專題47找次品

考點聚焦

重點速記

1、次品的基本思路

通過推理，在天平的兩邊各放一個物品稱。

2、探索找次品的一般方法：

在找次品時，把待測物品分成3份，每份數量盡量平均時，可以保證找出次品時，稱量的次

數最少。

3、利用天平找次品的最優策略：

（1）把待測的物品平均分成3份。

（2）不能平均分的也應保證有2份相同，并且與另一份只相差1。這樣可以保證找出次品時

稱量的次數最少。

4、歸納總結。

通過觀察“要辨別的物品數目”和“保證能找出次品至少需要測的次數”之間的關系，就可

以發現；只要帶測物品（有一個次品且已知輕重的數目介于（3×3×……×3+1）【（n-1）

個3】和3×3×……×3【n個3】之間，最多只要測試n次就能保證找出次品。

真題專練

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一．選擇題（共20小題，滿分50分，每小題2.5分）

1．有10個零件，其中1個是次品。假如用天平秤，至少稱()次才能保證找到它。

A．2B．3C．4D．5

2．（2021?莫旗）有13個乒乓球，有12個質量相同，另有一個較輕一點，如果用天平稱，

至少稱()次保證能找出這個乒乓球．

A．1B．2C．3D．4

3．（2022?南開區）一箱糖果有18袋，其中17袋質量相同，另有一袋質量不足，用天平稱，

為保證能找出這袋糖果，需要稱()次．

A．1B．2C．3D．4

4．（2021?元氏縣）有20個乒乓球，其中有一個是次品，次品比正品略輕一些，用一架天平

去稱，至少稱()次，一定能找到次品．

A．2B．3C．4

5．（2021?黔南州）有21個乒乓球，其中有一個是次品，輕一點，如果用天平稱，至少稱()

次保證能找出這個乒乓球。

A．3B．4C．10D．11

6．（2023?威縣）有11個大小形狀完全相同的球，其中有一個質量不足，至少稱()次才

能保證找出這個質量不足的球。

A．2B．3C．4

7．（2023?叢臺區）在10袋碘鹽中有一袋的質量不夠，但外觀看起來都一樣，若用天平來稱，

最少稱()次就一定能找出質量不夠的那一袋。

A．2B．3C．4

8．（2023?定州市）在12個同樣的零件中，工人叔叔不小心混進了一個次品（稍輕一些），

用天平稱，至少稱()次就一定能找出這個次品。

A．5B．4C．3

9．（2022?固始縣）有13個乒乓球，其中有12個質量相同，另一個較輕一點，如果用天平

稱，至少稱()次就保證能找出這個輕一點的乒乓球。

A．2B．3C．4

10．（2022?玉屏縣）某車間生產了60個零件，經檢測其中有一個是次品（略重些），用天

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坪稱至少需要稱()次才能找到次品。

A．5B．4C．6

11．在54個鋼珠中有一個不合格（略輕），用天平稱至少稱()次就能知道它。

A．4B．5C．27

12．（2022?欒城區）有30個小球，其中有一個是次品比其它小球輕一些。用天平稱重的方

法至少()次一定能找出次品。

A．3B．4C．5

13.有8個外形相同的產品，其中一個質量較輕，為次品，至少稱()次才能找出這個次品。

A．1B．2C．3D．4

14．（2020?樟樹市）有10個零件，其中1個是次品（比正品輕）。假如用無砝碼的天平稱，

至少稱()次才能保證找到它。

A．2B．3C．4D．5

15．（2023?欒城區）在27個乒乓球中有一個乒乓球的質量不合格（不合格的乒乓球輕一

些），用天平秤，至少稱()次就一定能找出不合格的乒乓球。

A．3B．4C．5D．6

16．（2022?揭西縣）有11顆鋼珠，其中有10顆一樣重，另有1顆比這10顆略輕，用天平

至少稱()次才能保證找出這顆略輕的鋼珠。

A．2B．3C．4D．5

17．（2022?興隆臺區）有27個零件，其中有一個零件是次品（次品輕一些），用天平稱，

至少稱()次能保證找出次品零件．

A．2B．4C．5D．3

18．（2022?紅谷灘區）有38盒餅干，其中有一盒吃了兩塊，如果用天平稱，至少要稱()

次能保證找到這盒餅干。

A．5B．4C．3D．2

19．8個零件里有一個是次品（次品重一些）．用天平稱，至少稱()次能保證找出次品．

A．2B．3C．4D．5

20．（2021?井陘礦區）有25盒餅干，其中有1盒吃了兩塊，如果用天平稱，至少要稱()

