關于線性映射與線性變換第1頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日線性變換是線性空間的核心內容，反映的是線性空間中元素間的一種基本聯系，體現出一種“動態的”或者“直觀的”視角。借助基的概念，可在線性變換與矩陣之間建立一一對應關系，因此通俗地講“變換即矩陣”。這同時也意味著線性變換的運算可以轉化為矩陣的運算。第2頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日2維空間的線性變換第3頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日3維空間的線性變換第4頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日§2.1線性映射及其矩陣表示定義1設V1，V2是數域P的兩個線性空間，A

是V1到V2的一個映射，如果對V1中任意兩個向量

,

和任意數k

P

，都有

A(

+

)=A(

)+A(

)

A

(k

)=kA(

)則稱A是V1到V2的線性映射或線性算子。若V1=V2=V，則稱A是V上的線性變換。第5頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日線性映射與變換的舉例由數k決定的數乘變換：事實上，

單位變換(恒等變換)：零變換：I

:V

V:I

(

)=,

VO:V

V:O(

)=0,

VK:V

V:K(

)=k,

V第6頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日線性映射與變換的舉例線性空間P[x]n的微分運算是線性變換.I

(f(x))=f’(x)，f(x)

P[x]n線性空間C[a，b]

的積分運算是線性變換.

作為數學分析的兩大運算：微分和積分，從變換的角度講都是線性變換當然，非線性映射也是大量存在的，I

(A)=detA，A

Pn

n不是線性映射。第7頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日定理1

設A是線性空間V1到V2的線性映射，則

(1)A(0)=0,

(2)

A(-

)=-A(

)(3)若

1,2…

m

是V1的一組向量，k1,k2,…km

P,有A(k1

1+k2

2…+km

m)=k1A(

1)+k2A(

2)+…+kmA(

m)(4)若

1,2…

m

是V1的一組線性相關向量，則A(

1),A(

2),…,

A(

m)在V2中線性相關，當且僅當A是一一映射時，V1中線性無關向量組的像在V2中也線性無關。線性映射的性質第8頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日定理2設A

,B

是線性空間V1到V2的兩個線性映射，若

1，

2，…

n是V1的一組基，并且A(

i)=B(

i)(i=1,2…n),則A=B.

注：定理2說明線性映射由基像組唯一確定第9頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日2.線性映射的運算(1)設A,B

都是V1到V2的線性映射,A,B的和A+B為:(A+B)(

)=A(

)+B(

)，任意的

V1。

(2)設A是V1到V2的線性映射,B

是V2到V3的線性映射定義A,B的乘法BA為:(BA)(

)=B(A(

))，任意的

V1.(3)設A是V1到V2的線性映射,k

P，定義k與A的數量乘積kA為:(kA)

(

)=kA(

)，任意的

V1第10頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日線性映射的加法適合交換律和結合律，線性運算的乘法適合結合律。對線性映射定義了加法和數乘運算后可知，V1到V2的所有線性映射組成的集合構成數域P上的線性空間，記為L(V1,V2)。第11頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日3.

線性映射的矩陣表示

是的基,是的基.

設是線性映射，

記:則存在唯一的使得:

稱矩陣A為線性映射T在基與基下的矩陣第12頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日矩陣和線性映射互相唯一確定；在給定基的情況下，線性空間V1到V2的線性映射L與m

n矩陣一一對應，且這種對應保持加法和數乘兩種運算。L(V1,V2)與Pm

n同構。注：第13頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日定理7

設T為V1到V2的線性映射，

則:

稱為線性映射在基與基下的坐標變換公式第14頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日例1

設V1=R[x]n，V2=R[x]n-1，取線性映射T：V1→V2T(f(x))=f’(x)

,

f(x)

R[x]n，求T在R[x]n的一組基1,x,…xn-1與R[x]n-1的基1,x,…xn-2下的矩陣D第15頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日D(

1)=0=0

1+0

2+…+0

n-1D(

2)=1=

1+0

2+…+0

n-1D(

3)=2x=0

1+2

2+…+0

n-1……

D(

n)=(n-1)xn-2=0

1+2

2+…+(n-1)

n-1

解

在R[x]n中取基

1=1，

2=x,…

n=xn-1,在R[x]n-1中取基

1=1，

2=x,…

n-1=xn-2，則第16頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日D(

1,

2,…n)=(

1,

2…

n-1)即于是D在基1，x,…

xn-1與1，x,…

xn-2下的矩陣為D=第17頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日另：若在R[x]n-1中取基

