第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025年湖南省常德市桃源一中高考數(shù)學(xué)一模試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知角θ的始邊為x軸非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)，則sin(π?θ)sinθ+cosθ的值為(

)A.?13 B.13 C.?2.在(x3?i)(2x+ix)5(其中A.?39?i B.?39i C.?40+i D.?403.已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AD=2,∠ADB=π4,BD是圓的直徑，AC?BDA.5π12 B.π2 C.7π124.已知a=ln1.1，b=e0.1?1，c=sin0.1，則a，b，c的大小關(guān)系為A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a5.已知函數(shù)f(x)=xlnx+x(x?a)2(a∈R)，若存在x∈[12,2]，使得f(x)>xf′(x)A.(94,+∞) B.(32,+∞)6.已知橢圓C1與雙曲線C2有相同的焦點(diǎn)F1(?23,0)，F(xiàn)2(23,0)，離心率分別為e1，e2，點(diǎn)PA.x29?y23=1 B.7.已知公差不為零的等差數(shù)列{an}滿足：a3+a8=20，且a5是a2與a14的等比中項(xiàng).設(shè)數(shù)列{bA.12(1?12n+1)=n2n+1 B.8.如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃.將小球從頂端放入，小球下落的過(guò)程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.記格子從左到右的編號(hào)分別為0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的號(hào)碼，若P(X=k)≤P(X=k0)，則k0A.4B.5C.6D.7二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=sinωx?3cosωx+1(ω>0)的最小正周期為π，則下列結(jié)論中正確的是A.f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(π6,0)對(duì)稱(chēng) B.f(x)的圖像關(guān)于直線x=5π12對(duì)稱(chēng)

C.f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增 D.10.已知圓C：(x+2)2+y2=4，直線lA.直線l恒過(guò)定點(diǎn)(?1,1)

B.當(dāng)m=0時(shí)，圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1

C.直線l與圓C可能相切

D.若圓C與圓x2+11.四棱錐P?ABCD的底面為正方形，PA與底面垂直，PA=2，AB=1，動(dòng)點(diǎn)M在線段PC上，則(

)A.存在點(diǎn)M，使得AC⊥BM

B.MB+MD的最小值為303

C.四棱錐P?ABCD的外接球表面積為5π

D.點(diǎn)M到直線AB的距離的最小值為255

三、填空題：本題共312.在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S7=2813.對(duì)?x∈R，都有f(x)=x4?4x314.已知函數(shù)f(x)=x3+2x，若m>0，n>0，且f(2m)+f(n?1)=f(0)，則1四、解答題：本題共5小題，共68分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若4sinA?bsinB=csin(A?B)．

(1)求a的值；

(2)若△ABC的面積為3(b216.(本小題12分)

設(shè)函數(shù)f(x)=?x2+ax+lnx(a∈R)．

(1)若a=1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)f(x)在[1e,e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a17.(本小題12分)

已知數(shù)列{an}滿足a1=a(a∈R,a≠?12)，an=2an?1+1n+1n(n+1)(n∈N,n≥2).18.(本小題12分)

已知四棱錐P?ABCD，AD//BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，E是AD上一點(diǎn)，PE⊥AD．

(1)若F是PE中點(diǎn)，證明：BF//平面PCD．

(2)若AB⊥平面PED，求面PAB與面PCD夾角的余弦值．19.(本小題20分)

某地區(qū)舉行專(zhuān)業(yè)技能考試，共有8000人參加，分為初試和復(fù)試，初試通過(guò)后，才能參加復(fù)試.為了解考生的考試情況，隨機(jī)抽取了100名考生的初試成績(jī)，并以此為樣本，繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示．

(1)若所有考生的初試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，σ=11.5，試?yán)谜龖B(tài)分布估計(jì)所有考生中初試成績(jī)不低于85分的人數(shù)；

(2)復(fù)試共四道題，前兩道題考生每題答對(duì)得5分，答錯(cuò)得0分，后兩道題考生每題答對(duì)得10分，答錯(cuò)得0分，四道題的總得分為考生的復(fù)試成績(jī).已知某考生進(jìn)入復(fù)試，他在復(fù)試中，前兩題每題能答對(duì)的概率均為34，后兩題每題能答對(duì)的概率均為35，且每道題回答正確與否互不影響.規(guī)定復(fù)試成績(jī)上了20分(含20分)的考生能進(jìn)入面試，請(qǐng)問(wèn)該考生進(jìn)入面試的概率有多大？

附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)

參考答案1.D

2.C

3.C

4.C

5.C

6.D

7.A

8.B

9.BC

10.AD

11.ABD

12.17

13.[0,+∞)

14.8

15.解：(1)∵4sinA?bsinB=csin(A?B)=c(sinAcosB?cosAsinB)，

∴由正弦定理可得：4a?b2=c(acosB?bcosA)，

∴由余弦定理知：accosB=12(a2+c2?b2)，可得cbcosA=12(c2+b2?a2)，

∴4a?b2=c(acosB?bcosA)=a2?b2?4a=a2，

解得：a=0或4，

∵a>0，

∴a=4；

(2)由余弦定理知b2+c2?a2=2bccosA，

又在△ABC中有S=12bcsinA，

∴12bcsinA=3(b216.解：(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=?x2+x+lnx，f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，

f′(x)=?2x+1+1x=?2x2+x+1x，

令f′(x)>0，則2x2?x?1<0，解得0<x<1，

令f′(x)<0，則2x2?x?1>0，解得x>1．

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞)．

(2)令f(x)=?x2+ax+lnx=0，則a=x?lnxx．

令g(x)=x?lnxx，其中x∈[1e,e]，

則g′(x)=1?1x?x?lnxx2=x217.解：(1)證明：根據(jù)題意，當(dāng)n≥2時(shí)，an=2an?1+1n+1n(n+1)=2an?1+2n?1n+1，即an+1n+1=2(an?1+1n)，

又由bn=an+1n+1，即bn=2bn?1，

又b1=a+12≠0，即bn≠0，所以數(shù)列18.(1)證明：如圖，設(shè)M為PD的中點(diǎn)，連接FM，CM，

因?yàn)镕是PE中點(diǎn)，所以FM//ED，且FM=12ED，

因?yàn)锳D//BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，

所以四邊形ABCE為平行四邊形，BC/?/ED，且BC=12ED，

所以FM/?/BC，且FM=BC，

即四邊形BCMF為平行四邊形，

所以BF//CM，

因?yàn)锽F?平面PCD，CM?平面PCD，

所以BF/?/平面PCD．

(2)解：因?yàn)锳B⊥平面PED，

所以CE⊥平面PED，EP，ED，EC相互垂直，

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,2)，A(0,?1,0)，B(1,?1,0)，C(1,0,0)，D(0,2,0)，

所以AB=(1,0,0)，AP=(0,1,2)，PC=(1,0,?2)，CD=(?1,2,0)，

設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為m=(x1,y1,z1)，

則m?AB=x1=0m?AP=y1+219.解：(1)由意得樣本平均數(shù)的估計(jì)值為：

(40×0.010+50×0.020+60×0.030+70×0.024+80×0.012+90×0.004)×10=62，