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次能保證找到這盒餅干。

A．5B．4C．3D．2

二．填空題（共20小題，滿分50分，每小題2.5分）

21．（2023?平湖市）有11瓶水，其中10瓶質量相同，另1瓶是鹽水（略重一些）。假如用

天平稱，至少稱次能保證找出這瓶鹽水。

22．（2023?宣城）在8個外表相同的小球中有一個比較輕，其它7個一樣重，現要求僅僅用

一個天平用最少的次數保證找出這個較輕的小球，第一次在天平的兩邊各放個小球。

23．（2023?新羅區）學校買了3筒網球，每筒12個，其中有一個是次品（重一些），用天

平稱至少需要次保證能找到次品。

24．（2023?高州市）有15盒餅干，其中14盒質量相同，另有1盒少了幾塊，如果能用天平

秤，至少秤次可以保證找出這盒餅干。

25．（2023?宜豐縣）有16個外觀一樣的小球，其中有一個是次品，比其它的球重一些，用

沒有砝碼的天平至少稱次，能保證找出次品。

26．（2023?興賓區）在15件產品中有一件不合格產品（不合格產品重一些）。用天平稱，

至少稱次就一定能找出這件不合格產品。

27．（2023?黔東南州）一些零件里混了一個較輕的次品，用天平稱至少3次能保證找出來，

這些零件最少有個，最多有個。

28．（2023?陸豐市）張阿姨買了6袋牛奶，其中有一袋比標準質量少2g，用天平稱，至少

稱次，才能保證在6袋牛奶中找出較輕的這袋牛奶。

29．（2023?湖南）有9個外觀一樣的零件，其中8個重量相等，另一個較輕。用天平至少稱

次一定能找到這個較輕的零件。

30．（2023?大余縣）工廠生產了9個網球，其中一個比較重，這樣的球會影響運動員的正常

發揮，如果用天平稱，至少稱次就一定能找出次品。

31．（2023?西和縣）有8個外觀一樣的乒乓球，其中1個是次品，次品比其他球輕一些，用

天平最少稱次才能保證找到次品。

32．（2023?涿州市）有5盒茶葉，其中4盒每盒500克，另一盒不是500克，但不知道比

500克重還是輕，用天平至少稱次才能保證找出這盒茶葉．

33．（2022?平涼）用天平找次品（其中只有一個次品重一些），如果保證至少3次就可以找

到次品，那么待測物品可能有個。

34．有13個球，其中只有一個次品重些，用天平至少稱次就一定能找出次品。

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35．一種扶貧產品包裝袋上標示著“凈重200±5g”，表示這種特產最輕不少于g。其

中10包中有一包是次品（較輕），用天平稱，至少稱次一定能保證找到次品。

36．（2022?交口縣）為了迎接建黨100周年，某工廠生產了一批紀念幣，在13個外觀一樣

的紀念幣中，有一個是次品（略重），用天平稱，至少稱次才能保證找到次品。

37．（2022?涿州市）在42件產品中含有一件不合格產品（不合格產品略輕一些），用天平

稱，至少稱次，就一定能找出這件不合格產品。

38．（2022?長安區）在13個零件中有一個較輕的不合格零件，最少需要稱次就可以保

證將不合格的零件找出來。

39．一箱20瓶外觀相同的飲料，有1瓶重些，至少要稱次一定能找出重的那瓶。

40．（2022?南通）樂樂在水果市場買了6千克桔子，用“公平秤”稱了一下，發現只有5千

克。樂樂去找賣水果的老板，老板發現是自己的秤出了問題，他按照樂樂的要求，用自己的

秤又稱了1千克桔子進行補償，請您從數學的角度談談對這件事情的看法。.

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專題47找次品

參考答案

一．選擇題（共20小題，滿分50分，每小題2.5分）

1．【分析】把10個零件分別編號為1-10號，分成三組，A組：1-3號，B組：4-6號，C

組：7-10號。

第一次，比較A和B。

若不平衡，次品范圍縮小到A組和B組6個。

若平衡，則次品范圍縮小到C組4個。

去掉運氣成分，不平衡，A組重，范圍縮小到6個且不知輕重。C組都是正品。

第二次，比較A組和C組的任意3個。

若平衡，則次品在B組，且次品輕。

若A組重，則次品在A組且次品重。

第三次，若次品在B組，且次品輕。將B組分成三份，1，1，1。比較前兩個，若平衡，次品

就是第三個。若不平衡，則輕的那一個為次品。

若次品在A組且次品重。將A組分成三份，1，1，1。比較前兩個，若平衡，次品就是第三個。

若不平衡，則重的那一個為次品。

【解答】解：把10個零件分別編號為1-10號，分成三組，A組：1-3號，B組：4-6號，C

組：7-10號。第一次，比較A和B。

若不平衡，次品范圍縮小到A組和B組6個。

若平衡，則次品范圍縮小到C組4個。

去掉運氣成分，不平衡，A組重，范圍縮小到6個且不知輕重。C組都是正品。

第二次，比較A組和C組的任意3個。

若平衡，則次品在B組，且次品輕。

若A組重，則次品在A組且次品重。

第三次，若次品在B組，且次品輕。將B組分成三份，1，1，1。比較前兩個，若平衡，次品

就是第三個。若不平衡，則輕的那一個為次品。

若次品在A組且次品重。將A組分成三份，1，1，1。比較前兩個，若平衡，次品就是第三個。

若不平衡，則重的那一個為次品。故選：B。

【點評】本題的關鍵是要去掉運氣成份，把范圍逐步縮小，以保證能找到次品。

2．【分析】將13個乒乓球分成1、6、6三組，先稱量6、6兩組，若一樣重，則拿出的那一

個是次品；

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若不一樣重，再將輕的那6個分成3、3兩組，進而再將輕的那3個分成1、1、1稱量，從而

