形8.如下圖，在梯形ABCD中，與CD平行，且CD＝2AB，點E、F分別是AD和BC的中點，已知陰影四邊形EMFN的面積是54平方厘米，則梯形ABCD的面積是多少平方厘米？【分析】蝴蝶模型【答案】210【解答】((ABa2EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(E),D)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(F),C)=EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up11(a),a)=43(92SABFE=5k,SEFCD=7k572定理4燕尾模型S ADESSBDE .AD.EH1.BD.EHAD=BD2ACESACESBDBCE證法(二)SACESADESADC.AD.(h1h2)ADSBCESBDESBDC.BD.(h1h2)BD與AC的交點，則AF:FC=________________.【分析】燕尾模型SEC1SABDSEC1ACDSABD=3x，SACD=x，則SBDE=3x，SCDE=xFCS4AFFCS4BCD典例2如下圖所示，在△ABC中，BD=2DA，CE=2EB，AF=2FC，那么△ABC的面積是陰影三角形面積的______________倍.【分析】燕尾模型【答案】7【解答】SBCH=1==|卜SBCH:SABH:SACH=1:2:4SABH=SABCSBCH=1理可證：ACGBCIABCS=SACGBCIABC7GHIABCGHIABC7GCGBCACABDE積為多少？【分析】燕尾模型【答案】1365【解答】126+x2703280+y=360=4y=140x=189=126+x=ySABC=270+360+280+189+140+126=1365典例4在下圖中，三角形ABC是直角三角形，已知AB=BC=14且BE=BD=6，請問圖中陰影部分的面積是多少？【分析】燕尾模型【答案】【解答】 A ABFSSACF BCFACFACF58=4SABF:SBCF:SACF=3:3:4S陰影=4.SABC=211414=196=10525典例5下面兩幅圖中，一個是風箏模型，一個是燕尾模型，我們來看看它們之間有什么聯(lián)系。已知在下面兩幅圖中，△ABD的面積是15，△ACD的面積是20，△CDE的面積是10。求△BDE的面積。【分析】比例模型【答案】7.5；7.5【解答】(1)=SBDE=7.5(2)=SBDE=7.5典例6如圖，已知BD=3DC,EC=2AE,BE與AD相交于點O,則△ABC被分成的4部分面積各占△ABC面積的幾分之幾？【分析】燕尾模型【解答】 3)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up3(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up1(),)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up1(A),)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up1(O),O)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up1(B),C)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up24(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up21(),)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up24(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up21(),)ABC|EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up13(S),SEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up13(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up10(),)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up10(A),)