福建省惠安一中等重點中學2025年高三下期末調研測試數學試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在精準扶貧工作中，有6名男干部、5名女干部，從中選出2名男干部、1名女干部組成一個扶貧小組分到某村工作，則不同的選法共有()A．60種 B．70種 C．75種 D．150種2．已知函數，若函數的所有零點依次記為，且，則（）A． B． C． D．3．一個正四棱錐形骨架的底邊邊長為，高為，有一個球的表面與這個正四棱錐的每個邊都相切，則該球的表面積為（）A． B． C． D．4．下列函數中，既是偶函數又在區間上單調遞增的是（）A． B． C． D．5．在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.16．已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，若點在角的終邊上，則（）A． B． C． D．7．下列選項中，說法正確的是（）A．“”的否定是“”B．若向量滿足，則與的夾角為鈍角C．若，則D．“”是“”的必要條件8．已知，是橢圓與雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則的最小值為（）A． B． C．8 D．69．將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型，如圖(2)放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖(3)所示，則正四棱錐的體積是()A． B． C． D．10．某醫院擬派2名內科醫生、3名外科醫生和3名護士共8人組成兩個醫療分隊，平均分到甲、乙兩個村進行義務巡診，其中每個分隊都必須有內科醫生、外科醫生和護士，則不同的分配方案有A．72種 B．36種 C．24種 D．18種11．命題：存在實數，對任意實數，使得恒成立；：，為奇函數，則下列命題是真命題的是（）A． B． C． D．12．已知直線是曲線的切線，則（）A．或1 B．或2 C．或 D．或1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復數,其中是虛數單位．若的實部與虛部相等,則實數的值為__________．14．已知向量，，若，則________.15．已知兩圓相交于兩點,，若兩圓圓心都在直線上，則的值是________________.16．已知函數的定義域為R，導函數為，若，且，則滿足的x的取值范圍為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）函數（1）證明：；（2）若存在，且，使得成立，求取值范圍.18．（12分）已知函數.（1）當時，求函數在處的切線方程；（2）若函數沒有零點，求實數的取值范圍.19．（12分）已知拋物線：的焦點為，過上一點（）作兩條傾斜角互補的直線分別與交于，兩點，（1）證明：直線的斜率是－1；（2）若，，成等比數列，求直線的方程.20．（12分）已知拋物線:，點為拋物線的焦點，焦點到直線的距離為，焦點到拋物線的準線的距離為，且.（1）求拋物線的標準方程；（2）若軸上存在點，過點的直線與拋物線相交于、兩點，且為定值，求點的坐標.21．（12分）設函數，（）.（1）若曲線在點處的切線方程為，求實數a、m的值；（2）若對任意恒成立，求實數a的取值范圍；（3）關于x的方程能否有三個不同的實根？證明你的結論.22．（10分）在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求和的直角坐標方程；（2）已知為曲線上的一個動點，求線段的中點到直線的最大距離．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據題意，分別計算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數，由分步計數原理計算可得答案．【詳解】解：根據題意，從6名男干部中選出2名男干部，有種取法，從5名女干部中選出1名女干部，有種取法，則有種不同的選法；故選：C．本題考查排列組合的應用，涉及分步計數原理問題，屬于基礎題．2．C【解析】

令，求出在的對稱軸，由三角函數的對稱性可得，將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令，得，即對稱軸為.函數周期，令，可得.則函數在上有8條對稱軸.根據正弦函數的性質可知，將以上各式相加得：故選:C.本題考查了三角函數的對稱性，考查了三角函數的周期性，考查了等差數列求和.本題的難點是將所求的式子拆分為的形式.3．B【解析】

根據正四棱錐底邊邊長為，高為，得到底面的中心到各棱的距離都是1，從而底面的中心即為球心.【詳解】如圖所示：因為正四棱錐底邊邊長為，高為，所以，到的距離為，同理到的距離為1，所以為球的球心，所以球的半徑為：1，所以球的表面積為.故選：B本題主要考查組合體的表面積，還考查了空間想象的能力，屬于中檔題.4．C【解析】