能找出次品．

【解答】解：首先要將13個乒乓球分成1、6、6三組，先稱量6、6兩組，若一樣重，則拿

出的那一個是次品；

若不一樣重，再將輕的那6個分成3、3兩組，進而再將輕的那3個分成1、1、1稱量，從而

可知至少需要3次才能找出次品．故選：C．

【點評】解答此題的關鍵是：將乒乓球進行合理的分組，進而能逐步找出次品，若所給物品

是奇數個就應該先拿出1個再分組．

3．【分析】第一次：把18袋糖果平均分成3份，每份6袋，任取2份，分別放在天平秤兩

端，若天平秤平衡，則較輕的糖果即在未取的6袋中（再按下面方法操作），若不平衡；第

二次：把天平秤中較高端的6袋糖果，平均分成3份，分別放在天平秤2端，若平衡則較輕

的一袋在未取的一份中，若不平衡，找出較輕的一份；第三次：把天平秤中較高端的3袋糖

果中的2袋分別放在天平秤2端，若天平平衡，則未取的一袋為較輕的糖果，若不平衡，可

找出較輕的一袋，據此即可解答．

【解答】解：第一次：把18袋糖果平均分成3份，每份6袋，任取2份，分別放在天平秤兩

端，若天平秤平衡，則較輕的糖果即在未取的6袋中（再按下面方法操作），若不平衡；

第二次：把天平秤中較高端的6袋糖果，平均分成3份，分別放在天平秤2端，若平衡則較

輕的一袋在未取的一份中，若不平衡，找出較輕的一份；

第三次：把天平秤中較高端的3袋糖果中的2袋分別放在天平秤2端，若天平平衡，則未取

的一袋為較輕的糖果，若不平衡，可找出較輕的一袋．

答：為保證能找出這袋糖果，需要稱3次．故選：C．

【點評】本題主要考查學生依據天平秤平衡原理解決問題的能力，注意每次取糖果的袋數．

4．【分析】根據題意，第一次，把20給乒乓球分成3份：7個、7個、6個，取7個的兩份

分別放在天平兩側，若天平平衡，則次品在未取的一份中，若天平不平衡，取較輕的一份繼

續；第二次，取含有較輕的一份(7個或6個），分成3份：2個、2個、2個（或3個）取2

個的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，則次品在未取的一份，若天平不平衡，取較輕的

一份繼續；第三次，取含有較輕的一份(2個或3個），取其中2個放在天平兩側，即可找到

較輕的一個．據此解答．

【解答】解：第一次，把20給乒乓球分成3份：7個、7個、6個，取7個的兩份分別放在

天平兩側，若天平平衡，則次品在未取的一份中，若天平不平衡，取較輕的一份繼續；

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第二次，取含有較輕的一份(7個或6個），分成3份：2個、2個、2個（或3個）取2個的

兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，則次品在未取的一份，若天平不平衡，取較輕的一份

繼續；

第三次，取含有較輕的一份(2個或3個），取其中2個放在天平兩側，即可找到較輕的一個．

答：至少稱3次，一定能找到次品．故選：B．

【點評】本題主要注意每次取乒乓球的個數．

5．【分析】根據找次品的規律：n次最多能找到3n個物品中的一個較輕的次品，據此解答。

【解答】解：32=9

33=27

9<21<27

答：如果用天平稱，至少稱3次保證能找出這個乒乓球。故選：A。

【點評】天平秤的平衡原理是解答本題的依據。

6．【分析】把11分成(4，4，3)，把兩個4個一組的放在天平上稱，如平衡，則質量不足的

一個在3個一組里，再把3分成(1，1，1)可找出質量不足的一個。如質量不足的一個在4個

一組中，把4分成(2,2)，找出質量不足的一組，再把2分成(1,1)可找出質量不足的一個。據

此解答。

【解答】解：11(4，4，3)，把兩個4個一組的放在天平上稱，如平衡，則質量不足的一個在

3個一組里，再把3(1，1，1)可找出質量不足的一個，需2次。

如質量不足的一個在4個一組中，把4(2,2)，找出質量不足的一組，再把2(1,1)可找出質量不

足的一個，需3次。

所以至少稱3次可以絕對找出這個質量不足的球。故選：B。

【點評】本題主要考查了學生根據天平平衡的原理解答問題的能力。

7．【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目分好份數，然后每次稱重時，需要

將數目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據此答題即可。

【解答】解：第一次：把10袋平均分成2份，每份5袋，分別放在天平的兩端，則次品在天

平輕的一端；

第二次：從天平輕的一端的5袋中取出4袋，平均分成2份，每份2袋，若天平平衡，則未

取出的一袋即為次品，若不平衡，則次品在天平輕的一端；

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第三次：把天平輕的一端的2袋平均分成2份，把其每份1袋，分別放在天平兩端，則天平

