第一章

整式的乘除3乘法公式第2課時

完全平方公式利用乘法分配律計算：(1)(x＋3)2＝

；

(2)(2x＋1)2＝

。

4x2＋4x＋1

知識儲備

x2＋6x＋9

語言敘述：兩數和的平方，等于這兩數的平方和，加上這兩數積的2倍。兩數和的完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。

知識點?幾何驗證：一塊邊長為a的正方形試驗田，因需要將其邊長增加b，形成四塊小試驗田，以種植不同的新品種(如圖)。(1)四塊小試驗田的面積分別為

。

(2)用兩種方法表示大試驗田的面積：①從整體上看，大試驗田是邊長為

的大正方形，

故它的面積為

；

②從部分上看，大試驗田的面積是四塊小試驗田面積的和，故它的面積為

。(3)總結：通過以上探索可以發現(a＋b)2＝

。

a2＋2ab＋b2

(a＋b)2

(a＋b)

a2，ab，ab，b2

a2＋2ab＋b2

x

x

4a2＋12ab＋9b2

3b

3b

2a

2a

a2＋2a＋1

1

1

a

a

(2)(－x－3y)2＝[－(x＋3y)]2＝(x＋3y)2＝x2＋2·x·3y＋(3y)2＝x2＋6xy＋9y2知識點?兩數差的完全平方公式

如果把(a－b)2寫成[a＋(－b)]2，就可以由兩數和的完全平方公式得到[a＋(－b)2]＝a2＋2a·(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2，即(a－b)2＝a2－2ab＋b2。語言敘述：兩數差的平方，等于這兩數的平方和，減去這兩數積的2倍。變式2計算：(1)(r－h)2； (2)(2x－2.5)2。

典例2計算：(1)(y－7)2； (2)(－2s＋t)2。

解：(1)(r－h)2＝r2－2·r·h＋h2＝r2－2rh＋h2。(2)(－2s＋t)2＝(t－2s)2＝t2－2·t·2s＋(2s)2＝t2－4ts＋4s2。解：(1)(y－7)2＝y2－2·y·7＋72＝y2－14y＋49。

典例3

(教材P21練習T2)已知a＋b＝－3，求2a2＋4ab＋2b2的值。

即2a2＋4ab＋2b2＝18。所以2(a2＋2ab＋b2)＝18，所以(a＋b)2＝(－3)2，即a2＋2ab＋b2＝9。用完全平方公式求代數式的值

解：因為a＋b＝－3，知識點?變式3已知x－2y＝5，求－x2＋4xy－4y2的值。

即－x2＋4xy－4y2＝－25。所以－(x2－4xy＋4y2)＝－25，所以(x－2y)2＝52，即x2－4xy＋4y2＝25。解：因為x－2y＝5，1．下列各式中，能用完全平方公式計算的是(

)A．(x－y)(x＋y)

B．(2x－y)(x＋y)C．(x－y)(2x－y)

D．(x－y)(－x＋y)

D

(3)(－2t－1)2＝4t2＋4t＋1。解：(1)(2x＋5y)2＝4x2＋20xy＋25y2。

(5)(7ab＋2)2＝49a2b2＋28ab＋4。

3．若(x－4)2＝x2＋kx＋16，則k＝(

)A．8 B．4 C．－4 D．－84．如果m2＋m＝5，那么代數式(m＋2)2＋m(m－2)的值為

。

14

D

5．如圖，一塊直徑為a＋b的圓形鋼板，從中挖去直徑分別為a與b的兩個圓，則剩下的鋼板的面積為

(結果保留π)。

6．用如下的三角形解釋(a＋b)n的展開式的各項系數，此三角形稱為“楊輝三角”。(a＋b)0＝1各項系數為

1(a＋b)1＝a＋b各項系數為

1

1(a＋b)2＝a2

＋2ab＋b2各項系數為

121(a＋b)3＝a3

＋3a2b＋3ab2＋b3各項系數為1

3

3

1根據上面的規律，可知(a＋b)5的展開式中各項系數的和為

。

32

1．下列多項式相乘時，可用完全平方公式計算的是(

)A．(m＋2n)(2m－n)

B．(－2m－n)(2m＋n)C．(－m－2n)(2m－n)

D．(2m－n)(－2m－n)2．已知一個正方形的邊長為a，將該正方形的邊長增加1，則得到的新正方形的面積為(

)A．a2＋2a＋1B．a2－2a＋1C．a2＋1D．a＋1

A

B3．下圖可以驗證的乘法公式為(

)

A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D．ab(a＋b)＝a2b＋ab2

B

(1)(－1＋3a)2；

＝9a2－6a＋1。＝(3a)2－2·3a·1＋124．計算：解：(1)原式＝(3a－1)2

(3)(xy＋4)2；

＝x2y2＋8xy＋16。(3)原式＝(xy)2＋2·xy·4＋42

＝4x2－4x＋1。＝(2x)2－2·2x·1＋12＝(2x－1)2

解：(1)原式＝(2x－1)(2x－1)5．選擇適當的公式計算：

(2)原式＝－(2x＋y)(2x－y)＝－(4x2－y2)＝－4x2＋y2。

＝a2－25。

(3)原式＝(－a)2－52

(4)原式＝－(ab－1)(ab－1)＝－(ab－1)2＝－［(ab)2－2·ab·1＋12］＝－a2b2＋2ab－1。

6．若x2＋mx＋4是一個完全平方式，則m的值為

。

±4

當x2－2x＝1時，2(x2－2x)＝2，所以原式＝2＋2＝4。＝2x2－4x＋2。

＝x2－2x＋1＋x2－9－2x＋10

解：(x－1)2＋(x－3)(x＋3)－2(x－5)

當h＝0.8

cm，a＝0.2

cm時，兩金塊的質量相差38.6×0.2×0.8＝6.176(g)。所以兩金塊的質量之差為19.3·2ah＝38.6ah(g)。所以兩金塊的體積之差為2ah

cm3。＝2a(cm2)。＝0.25＋a＋a2－0.25＋a－a2＝0.25＋a＋a2－(0.25－a＋a2)8．(跨學科)有兩塊底面呈正方形的長方體金塊，它們的高都為hcm，較大的一塊的底面邊長比

0.5cm大acm，較小的一塊的底面邊長比0.5cm小acm。已知金塊的密度為19.3g/cm3，則兩金塊的質量相差多少？若h＝0.8cm，a＝0.2cm呢？(注：質量＝密度×體積)解：兩金塊的底面積之差為(0.5＋a)(0.5＋a)－(0.5－a)(0.5－a)9．【思想方法·換元】若x滿足(9－x)(x－4)＝4，求(4－x)2＋(x－9)2的值。解：設9－x＝a，x－4＝b，則(9－x)(x－4)＝ab＝4，a＋