結合基本初等函數的奇偶性及單調性，結合各選項進行判斷即可.【詳解】A：為非奇非偶函數，不符合題意；B：在上不單調，不符合題意；C：為偶函數，且在上單調遞增，符合題意；D：為非奇非偶函數，不符合題意.故選：C.本小題主要考查函數的單調性和奇偶性，屬于基礎題.5．A【解析】

由題意得到關于的等式，結合對數的運算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.本題以天文學問題為背景,考查考生的數學應用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數對數運算.6．D【解析】

由題知，又，代入計算可得.【詳解】由題知，又.故選：D本題主要考查了三角函數的定義，誘導公式，二倍角公式的應用求值.7．D【解析】

對于A根據命題的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，即可判斷出；對于B若向量滿足，則與的夾角為鈍角或平角；對于C當m=0時，滿足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立；對于D根據元素與集合的關系即可做出判斷．【詳解】選項A根據命題的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，因此A不正確；選項B若向量滿足，則與的夾角為鈍角或平角，因此不正確.選項C當m=0時,滿足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立，因此不正確；選項D若“”，則且，所以一定可以推出“”，因此“”是“”的必要條件，故正確.故選：D.本題考查命題的真假判斷與應用，涉及知識點有含有量詞的命題的否定、不等式性質、向量夾角與性質、集合性質等，屬于簡單題.8．C【解析】

由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡，結合基本不等式即可求解.【詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實軸長為，半焦距為，則，，設由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得：，則當且僅當時，取等號.故選：C．本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式，屬于中等題.9．B【解析】設折成的四棱錐的底面邊長為，高為，則，故由題設可得，所以四棱錐的體積，應選答案B．10．B【解析】

根據條件2名內科醫生，每個村一名，3名外科醫生和3名護士，平均分成兩組，則分1名外科，2名護士和2名外科醫生和1名護士，根據排列組合進行計算即可．【詳解】2名內科醫生，每個村一名，有2種方法，3名外科醫生和3名護士，平均分成兩組，要求外科醫生和護士都有，則分1名外科，2名護士和2名外科醫生和1名護士，若甲村有1外科,2名護士,則有C3若甲村有2外科,1名護士,則有C3則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種，故選：B.本題主要考查了分組分配問題，解決這類問題的關鍵是先分組再分配，屬于常考題型.11．A【解析】

分別判斷命題和的真假性，然后根據含有邏輯聯結詞命題的真假性判斷出正確選項.【詳解】對于命題，由于，所以命題為真命題.對于命題，由于，由解得，且，所以是奇函數，故為真命題.所以為真命題.、、都是假命題.故選：A本小題主要考查誘導公式，考查函數的奇偶性，考查含有邏輯聯結詞命題真假性的判斷，屬于基礎題.12．D【解析】

求得直線的斜率，利用曲線的導數，求得切點坐標，代入直線方程，求得的值.【詳解】直線的斜率為，對于，令，解得，故切點為，代入直線方程得，解得或1.故選：D本小題主要考查根據切線方程求參數，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

直接由復數代數形式的乘法運算化簡,結合已知條件即可求出實數的值.【詳解】解：的實部與虛部相等,所以,計算得出.故答案為:本題考查復數的乘法運算和復數的概念,屬于基礎題.14．10【解析】

根據垂直得到，代入計算得到答案.【詳解】，則，解得，故，故.故答案為：.本題考查了根據向量垂直求參數，向量模，意在考查學生的計算能力.15．【解析】

根據題意，相交兩圓的連心線垂直平分相交弦，可得與直線垂直，且的中點在這條直線上，列出方程解得即可得到結論.【詳解】由,，設的中點為，根據題意，可得,且，解得，,，故.故答案為：.本題考查相交弦的性質，解題的關鍵在于利用相交弦的性質，即兩圓的連心線垂直平分相交弦，屬于基礎題.16．【解析】