較輕的一端的1袋是次品。

所以若用天平來稱，最少稱3次就一定能找出質量不夠的那一袋。故選：B。

【點評】本題主要考查學生依據天平平衡原理解決問題的能力，明確每次取得袋數是解答本

題的關鍵。

8．【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目盡可能均勻的分成三份，然后每次

稱重時，需要將數目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據此

答題即可。

【解答】解：經分析得：

將12個同樣的零件分成3份：4，4，4；第一次稱重，在天平兩邊各放4個，手里留4個；

（1）如果天平平衡，則次品在手里，將這4個中的2個在天平兩邊各放1個，手里留2個；

a.如果天平不平衡，則找到次品在升起的天平托盤中；

b.如果天平平衡，則次品在手中的2個中，接下來，將這兩個分別放在天平的兩邊就可以鑒

別出次品。

（2）如果天平不平衡，則次品在升起的天平托盤的4個中，將這4個中的2個在天平兩邊各

放1個，手里留2個，

a.如果天平不平衡，則找到次品在升起的天平托盤中；

b.如果天平平衡，則次品在手中的2個中，接下來，將這兩袋分別放在天平的兩邊就可以鑒

別出次品。

故用天平稱，至少稱3次就一定能找出這個次品。故選：C。

【點評】解答此題的關鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。

9．【分析】根據找次品的規矩，有1個質量不同，且知道輕重的情況下：2、3個物體是稱1

次；4~9個是稱2次；10~27個是稱3次，??據此解答即可。

【解答】解：把13個乒乓球分成(4、4、5)3份，第一次稱：天平秤兩端各放4個，會出現兩

種情況：若天平平衡，則輕一點的乒乓球在沒稱的5個中；若天平不平衡，則輕一點的乒乓

球在天平秤較高端的4個中；

若天平秤平衡，把沒稱的5個分成(2、2、1)三組，第二次稱：天平秤兩端各放2個，若天平

平衡，則沒稱的1個是輕一點的乒乓球；若天平不平衡，則輕一點的乒乓球在天平秤較高端

的2個中；把較高端的2個分成(1、1)兩組，第三次稱：在天平秤兩端各放1個，若天平不

平衡，則較高端的1個是輕一點的乒乓球。

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若天平不平衡，把較高端的4個分成(2、2)兩組，第二次稱，天平秤兩端各放2個，天平不

平衡，則輕一點的乒乓球在天平秤較高端的2個中；把較高端的2個分成(1、1)兩組，第三

次稱：在天平秤兩端各放1個，天平不平衡，則較高端的1個是輕一點的乒乓球。

所以至少稱3次保證能找出這個輕一點的乒乓球。故選：B。

【點評】此題考查了對找次品的規律的靈活運用。

10．【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目盡可能均勻的分成三份，然后每

次稱重時，需要將數目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據

此答題即可。

【解答】解：第一次，把60個零件分成3份：20，20，20，取20個零件的兩份分別放在天

平兩側，若天平平衡，較重的那個零件在未取的一份中，若天平不平衡，取較重的一份繼續；

第二次，取較重的一份20個分成三份，7，7，6，取7個零件的兩份分別放在天平兩側，若

天平平衡，較重的那個零件在未取的一份中，若天平不平衡，取較重的一份繼續；

第三次，取較重的一份(7或6)，分成(2，2，3)或(2，2，2)取兩份2個零件分別放在天平兩

側，若天平平衡，較重的那個零件是未取的那個零件或在未取的一份中，若天平不平衡，較

重一端是略重的那個零件；

第四次，取較重的一份2或3個分別放在天平兩側，較重一端是略重的那個零件；

所以用天坪稱至少需要稱4次才能找到次品。故選：B。

【點評】解答此題的關鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。

11．【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目盡可能均勻的分成三份，然后每

次稱重時，需要將數目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據

此答題即可。

【解答】解：第一次，把54個鋼珠平均分成3份：18，18，18，任意取兩份分別放在天平兩

側，若天平平衡，較輕的那個鋼珠在未取的一份中，若天平不平衡，取較輕的一份繼續；

第二次，把18個鋼珠平均分成3份，每份6個，把其中兩份放到天平稱上稱，如果天平不平

衡，次品在較輕的6個中，如果天平平衡，次品就在另外6個中；

第三次把含有次品的6個鋼珠平均分成3份，每份2個，把其中兩份放到天平稱上稱，如果

天平不平衡，次品在較輕的2個中，如果天平平衡，次品就在另外2個中；

第四次把含有次品的2個鋼珠放到天平稱上稱，較輕的一個即為次品。

所以用天平至少稱4次就能知道它。故選：A。

【點評】解答此題的關鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。

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12．【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目盡可能均勻的分成三份，然后每