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up10(O),O)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up10(B),C)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up6(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(),)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(),)AOE編ABC編ABCAOE編ABC編ABC31030OECD：S=1-3-9-1=OECD10203060典例7如圖，三角形ABC的面積是1，BD=2DC，CE=2AE，AD與BE相交于點F，請寫出這4部分的面積各是多少?【分析】燕尾模型【解答】=SBDF=SBCF==ACFAEFCEFS=1S=11=1S=21=2ACFAEFCEF737213721CEFDS=4+2=2CEFD21217典例8如圖，△ABC中，BD:DC=2:3，AE:EC=5:3,則AF:FB=?【分析】燕尾模型【解答】S S S 6)S編BCG=31S編ABC|AFSS編ACG=S編ABCFBS編BCG 2DBECFA2ABC的面積【分析】燕尾模型【解答】連接BGS ABGSSACG A ACGSBCG=7同理可證：SABH=SBCI=SACG=SABC：SGHI=SABCSABCSABC7體驗1如圖，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形GHI的面積是1，求三角形ABC的面積.【分析】燕尾模型【解答】連接BG解答過程和上一道一樣略典例10如圖，△ABC中，G是AC的中點，D、E、F是邊上的四等分點，AD與BG交于M，AF與BG交于N，已知△AMN的面積是1，求△ABC的面積.【分析】燕尾模型【解答】以M為結(jié)點，易算出SABM=SABC以N為結(jié)點，易算出SABN=SABCABC88SABC88【挑戰(zhàn)題】如圖，三角形ABC的面積是1，BD=DE=EC，CF=FG=GA，三角形ABC被分成9部分，請求出中心四邊形的面積.【分析】燕尾模型【解答】以H為結(jié)點，易算出SABH=以K為結(jié)點，易算出SABK=所以SAHK==;SAGK==同理，以I為結(jié)點，易算出SABI=所以SBIH==;SBDI==以J為結(jié)點，易算出SABJ=所以SHIJK==定理5沙漏模型1.沙漏模型OECDOF=ABOEOECDEF=h=AB+CD2.平行線分線段成比例定理證明：ABEBEFSABEBEFBCEBDESBCEBDESS=SS=SSBCESSBCEBDE .AB.EG.EF.BH.BC.EG.BC.EG.DE.BH=+1=+1AB+BCEF+DE=BCDE3.平行線分線段成比例定理推導解析：從運動變化角度證明4.沙漏模型推導證明：AJ=IG=====2典例1圖中的四邊形土地總面積為52公頃，兩條對角線把它分成了4個小三角形，其中2個小三角形的面積分別是6公頃和7公頃。那么最大的一個三角形的面積是多少公頃？【分析】要求最大三角形的面積是多少，先求出較大的兩個三角形的面積是多少，較大的兩個三角后根據(jù)按比例分配知識進行解答即可.【答案】21公頃【解答】左下角兩個較小的三角形的面積比為6:7，因為這兩個三角形等高，所以底邊的比也為6:7，所以FD【分析】考察沙漏模型、蝴蝶模型【答案】3【解答】GHF編BCHGHF編BCHEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(),)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(S),S)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(),)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(),C)2ABEFDABEFD點，求三角形BDG的面積．【分析】考察比例模型【答案】6.25cm2【解答】222\22)222\22)典例4如圖，正方形ABCD的面積是120平方厘米，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，四邊形BGHF的面積是多少平方厘米？