構造函數，再根據條件確定為奇函數且在上單調遞減，最后利用單調性以及奇偶性化簡不等式，解得結果.【詳解】依題意，，令，則，故函數為奇函數，故函數在上單調遞減，則，即，故，則x的取值范圍為.故答案為：本題考查函數奇偶性、單調性以及利用函數性質解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見詳解；（2）或或【解析】

（1）（2）首先用基本不等式得到，然后解出不等式即可【詳解】（1）因為所以（2）當時所以當且僅當即時等號成立因為存在，且，使得成立所以所以或解得：或或1.要熟練掌握絕對值的三角不等式，即2.應用基本不等式求最值時要滿足“一正二定三相等”.18．（1）.（2）【解析】

（1）利用導數的幾何意義求解即可；（2）利用導數得出的單調性以及極值，從而得出的圖象，將函數的零點問題轉化為函數圖象的交點問題，由圖，即可得出實數的取值范圍.【詳解】（1）當時，，∴切線斜率，又切點∴切線方程為，即.（2），記，令得；∴的情況如下表：2+0單調遞增極大值單調遞減當時，取極大值又時，；時，若沒有零點，即的圖像與直線無公共點，由圖像知的取值范圍是.本題主要考查了導數的幾何意義的應用，利用導數研究函數的零點問題，屬于中檔題.19．（1）見解析；（2）【解析】

（1）設，，由已知，得，代入中即可；（2）利用拋物線的定義將轉化為，再利用韋達定理計算.【詳解】（1）在拋物線上，∴，設，，由題可知，，∴，∴，∴，∴，∴（2）由（1）問可設：：，則，，，∴，∴，即（*），將直線與拋物線聯立，可得：，所以，代入（*）式，可得滿足，∴：.本題考查直線與拋物線的位置關系的應用，在處理直線與拋物線位置關系的問題時，通常要涉及韋達定理來求解，本題查學生的運算求解能力，是一道中檔題.20．（1）（2）【解析】

（1）先分別表示出，然后根據求解出的值，則的標準方程可求；（2）設出直線的方程并聯立拋物線方程得到韋達定理形式，然后根據距離公式表示出并代入韋達定理形式，由此判斷出為定值時的坐標.【詳解】（1）由題意可得，焦點，，則，，∴解得.拋物線的標準方程為（2）設，設點，，顯然直線的斜率不為0.設直線的方程為聯立方程，整理可得，，∴，∴要使為定值，必有，解得，∴為定值時，點的坐標為本題考查拋物線方程的求解以及拋物線中的定值問題，難度一般.（1）處理直線與拋物線相交對應的定值問題，聯立直線方程借助韋達定理形式是常用方法；（2）直線與圓錐曲線的問題中，直線方程的設法有時能很大程度上起到簡化運算的作用。21．（1），；（2）；（3）不能，證明見解析【解析】

（1）求出，結合導數的幾何意義即可求解；（2）構造，則原題等價于對任意恒成立，即時，，利用導數求最值即可，值得注意的是，可以通過代特殊值，由求出的范圍，再研究該范圍下單調性；（3）構造并進行求導，研究單調性，結合函數零點存在性定理證明即可.【詳解】（1），，曲線在點處的切線方程為，，解得.（2）記，整理得，由題知，對任意恒成立，對任意恒成立，即時，，，解得，當時，對任意，，，，，即在單調遞增，此時，實數的取值范圍為.（3）關于的方程不可能有三個不同的實根，以下給出證明：記，，則關于的方程有三個不同的實根，等價于函數有三個零點，，當時，，記，則，在單調遞增，，即，，在單調遞增，至多有一個零點；當時，記，則，在單調遞增，即在單調遞增，至多有一個零點，則至多有兩個單調區間