次稱重時，需要將數目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據

此答題即可。

【解答】解：第一次，把30個小球平均分成3份：10，10，10，任取兩份分別放在天平兩側，

若天平平衡，較輕的那個小球在未取的一份中，若天平不平衡，取較輕的一份繼續；

第二次，取較輕的一份10個小球分成三份，3，3，4，取3個小球的兩份分別放在天平兩側，

若天平平衡，較輕的那個小球在未取的一份中，若天平不平衡，取較輕的一份繼續；

第三次，取較輕的一份(3或4)，取2個小球分別放在天平兩側，若天平平衡，較輕的那個是

未取的那個小球或在未取的一份中，若天平不平衡，較輕一端是要找的那個小球；

第四次，取較輕的一份2個分別放在天平兩側，較輕一端是略輕的那個小球；

所以用天平稱重的方法至少4次一定能找出次品。故選：B。

【點評】解答此題的關鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。

13．【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目盡可能均勻的分成三份，然后每

次稱重時，需要將數目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據

此答題即可。

【解答】解：第一次，把8個平均分成3份，分成3，3，2，取兩份3個的分別放在天平的

兩側，若天平平衡，則較輕的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取較輕的一份繼續；

第二次，取含有較輕的一份(2個或3個），取2個分別放在天平兩側，若天平平衡，則次品

為未取的一個，若天平不平衡，可找到較輕的次品。

用天平稱，至少稱2次才能找出這個次品。故選：B。

【點評】解答此題的關鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。

14．【分析】分析題意，可把待測物品分成3份，分別為3個、3個和4個；然后先稱數量

相同的，如果不平衡，說此次品在輕的一側，如平衡說明次品是4個中的一個；若次品在4

個中，就把4個分成2個和2個，然后繼續稱即可。

【解答】解：把10個零件成為(3，3，4)，先稱3個和3個的兩份，如果平衡，則次品在4

個的那一份中，再將4個分成(2,2)，分別放在天平的兩邊，次品在輕的那一邊，最后將輕的

一份中的2個在天平的兩邊各放一個，次品就是輕的那個；如果開始的那一次不平衡，那么

次品在輕的那一份中，再從輕的那分中拿出兩個就可以找到次品，所以是至少稱3次才保證

找到。故選：B。

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【點評】運用找次品問題總結的規律是解答本題的捷徑。

15．【分析】將27個乒乓球平均分成3堆，每堆9個，先稱其中的兩堆，如果一樣重，則次

品在剩余那一堆，否則就在輕的那邊；將包含次品的那9個乒乓球再次平均分成3堆，稱其

中兩堆，如果一樣重，則次品在剩余那一堆，否則就在輕的那邊；將包含次品的一堆3個乒

乓球拿出2個稱重，即可找出次品。

【解答】解：將27個乒乓球平均分成3堆，每堆9個，選擇其中2堆進行第一次稱重，如果

一樣重，則次品在剩余那一堆，否則就在輕的那邊；

將包含次品的那9個乒乓球再次平均分成3堆，選擇其中2堆進行第二次稱重，如果一樣重，

則次品在剩余那一堆，否則就在輕的那邊；

將包含次品的那3個乒乓球中的2個拿出來進行第三次稱重，如果一樣重，則次品是剩余那

個球，否則就在輕的那邊。

最少需要進行3次稱重就一定能找到次品。故選：A。

【點評】解答此類題目時有兩個注意事項：一是把待測物品平均分成3份；二是出現不能均

分的情況時，可以使多的一份與少的一份相差1，利用天平性質找出次品。

16．【分析】第一次：把11個鋼珠平均分成三份，其中有兩份是4個，一份是3個，先取兩

份都是4個的時候，如果天平有一份偏高，則輕的在這里，之后再將4個平均分成2份，每

份是2個，再任取兩份，分別放在天平秤兩端，天平偏高的一段有次品，之后把這兩個平均

分成2份，每份一個即可找出次品，此時稱了3次；若取出的兩份4個天平平衡，則次品在

另外3個里面，把這三個平均分成3個，每份是1個，則稱一次，如果平衡，則次品在剩下

的一個，如果不平衡，則次品在偏高的一次；所以最少需要稱3次。

【解答】解：由分析可知：

有11顆鋼珠，其中有10顆一樣重，另有1顆比這10顆略輕，用天平至少稱3次才能保證找

出這顆略輕的鋼珠。故答案為：B。

【點評】本題考查了利用天平判斷物體質量的技能，需要學生開動腦筋，借助一定的數學思

維方式進行解答。

17．【分析】把27個零件分成9個，9個，9個的三份，第一次：把其中兩份分別放在天平

秤兩端，若天平秤平衡，則次品即在未取的9個零件中（按照下面方法繼續操作），若不平

衡；第二次：把天平秤較高端的9個零件分成3個，3個，3個的三份，把其中兩份分別放在

天平秤兩端，若天平秤平衡，則次品即在未取的3個零件中（按照下面方法繼續操作），若