【分析】沙漏模型【答案】14【解答】延長CE交DA的延長線于M點S編DHM\DM)\4)16 S編DHM\DM)\4)16 DMHD4552DMHD4552FGhhhh【答案】48cm2【解答】E是CD的中點，F(xiàn)是AC的中點DEFDEFS2ADE4典例6如下圖所示，將邊長8厘米和12厘米的兩個長方形并放在一起，那么圖形中陰影三角形的面積是_____________平方厘米.【分析】【答案】【解答】沙漏模型2165181822【挑戰(zhàn)題】典例7如圖，ABCD是平行四邊形，面積為72平方厘米，E、F分別為邊AB、BC的中點．則圖形中陰影部分的面積為多少平方厘米?【分析】沙漏模型【答案】48【解答】因為平行四邊形的面積為72平方厘米，則SADC=722=36(平方厘米)，SADM=SDMN=SDNC=SADC=36=12(平方厘米)SAEM=SNFC=SADM=12=6(平方厘米)所以陰影部分的面積=721266=48(平方厘米)，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC、CD的中點.已知正方形ABCD的面積為60，求陰影部分面積.G、H為BD的三等分點，AHGABDABCDS=1.S=1AHGABDABCD6典例9如圖，在直角三角形ABC中，點F在AB上，且AF=2FB，四邊形EBCD是平行四邊形，那么FD:EF的比值是多少？若三角形BEF的面積是1，那么三角形ABC的面積是多少？得==2ADFSAFADFSAFAD4=.==.=SABAC9ABCABCS=9ABC習題1.如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AB=16，AD=10，BE=4，那么FC的長度是多少？所以BF:FC=BE:CD=4：16=1：4FC82.如圖，DE平行BC,若AD:DB=2:3，那么SADE:SECB=________.由金字塔模型AD:AB=AE:AC=DE:BC=2：(2+3)=2：5，SADE:SABC=22:52=4:25,CSBEC所以SADE:SECB=4:153.右圖中正方形的面積為1，E、F分別為AB、BD的中點，GC=FC，求陰影部分的面積。根據(jù)沙漏模型性質(zhì)，CI:CH=CG:CF=1：3，BIBC-1)：6=5:6，所以SBGE==.4.如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，F(xiàn)是BC邊的中點，E是DC邊上的點，且DE:EC=1：3，AEAFDC兩條線交于點M，構(gòu)造出兩個沙漏，所以有AB:CM=BF:FC=1：1，因此CM=4，據(jù)題意有CE=3，再據(jù)沙漏有GB:GE=AB:EM=4:7，SABF=422=4,根據(jù)蝴蝶定理SABF:SAEF=BG:GE=4:7,，長方形ABCD中，E為AD的中點，AF與BE、BD分別交于G、H，OE垂直于AD于E，由于AB平行DF，利用沙漏模型可得AB:DF=AH:HE=5：3，又因為E為AD中點，那么OE:FD=1:2，利用沙漏模型可以得到AG：GO=AB:OE=10：3，所以AG=4=(cm)。SADE:S四邊形DEGF:S四邊形FGNM:S四邊形MNQP:S四邊形PQCB=_________.設SADE=1份，SADE:SAFG=AD2:AF2=1:4，因此SAFG=4份，進而有S四邊形DEFG=3份，同理有S四邊形FGNM=5份，S四邊形MNQP=7份，S四邊形PQCB=9份。所以有SADE:S四邊形DEGF:S四邊形FGNM:S四邊形MNQP:S四邊形PQCB=1:3:5:7:9如圖:MN平行BC，SMPN:SBCP=4:9，AM=4cm，求BM的長度.在沙漏模型中，因為SMPN:SBCP=4:9，所以MN:BC=2：3，在金字塔模型中有：AMABMNBCAMcmABcmBM2cm如圖在ABC中，有長方形DEFG，G、F在BC上，D、E分別在AB，AC上，AH是ABC邊BC的高，交DE與M，DG:DE=1:2，BC=12厘米，AH=8厘米，求長方形的長和寬。1、觀察圖中有金字塔模型5個，用與已知邊有關(guān)系的兩個金字塔模型，所以1，解得x=,2x=，因此長方形的長和寬分別是厘米，厘米。9.如右圖，長方形ABCD中，EF=16，F(xiàn)G=9，求AG的長。G所以AG=15.定理6梅涅勞斯定理(梅氏線)E、F均不是ABC的頂點，則有明：如圖，過點C作AB的平行線，交EF于點G．CGAB—(1)CGAB(2)注：添加的輔助線CG是證明的關(guān)鍵“橋梁”，兩次運用相似比得出兩個比例等式，再拆去“橋梁”(CG)使得命題順利獲證．