不平衡；第三次：從天平秤較高端的3個零件中，任取2個，分別放在天平秤兩端，若天平

秤平衡，則未取的那個零件即為次品，若不平衡，天平秤較高端的零件即為次品，據此即可

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解答．

【解答】解：把27個零件分成9個，9個，9個的三份，

第一次：把其中兩份分別放在天平秤兩端，若天平秤平衡，則次品即在未取的9個零件中（按

照下面方法繼續操作），若不平衡；

第二次：把天平秤較高端的9個零件分成3個，3個，3個的三份，把其中兩份分別放在天平

秤兩端，若天平秤平衡，則次品即在未取的3個零件中（按照下面方法繼續操作），若不平

衡；

第三次：從天平秤較高端的3個零件中，任取2個，分別放在天平秤兩端，若天平秤平衡，

則未取的那個零件即為次品，若不平衡，天平秤較高端的零件即為次品，故選：D．

【點評】本題考查知識點：依據天平秤平衡原理解決問題．

18．【分析】有38盒餅干，其中有一盒吃了兩塊，即其中一盒質量輕一些。

把38盒分成(18，18，2)三組，天平每邊放18盒，兩種情況：平衡，輕的在2盒，天平每邊

放1盒，再稱1次即可找出；不平衡，輕的一盒在輕的一邊（稱第一次）。

把18盒分成(8，8，2)三組，天平每邊放8盒，兩種情況：平衡，輕的在2盒，天平每邊放1

盒，再稱1次即可找出；不平衡，輕的一盒在輕的一邊（稱第二次）。

把8盒分成(3，3，2)三組，天平每邊放8盒，兩種情況：平衡，輕的在2盒，天平每邊放1

盒，再稱1次即可找出；不平衡，輕的一盒在輕的一邊（稱第三次）。

把3盒分成(1，1，1)三組，再稱一次即可找出輕的一盒（稱第四次）。

【解答】解：稱第一次：把38盒分成(18，18，2)三組，天平每邊放18盒，兩種情況：平衡，

輕的在2盒，天平每邊放1盒，再稱1次即可找出；不平衡，輕的一盒在輕的一邊；

稱第二次：把18盒分成(8，8，2)三組，天平每邊放8盒，兩種情況：平衡，輕的在2盒，

天平每邊放1盒，再稱1次即可找出；不平衡，輕的一盒在輕的一邊；

稱第三次：把8盒分成(3，3，2)三組，天平每邊放8盒，兩種情況：平衡，輕的在2盒，天

平每邊放1盒，再稱1次即可找出；不平衡，輕的一盒在輕的一邊；

稱第四次：3盒分成(1，1，1)三組，再稱一次即可找出輕的一盒。

答：至少要稱4次能保證找到這盒餅干。故選：B。

【點評】合理分組是關鍵，也是難點。分組方法不同，稱的次數也會不同。

19．【分析】天平是用來稱量物體質量的工具，此題并不是稱量物體的質量，而是使用天平

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來比較物體質量的大小，所以，在調好的天平兩盤中分別放上物體，當哪邊的托盤下降，則

說明這邊托盤中的物體質量偏重。

【解答】解：第一次稱量：把8個零件分成3份，3、3、2，先把天平兩邊分別放3個，會有

兩種情況出現：

情況一：左右平衡，則次品在剩下的2個中，即可進行第二次稱量：把剩下的2個，放在天

平的兩邊一邊1個，則托盤下降一邊為次品；

情況二：若左右不平衡，則次品在托盤下降的一邊3個中，由此即可進行第二次稱量：從下

降一邊的3個拿出2個，放在天平的兩邊一邊1個，若天平平衡，則剩下1個是次品；若天

平不平衡，則托盤下降一邊為次品；

答：綜上所述，至少需要稱2次，才能找到次品。故選：A。

【點評】該題考查了利用天平判斷物體質量的技能，需要學生開動腦筋，借助一定的數學思

維方式進行解答。

20．【分析】可以把25分成(9，9，7)，天平每邊放9盒，若平衡，次品在7盒中；再把7

分成(3，3，1)，天平每邊放3盒，若平衡，次品是剩下的1盒，若不平衡，把3分成(1，1，

1)這樣1次即可找出，一共需要稱3次；若天平每邊放9個，不平衡，把輕的一份9分成(3，

3，3)，再稱1次即可確定在哪份，把3再分成(1，1，1)再稱1次即可出結果，也是一共稱3

次；據此求解即可。

【解答】解：把25分成(9，9，7)，

①天平每邊放9盒，若平衡，次品在7盒中；再把7分成(3，3，1)，天平每邊放3盒，若平

衡，次品是剩下的1盒，若不平衡，把3分成(1，1，1)這樣1次即可找出，一共3需要稱3

次；

②若天平每邊放9盒，不平衡，把輕的一份9分成(3，3，3)，再稱1次即可確定在哪份，

把3再分成(1，1，1)再稱1次即可出結果，也是一共稱3次。

答：至少要稱3次能保證找到這盒餅干。故選：C。

【點評】天平秤的平衡原理，是解答本題的依據，關鍵是明確每次取餅干的盒數。

二．填空題（共20小題，滿分50分，每小題2.5分）

21．【分析】找次品的最優策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份數量盡量平均，如

果不能平均分的，也應該使多的一份與少的一份只相差1。

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【解答】解：將11瓶水分成(4、4、3)，先稱(4、4)，只考慮最不利的情況（即次品每次都

在多的一組），不平衡，次品在4瓶中；將4瓶分成(1、1、2)，稱(1、1)，平衡，次品在2

瓶中；將2瓶分成(1、1)，再稱1次即可確定次品，共3次。

答：至少稱3次能保證找出這瓶鹽水。故答案為：3。

【點評】天平秤的平衡原理是解答本題的依據，注意每次取鹽水的瓶數。

22．【分析】把這8個小球分成3個、3個、2個三組，先在天平兩邊各放3個：

①如果天平平衡，說明輕的小球在沒稱的2個里面，再把這2個小球分別放在天平兩端，天

平較高端小球輕，即為所找小球；

②如果天平不平衡，從天平較高端的一側任意取出2個，放在天平兩邊，如果平衡，沒稱的

那個小球就是所找小球，如果不平衡，天平較高端小球輕，即為所找小球。據此解答即可。

【解答】解：把這8個小球分成3個、3個、2個三組，先在天平兩邊各放3個：

①如果天平平衡，說明輕的小球在沒稱的2個里面，再把這2個小球分別放在天平兩端，天

平較高端小球輕，即為所找小球；

②如果天平不平衡，從天平較高端的一側任意取出2個，放在天平兩邊，如果平衡，沒稱的

那個小球就是所找小球，如果不平衡，天平較高端小球輕，即為所找小球。即第一次在天平

的兩邊各放3個小球，稱量2次即可找出較輕的小球。

答：第一次在天平的兩邊各放3個小球。故答案為：3。

【點評】本題考查了依據天平平衡原理解決問題的方法。

23．【分析】第一次把任意兩個12放在天平兩端，如果天平平衡，就把剩下的12平均分成

4，4，4，第二次把任意兩個4放在天平兩端如果平衡，就把剩下的4分成1，1，2。第三次

把1，1放在天平兩端如果平衡，就把2分成1，1，第四次把1，1放在天平兩端，就找到次

品。如果兩個12不平衡，就把較重的12分成4，4，4，第二次把任意兩個4放在天平兩端，

如果不平衡，就把較重的4分成1，1，2，第三次把1，1放在天平兩端，如果平衡就把剩下

的2分成1，1，第四次把1，1放在天平兩端可找出次品。

【解答】解：第一次把任意兩個12放在天平兩端，如果天平平衡，就把剩下的12平均分成

4，4，4，第二次把任意兩個4放在天平兩端如果平衡，就把剩下的4分成1，1，2。第三次

把1，1放在天平兩端如果平衡，就把2分成1，1，第四次把1，1放在天平兩端，就找到次

品。用了4次找到次品。

如果兩個12不平衡，就把較重的12分成4，4，4，第二次把任意兩個4放在天平兩端，如

果不平衡，就把較重的4分成1，1，2，第三次把1，1放在天平兩端，如果平衡就把剩下的

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2分成1，1，第四次把1，1放在天平兩端可找出次品。用了4次找到次品。