4．梅涅勞斯定理的逆定理及其證明么，D、E、F三點共線．證明：設直線EF交AB于點D/，則據(jù)梅涅勞斯定理有AD/BECFD/B.EC.FA=1．注：證明方法與上面的塞瓦定理的逆定理如出一轍，注意分析其相似后面的規(guī)律．定理7塞瓦定理(賽瓦點)1．塞瓦定理及其證明定理：在ABC內(nèi)一點P，該點與ABC的三個頂點相連所在的三條直線分別交ADSS ADPADSS證明：運用面積比可得DB=SBDP=SBDC．根據(jù)等比定理有 ADPADCADC ADPADCADC一ADPAPC===BDPBDCBDC一BDPBPCSBDPBDCBDC一BDPBPC注：在運用三角形的面積比時，要把握住兩個三角形是“等高”還是“等底”，這樣就可以產(chǎn)生出“邊之比”．2．塞瓦定理的逆定理及其證明線共點．FPCPABAD/BECFD/B.EC.FA注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命題順利獲證．定理8格點面積公式(皮克公式)定理9構(gòu)造新底新高巧求面積(萬底公式)定理10阿基米德折弦定理上任意一點，且MD」BC于D.求證：AB+BD=DC證法一：(補短法)如圖：延長DB至F，使BF=BA∵M為的中點∴AM=MC,,∴∠MAC=∠MCA---①又∵∴MC=MA∴∠MBC=∠MAC---②,又∵∠MBC+∠MBF=180---③由M,B,A,C四點共圓∴∠MCA+∠MBA=180---④由①②③④可得：∠MBA=∠MBF〈|三MBA=〈|三MBA=三MBF∴△MBF△MBA(SAS)∴MF=MA,又∵MC=MA∴MF=MC|MB=MB又∵MD⊥CF∴DF=DC∴FB+BD=DC又∵BF=BA∴AB+BD=DC(證畢)如圖：在CD上截取DB=DG∵MD⊥BG∴MB=MG∴∠MBG=∠MGB---①∴∠MBG=∠MCA---②由①②可得∠MGB=∠MCA=∠BCA+∠MCGCBCABMABCA∴∠BMA=∠GMC,在△∴∠BMA=∠GMC,在△MBA與△MGC中〈|三BMA=三GMC∴△BMA△GMC(SAS)|MA=MCMBMB=MB∴AB=GC,∴AB+BD=GC+BD=GC+DG=DC(證畢)∵△MBA與△MBE關(guān)于BM對稱，所以△MBE≌MBA∴MA=ME,∠MBA=∠MBE-①又∵MA=MC,∴ME=MC,又∵M,B,A,C四點共圓，∴∠MBA+∠MCA=180---②又∵MA=MC(已證)∴∠MAC=∠MCA由①②③得:∠MBC+∠MBE=180∴E,B,C三點共線。又∵ME=MC,MD⊥CE∴DE=DC,∴EB+BD=DC,又∵△MBE≌MBA∴AB=EB∴AB+BD=DC(證畢)MBMAMCACAB,過點M作MH⊥AB于點H,∵M為的中點∴AM=MC,又∵,∴∠HAM=∠DCM(MHA=MDC又∵∠MHA=∠MDC=90∴在△MHA與△MDC中〈|HAM=DCM|MC=MA∴△MHA≌△MDC(AAS)∴CD=AH---①MD=MH在RT△MHB與RT△MDB中〈∴△MDB≌△MHB〈∴△MDB≌△MHB(HL)∴BD=BH又∵AH=AB+BH,∴AH=AB+BD-②由①②可得DC=AB+BD(證畢)變式訓練反思：在平時數(shù)學教學活動中，尤其是幾何學的教學，它可以讓覺得數(shù)學課枯燥無味的學生頓時感興趣，更是師生互動的一個很好的媒體。老師與學生一起想辦法，也是一種數(shù)學情感的體現(xiàn)。在圓這一章節(jié)，很多學生反映難學，難在輔助線多，方法多，同一個問題靈活多變，不同的出發(fā)點會得到不同的解題方法。本題就是一個很好的例子。對于一個著名的平面幾何定理，我們的證明也僅僅是使用了非常常見的“截長補短”，“對稱變換”等方法。在以后的幾何教學過程中多總結(jié)出一些通用，常見的解題方法這會讓學生受益匪淺的，萬變不離其宗，才是數(shù)學的特點。阿基米德折弦定理例題：如圖，AB和BC是。o的兩條弦(即折線ABC是。o的一條折弦)，BCAB,M是A的中點，過點M作MD」BC垂足為D，求證：CD=AB+BD.(阿基米德折弦定理)ABCoABDAC上一點,三ABD=45,AE」BD于E,求BDC的周長。=120,(2)探究DA、DB、DC之間的關(guān)系，并證明。3.已知：如圖1，在o中，C是劣弧AB的中點，直線CD」AB于E,易證得：AE=BE,從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦。如圖2，PA、PB組成o的一條折弦，C是劣弧AB的中點，直線CD」PA于E,(1)求證：AE=PE+PB(2)如圖3，PA、PB組成o的一條折弦，若C是優(yōu)弧AB的中點，直線CD」PA于E,則AE、PE、PB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，并證明。定理11圓冪定理圓冪定理是對相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)以及它們推論統(tǒng)一歸納的結(jié)相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點P引兩條直線L1、L2，L1與圓交于A、B(可重合，即切線)，定理12巴布斯定理(中線定理)定理13斯庫頓定理定理14費馬點【問題12】“費馬點”做法原理△ABC中每一內(nèi)角都小于120°，C值最小所求點為“費馬點”，即滿足∠APB=∠BPC=∠為邊向外作等邊三角形ABD、ACE，連接CD、BE求兩點之間線段最短，長破解策略費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點。這個最小距離叫做費馬距離。若三角形的內(nèi)角均小于120°，那么三角形的費馬點與各頂點的連線三等分費馬點所在的周角；若三角形內(nèi)有一內(nèi)角大于120°，則此鈍角的頂點就是到三個頂點距離之和最小的點。1.若三角形有一個內(nèi)角大于等于120°，則此鈍角的頂點即為該三角形的費馬點。如圖，?ABC中，∠BAC≥120°，則鈍角的頂點即為該三角形的費馬點。AP’=AP,連接PP’。因為∠BAC≥120°，所以∠PAP’=∠CAC’≤60°，在等腰△PAP中，AP≥PP’,所以PA+PB+PC>PP+PB+PC＞BC=AB+AC,2.若三角形三個內(nèi)角均小于120°，則以三角形的任意兩邊向外作等邊三角形，兩個等邊三角形外接圓在三角形內(nèi)的交點即為該三角形的費馬點。如圖，△ABC中，三個內(nèi)角均小于120°，分別以AB,AC為邊向外作等邊三角形，兩個等邊三角形ABC內(nèi)的交點為O，求證：點O為△ABC的費馬點。所以△AOO'為等邊三角形，OO'=AO，所以OA+OB+OC=OO'+0B+0'D,則當點B,O,O',D四點共線時，OA+OB+OC最小，此時∠AOB=∠A0C=∠B0C=120°，即以AB,AC為邊向外作等邊三角形，兩個等邊三角形的外接圓在△ABC內(nèi)的交點即為點O。∠BOC=∠COA=120°。所以三角形的費馬點也稱為三角形的等角中心。例題講解例1：如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(-6，0)，點B的坐標為(6，0)，點C使點P按照上述要求到達A點所用的時間最短。例2：A,B,C,D四個城市恰好為一個正方形的四個頂點，要建立一個公路系統(tǒng)，使每兩個城市之間都有公路相通，并使整個公路系統(tǒng)的總長為最小，則這個公路系統(tǒng)應當如何修建？進階訓練1.如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=5，BC=3,P是△ABC內(nèi)一點，求PA+PB+PC的最小值，并確定理16古堡朝圣問題傳說：從前有一個虔誠的信徒，他是集市上的一個小販，每天他都從家所在的A點出發(fā)，到集市B點做買賣.到集市之前他要先拐彎兒到圓形古堡朝拜阿波羅神像.古堡是座圣城,阿波羅像供奉在古堡的圓心O上,而圓周上的點都是供信徒朝拜的頂禮點.這個信徒在想：我應該選擇什么樣的頂禮點,才能從家到朝拜點,然后再到集市的路程最短呢?(感謝劉俊勇老師提供此傳說)這一題有一個一般的解答，如圖所示：者的最短路線.下面我們證明這個結(jié)論：PB就是朝圣APBAP’+P’B=AR+RP’+P’B=A’R+RP’+P’B>A’P’+P’B>A’B=A’P+PB=AP+PB從上面的證明過程我們可以看出，這樣的P點時存在的，但是要想在一般情況下用尺規(guī)作圖講它做出來是不可能的。因此一般來說，這個問題是沒有初等解法的，不過因為本題的數(shù)據(jù)比較特殊，兩個定點離圓心的距離相等，因此我們才有下面的初等解法.簡解一作第一、三象限的平分線，它在一、三象限分別交○O于P、Q，則AP+PB最小，AQ+QB最大。證明如下：過P作OP的垂線，與y軸，x軸分別交于M、N。對于圓周上另一點P’(不同于P)，連AP’,P’顯然RB=RB’,PB=PB’.PAOPOPOPBOPAOP于是∠APL=∠BPL，∴∠APN=∠BPM=∠B'PM∴A,P,B'共線.AP’+P’B=AR+RP’+P’B=A’R+RP’+P’B>A’P’+P’B>A’B=A’P+PB=AP+PB類似的，可以證明AQ+QB≥AP’+P’B.OPQ，-1)這樣我們不僅計算出了下面我們使用代數(shù)的方法重新計算一下上面的問題.簡解二設P(x,y)AP=(x4)2+y2，BP=x2+(y4)2AP+PB=188x+188y>24(188x)(188y)(取等條件x=y)于是問題轉(zhuǎn)換為在x2+y2=2條件下，求(9-4x)(9-4y)的最小值。x9-4y)=81-36(x+y)+16xy繼續(xù)轉(zhuǎn)換：在在x2+y2=2條件下，求4xy-9(x+y)的最小值。∵x2+y2=2，易知-2≤x+y≤2令x+y=t,-2≤t≤24xy-9(x+y)=2[(x+y)2-(x2+y2)]-9(x+y)=2t2-9t-4因此(9-4x)(9-4y)=81-36(x+y)+16xy=81+4[4xy-9(x+y)]≥25)求最大值則稍簡單一些：(AP+PB)2≤2(AP2+PB2)=2[(x2+y2)+32-8(x+y)]=72-16(x+y)≤104∴AP+PB≤2，當x=y=-1時等號成立.顯然我們可以將上面的問題稍作推廣：∠AOB=2α，OA=OB=d,OP=r(d>r),求(AP+PB)min.注意我們保留了核心條件兩個定點到圓心的距離相等，只不過改成了一般的數(shù)據(jù)，另外，兩線的夾角變成了一般的角度。從簡解一的角度來看，這個問題的解法是顯然的，就不再贅述了。定理17四點共圓證明四點共圓的基本方法：從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓．把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等)，從而即可肯定這四點共圓．(若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑。)把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點共圓．把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓(相交弦定理的逆定理)；或把被證共圓的四點兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓．(割線定理的逆定理)證被證共圓的點到某一定點的距離都相等，從而確定它們共圓．既連成的四邊形三邊中垂線有交點，即可肯定這四點共圓．上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點共圓的一種原因，因此當要求證四點共圓的問題時，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明．五個基本判斷方法：1.若四個點到一個定點的距離相等，則這四個點共圓。2.若一個四邊形的一組對角互補(和為180°)，則這個四邊形的四個點共圓。3.若一個四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，則這個四邊形的四個點共圓。4.若兩個點在一條線段的同旁，并且和這條線段的兩端連線所夾的角相等，那么這兩個點和這條線的兩個端點共圓。5.同斜邊的直角三角形的頂點共圓。(1)已知：四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°.求證：四邊形ABCD內(nèi)接于一個圓(A，B，C，D四點共圓)證明：用反證法連結(jié)DC’，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠A+三DC'B=180°，這與三角形外角定理矛盾，故C不可能在圓外。類似地可證C不可能在圓內(nèi)。證明：假設四點不在同一圓上，作△ABC外接圓，則D點不在圓上，因二角共用AB弧，則∠A≠∠D，與實際不符，所以只有D點在△ABC外接圓上，課堂練習題2.矩形ABCD中，E是BD上一點，EF⊥AE交BC于F，sin∠ADB=，則=____________.ABCABACAaACA向旋(1)當∠BAC＝∠MBN＝90°時，②如圖b，當θ≠45°時，①中的結(jié)論是否發(fā)生變化？說明理由；(2)如圖c，當∠BAC＝∠MBN≠90°時，請直接寫出∠ANC與∠BAC之間的數(shù)量關(guān)系，不必證明4.