答：用天平稱至少需要4次保證能找到次品。故答案為：4。

【點評】每次把要稱的物品盡量平均分成3份，利用天平平衡的原理稱出次品是解決本題的

關鍵。

24．【分析】把15分成(5，5，5)，其中任意兩組放在天平上稱，可找出有次品的一組，再

把5分成(2，2，1)，然后再把2個一組的放在天平上稱，如平衡，則1個1組的是次品，如

不平衡，可再把2分成(1,1)再放在天平上稱，可找出次品，據此解答。

【解答】解：15(5，5，5)，其中任意兩組放在天平上稱，可找出有次品的一組，再把5分

成(2，2，1)，然后再把2個一組的放在天平上稱，如平衡，則1個1組的是次品，需要2次；

如不平衡，可再把2分成(1,1)，再放在天平上稱，可找出次品，則需要3次；所以至少3次

保證可能找出這盒餅干。故答案為：3。

【點評】本題主要考查了學生根據天平的原理解答問題的能力。

25．【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目盡可能均勻的分成三份，然后每

次稱重時，需要將數目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據

此答題即可。

【解答】解：（1）把16個小球分成(5，5，6)三組，把其中的兩組5個的放在天平上稱，如

平衡，則重的在沒稱的一組，再把它分成(2，2，2)，再把2個一組的放在天平上稱，一邊2

個，如平衡，則重的就是沒稱的，如不平衡，則把重的一組分(1,1)放在天平上稱可找出重的。

（2）如不平衡，則把重的一組分成(2，2，1)，再把2個一組的放在天平上稱，如平衡，則

重的就是沒稱的，如不平衡，則把重的一組分(1,1)放在天平上稱可找出重的。

所以用沒有砝碼的天平至少稱3次，能保證找出次品。故答案為：3。

【點評】解答此題的關鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。

26．【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目盡可能均勻的分成三份，然后每

次稱重時，需要將數目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據

此答題即可。

【解答】解：把15件產品分成(5，5，5)三份，

第一次：任取兩份，分別放在天平秤兩端，若天平秤平衡，則質量重的一件，在未取的5件

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中，若不平衡；質量重的那件在天平下降的一端；

第二次：把5件產品分成(2，2，1)三份，把每份2件的兩份分別放在天平秤兩端，若天平秤

平衡，則未取那件即為質量重的，若天平秤不平衡，質量重的那件在天平下降的一端；

第三次：把天平秤下降一端的2件分別放在天平秤兩端，下降端即為質量不足的那件。

所以用天平稱，至少稱3次就一定能找出這件不合格產品。故答案為：3。

【點評】解答此題的關鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。

27．【分析】根據找次品的規律，有1個質量不同，且知道輕重的情況下：2、3個物體是稱

1次；4~9個是稱2次；10~27個是稱3次，??據此解答即可。

【解答】解：一些零件里混了一個較輕的次品，用天平稱至少3次能保證找出來，這些零件

最少有10個，最多有27個。故答案為：10，27。

【點評】此題考查了對找次品的規律的靈活運用。

28．【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目盡可能均勻的分，然后每次稱重

時，需要將數目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據此答題

即可。

【解答】解：第一次：把6袋牛奶平均分為2份，每份3袋，分別放在天平秤兩端，則略輕

的1袋在天平較高端的1份中；

第二次：把較高端的1份再平均分為3份每份1袋，任取2份分別放在天平秤兩端；若天平

平衡，則略輕的1袋是剩下的1份；若天平不平衡，則天平較高端是略輕的1袋。

所以用天平稱，至少稱2次，才能保證在6袋牛奶中找出較輕的這袋牛奶。故答案為：2。

【點評】本題主要考查學生依據天平秤平衡原理解決問題的能力，關鍵是把6袋牛奶進行合

理分組。

29．【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目盡可能均勻的分成三份，然后每

次稱重時，需要將數目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據

此答題即可。

【解答】解：（1）把9個零件中平均分成3組，把其中兩組放在天平上稱量，若重量一樣，

則次品在第三組；若重量不一樣，則次品在天平上升的一組；

（2）再把有次品的一組，拿出兩個分別放在天平的左右兩邊，若天平平衡，則剩下的一個就

是次品，若天平不平衡，則上升一方就是次品；

所以用天平至少稱2次一定能找到這個較輕的零件。故答案為：2。

【點評】解答此題的關鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。

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30．【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目盡可能均勻的分成三份，然后每

次稱重時，需要將數目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據

此答題即可。

【解答】解：經分析得：

將9個分成3份：3，3，3；第一次稱重，在天平兩邊各放3個，手里留3個；

（1）如果天平平衡，則次品在手里，將這3個中的2個在天平兩邊各放1個，手里留1個。

a.如果天平不平衡，則次品在下降的天平托盤中。

b.如果天平平衡，則次品在手中。

（2）如果天平不平衡，則次品在下降的天平托盤的3個中，將這3個中的2個在天平兩邊各

放1個。手里留1個。

a.如果天平不平衡，則次品在下降的天平托盤中。

b.如果天平平衡，則次品在手中。

所以如果用天平稱，至少稱3次就一定能找出次品。故答案為：3。

【點評】考查找次品的問題，分3份操作找到最優方法。

31．【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目盡可能均勻的分成三份，然后每

次稱重時，需要將數目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據

此答題即可。

【解答】解：如果把這8個乒乓球分成3個、3個、2個三組，先在天平兩邊各放3個：

（1）如果天平平衡，說明次品在沒稱的2個里面，再把這2個乒乓球分別放在天平兩端，天

平較高端乒乓球，即為次品；

（2）若天平不平衡：從天平較高端的一側任意取出2個，放在天平兩邊，如果平衡，沒稱的

那個就是次品；如果不平衡，較輕的一個就是次品。

所以用天平最少稱2次才能保證找到次品。故答案為：2。

【點評】解答此題的關鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。

32．【分析】隨機抽選其中4袋，并將其平均分為2份，為A份和B份．稱一稱A和B，是

否相等．若相等，則第五袋為要找的，若A比B重或輕，則以第五袋為標準，分別將A、B

分為A1、A2和B1和B2，先稱量A1、A2，若不平衡，則將A1、A2分別于標準袋稱量比較即可；

若天平平衡，則再將B1、B2分別于標準袋稱量比較，從而可以求出需要稱量的次數．

【解答】解：隨機抽選其中4袋，并將其平均分為2份，為A份和B份．稱一稱A和B，是

否相等．若相等，則第五袋為要找的，若A比B重或輕，則以第五袋為標準，分別將A、B

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分為A1、A2和B1和B2，先稱量A1、A2，若不平衡，則將A1、A2分別于標準袋稱量比較即可；

若天平平衡，則再將B1、B2分別于標準袋稱量比較，這樣需要3次即可找出次品．

答：用天平至少稱3次才能保證找出這盒茶葉．故答案為：3．

【點評】本題主要考查了簡單的推理與論證問題，應能夠熟練掌握．

33．【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目盡可能均勻的分成三份，然后每

次稱重時，需要將數目相等的兩份放到天平兩遍稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。結

合這種方式，可知：用天平找次品，稱一次，可以從2~3個中找到1個次品；稱兩次，可以

從4~9個中找到1個次品；稱3次，可以從10~27個中找到1個次品。據此答題即可。

【解答】解：經分析得：

用天平找次品，稱一次，可以從2~3個中找到1個次品；

稱兩次，可以從4~9個中找到1個次品；

稱3次，可以從10~27個中找到1個次品。故答案為：10~27。

【點評】考查找次品的問題，分3份操作找到最優方法。

34．【分析】把這13個乒乓球分成(6，6，1)，天平每邊放6個，如果6，6平衡，則次品在

1，只需稱1次；如果6，6不平衡，次品在輕的一邊，把6分成(3,3)，稱第二次，次品在輕

的一邊；再把3分成(1，1，1)，天平每邊放1個，如果平衡，次品是未稱的一個，如果不平

衡，次品在輕的一邊，只需再稱一次。這樣一共要稱3次。

【解答】解：把這13個乒乓球分成(6，6，1)，天平每邊放6個，如果6，6平衡，則次品在

1，只需稱1次；如果6，6不平衡，次品在輕的一邊，把6分成(3,3)，稱第二次，次品在輕

的一邊；再把3分成(1，1，1)，天平每邊放1個，如果平衡，次品是未稱的一個，如果不平

衡，次品在輕的一邊，只需再稱一次。這樣一共要稱3次。

所以用天平至少稱3次就一定能找出次品。故答案為：3。

【點評】用天平找次品關鍵是把分組，分組的方法不同，所稱的次數也會改變。

35．【分析】（1）根據正負數的意義“凈重200±5g”表示這種產品最多比200g多5g，或者

少5g，據此作答即可。

（2）把10個乒乓球分成