閱讀下面材料：小紅遇到這樣一個問題，如圖1：在△ABC中，AD⊥BC，BD＝4，DC＝6，且∠BAC＝45°，求線段小紅是這樣想的：作△ABC的外接圓⊙O，如圖2：利用同弧所對圓周角和圓心角的關(guān)系，可以知道在Rt△AOF中可以求出AF，最后利用AD＝AF＋DF得以解決此題．請你回答圖2中線段AD的長____________．參考小紅思考問題的方法，解決下列問題：如圖3：在△ABC中，AD⊥BC，BD＝4，DC＝6，且∠BAC＝30°，則線段AD的長___________．5.已知：A、B、C三點不在同一直線上．(1)若點A、B、C均在半徑為R的⊙O上，(2)若定長線段BC的兩個端點分別在∠MAN的兩邊AM、AN(B、C均與A不重合)滑動，如圖③，當∠MAN＝60°，BC＝2時，分別作BP⊥AM，CP⊥AN，交點為P，試探索在整個滑動過程中，P、A兩點間的距離是否保持不變？請說明理由．定理18阿波羅尼定理定理19三角形中線長定理APABCBCAP=AB2+AC2一BC2．定理20廣義勾股定理推論1：平行四邊形對角線的平方和等于四邊平方和。ABC三邊長分別為a、b、c，對應邊上中線長分別為ma、mb、mc 111則：ma=2；mb=2；mc=2定理21三角形高線長定理定理22三角形內(nèi)、外角平分線模型、角平分線長定理三角形內(nèi)、外角平分線定理：BDAB內(nèi)角平分線定理：如圖：如果∠1=∠2，則有DCAC外角平分線定理：如圖，AD是△ABC中∠A的外角平分線交BC的延長線與D，BDAB則有DCAC5．托勒密定理及其證明定理5．托勒密定理及其證明定理：凸四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形，則有證明：設點M是對角線AC與BD的交點，在線段BD上找一點，得E一、托勒密定理MMEABCDACBE————(2)BD注：巧妙構(gòu)造三角形，運用三角形之間的相似推得結(jié)論．這里的構(gòu)造具有特點，不容易想到，需要認真分析題目并不斷嘗試．6．托勒密定理的逆定理及其證明BCD證法1(同一法)：可得AB×CD=BE×AC———(1)AEAB且AD=AC———(2)AD×BC=DE×AC———(3)由(1)+(3)可得AB×CD+BC×AD=AC×(BE+DE)．據(jù)條件可得BD=BE+DE，則點E在線段BD上．則由三EBA=三DCA，得證法2(構(gòu)造轉(zhuǎn)移法)A/B/A/DB/C/C/D可得A/B/+BC//=.方面，AC=CD，即=CD．A/C/A/DA/方面，AC=CD，即=CD．ABA/D+BCC/DACA/D欲證BD=CD，即證AD即BCCDC/D=(ACBDABCD)A/D．據(jù)條件有ACBDABCD=ADBC，所以需證CDCDADAD．所以，A/B/+BC//=A/C/，7．托勒密定理的推廣及其證明定理：如果凸四邊形ABCD的四個頂點不在同一個圓上，那么就有AB×CD+BC×AD>AC×BDDAC．可得AB×CD=BE×AC————(1)AEAB且AD=AC————(2)是AD×BC=DE×AC————(3)由(1)+(3)可得AB×CD+BC×AD=AC×(BE+DE)因為A、B、C、D四點不共圓，據(jù)托勒密定理的逆定理可知AB×CD+BC×ADAC×BD所以BE+DEBD，即得點E不在線段BD上，則據(jù)三角形的性質(zhì)有BE+DE>BD．所以AB×CD+BC×AD>AC×BD．定理24清宮定理PQABC的外接圓上異于A、B、C的兩點，P關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點分F在同一直線上定理25西姆松定理(西姆松線)定理：從ABC外接圓上任意一點P向BC、CA、AB或其延長線引垂線，垂足分E四點共圓．由于過點P作BC的垂線，垂足只有一個，所以點D與F注：(1)采用同一法證明可以變被動為主動，以便充分地調(diào)用題設條件．但需注意運用同一法證明時的唯一性．(2)反復運用四點共圓的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵，要掌握好四點共圓的運用手法．定理26九點圓三角形三邊的中點，三高的垂足和三個歐拉點(連結(jié)三角形各頂點與垂心所得三線段的中點)九點共圓。通常稱這個圓為九點圓(nine-pointcircle)，或歐拉圓、費爾巴哈圓。九點圓具有許多有趣的性質(zhì)，例如：1.三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半；2.九點圓的圓心在歐拉線上，且恰為垂心與外心連線的中點；3.三角形的九點圓與三角形的內(nèi)切圓，三個旁切圓均相切(費爾巴哈定理)；4.九點圓是一個垂心組(即一個三角形三個頂點和它的垂心，共四個點，每個點都是其它三點組成的三角形的垂心，共4個三角形)共有的九點圓，所以九點圓共與四個內(nèi)切圓、十二個旁切圓相切。5.九點圓心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四點共線，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。定理27莫利定理(摩萊三角形)莫利定理：將任意三角形的各角三等分，則每兩個角的相鄰三等分線的交點構(gòu)成一個正三角形。 定理28蝴蝶定理蝴蝶定理：AB是圓的一條弦，中點記為S，圓心為O，過S作任意兩條弦CD、EF，分CDEFCFEDAB于點M、N，求證：MS=NS。 蝴蝶定理及其證明AB證明：過點M作直線AB的垂線l，作直線CF關(guān)于直線l的對稱直線交圓于點C/、FF/AB，PM=MQ/．M此定理還可用解析法來證明：想法：設法證明直線DE和CF在x軸上的截距互為相反數(shù)．證：以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，M點是坐標原點．設直線DE、CF的方程分別為x=m1y+n1，x=m2y+n2；直線CD、EF的方程分別為y=k1x，y=k2x．F(y–k1x)(y–k2x)+入(x–m1y–n1)(x–m2y–n2)=0．整理得由于C、D、E、F四點在一個圓上，說明上面方程表示的是一個圓，所以必須入+k1k2=1+入m1m2≠0，又y軸是弦AB的垂直平分線，則圓心應落在y軸上，故有入(n1+n2)=0，從而得n1+n2=0．這說明直線DE、CF在x軸上的截距互為相反數(shù)，即得PM=MQ．注：利用曲線系方程解題是坐標法的一大特點，它可以較好地解決直線與曲線混雜在一起的問題．如本題，四條直線方程一經(jīng)組合就魔術(shù)般地變成了圓方程，問題瞬息間得以解決，真是奇妙．運用它解題，不拘泥于小處，能夠從整體上去考慮問題．另外，待定系數(shù)法在其中扮演了非常重要的角色，需注意掌握其用法．定理29正弦定理、余弦定理定理1正弦定理 abc abcsinAsinBsinC=2RBA2R,sinABA2R,sinA理可得===2R ab理可得===2RsinAsinBsinC定理2余弦定理sA有時也用它的等價形式c=acosB+bcosA【基礎知識】AB2.PC+AC2.BP=AP2.BC+BP.PC.BCAPABAC一BC2..．①②-1，不失一般性，不妨設∠APC想90o，則由余弦定理，有C對上述兩式分別乘以BP，PC后相加整理，得①式或②式．BPAPBCBPPCBCAPABACBC將上述兩式分別乘以PC，BP后相加，再與已知條件式相比較得so斯特瓦爾特定理的推廣(1)設P為△ABC的BC邊延長線上任一點，則(2)設P為△ABC的BC邊反向延長線上任一點，則APABBCACBCAPABBCACBCBC.BC.BC．④注若用有向線段表示，則②，③，④式是一致的．推論1設P為等腰△ABC的底邊BC上任一點，則AP2=AB2一BP.PC．注此推論也可視為以A為圓心，AB為半徑的圓中的圓冪定理．推論2設AP為△ABC的BC邊上的中線，則AP2=AB2+AC2一BC2．PABACBPPC證明：內(nèi)角平分線定理：=AB.PC=AC.BP22PC2BP2BPPCAP=AB.BC+AC.BC22PC2BP2BPPCPC證明：外角平分線定理：=AB.PC=AC.BPAP=一AB.+AC.+BC..22PCAP=一AB.+AC.+BC..BCBCBCBC=一++BP.PC=一AB.AC+BP.PC定理31歐拉(Euler)線同一三角形的垂心、重心、外心三點共線，這條直線稱為三角形的歐拉外心與重心的距離等于垂心與重心距離的一半。點共線(歐拉線)，且滿足OH=3OG．DADHCEBCC)))OH=OA+AH———①因為CD⊥BC，AH⊥BC，所以AH//CD．同理CH//DA．所以，AHCD為平行四邊形．))))))EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up14()),OE)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up14()),OB)EQ\*jc3\*