1=1，

2=2x,…

n-1=(n-1)xn-2則D在基1，x,…

xn-1與1，2x,…

(n-1)xn-2下的矩陣為D=說明同一個線性映射在不同基下的矩陣不同第18頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日

定理8

設A是n維線性空間V1到m維線性空間V2的線性映射，

1,

2,…

n和是V1的兩組基,由

1,

2,…

n到的過渡矩陣是Q

，和是V2的兩組基。由到的過渡矩陣是P，A在基與基下的矩陣為A，而在基與基下的矩陣為B，則B=P-1AQ，（稱A與B相抵）第19頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日定義1

V是數域P上的線性空間，對V

中的任意兩個向量

，

和任意kP，映射T：VV滿足

(i)(可加性):T(

+

)=T(

)+T(

)(ii)(齊次性):kT(

)=T(k)稱T為V上的線性變換，T(

)為

在變換T下的像，

稱為原像。

§2.3線性變換第20頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日例1

對每個x=(

1,

2,

3)

R3,定義變換

T(x)=(

1,

2,0)則變換T是線性空間R3上的線性變換（稱為投影變換）第21頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日定理1

設T是線性空間V上的線性變換，則

(1)T(0)=0,

(2)

T

(-

)=-T

(

)(3)若

1,2…

m

是V的一組向量，k1,k2,…km

P,有T

(k1

1+k2

2…+km

m)=k1T(

1)+k2T(

2)+…+kmT

(

m)(4)若

1,2…

m

是V的一組線性相關向量，則T(

1),T

(

2),…,

T

(

m)也線性相關，當且僅當T是一一映射時，V中線性無關向量組的像也線性無關。線性變換的基本性質第22頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日

L

(V,V)表示線性空間V上的所有線性變換的集合，對任意的T,T1,T2∈L(V,V),

∈V,定義則可以驗證，T1+T2,kT,

T1T2都是線性變換，因此L

(V,V)是數域P上的線性空間。注：數乘變換和線性變換的數乘運算是兩個不同的概念.（1）線性變換的和：（2）線性變換的數乘：（3）線性變換的乘法：T1T2(

)=T1(T2(

))線性變換的運算第23頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日特殊的變換：

(1)對任意的k∈P，定義數乘變換K(x)=kx，

(2)恒等變換：I(x)=x，

(3)零變換：O(x)=0

(4)逆變換：設A是線性空間V上的線性變換，

如果存在V的變換B，使得AB=BA=I，

稱A可逆，B為A的逆變換.

(5)線性變換的冪：A0=I，Am=Am-1A=AA…A

指數法則：AmAn=Am+n，(Am)n=Amn第24頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日線性變換的矩陣用矩陣表示即為

設

1,

2,…,

n為數域P上線性空間V的一組基，

T為V上的線性變換.基向量的象可以被基線性表出,設第25頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日其中

矩陣A稱為線性變換T在基下的矩陣.

第26頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日單位變換在任意一組基下的矩陣皆為單位矩陣；

零變換在任意一組基下的矩陣皆為零矩陣；

數乘變換在任意一組基下的矩陣皆為數乘矩陣；

A的第i列是在基下的坐標，它是唯一的.故T在取定一組基下的矩陣是唯一的.

注：第27頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日線性變換運算與矩陣運算定理1

設為數域P上線性空間V的一組的唯一一個矩陣對應，且具有以下性質：基，在這組基下，V的每一個線性變換都與中①線性變換的和對應于矩陣的和；

②線性變換的乘積對應于矩陣的乘積；③線性變換的數量乘積對應于矩陣的數量乘積；④可逆線性變換與可逆矩陣對應，且逆變換對應于逆矩陣.L(V,V)與Pn

n同構；第28頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日例2

設線性空間的線性變換為求在自然基底下的矩陣.

解：

()=第29頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日定理2

設T是n維線性空間V的線性變換，和是V的兩組基,由到的過渡矩陣是P

，T在基與基下的矩陣分別為A和B，則B=P-1AP，（稱A與B相似）在兩組基下所對應的矩陣.

如果兩個矩陣相似，那么它們可以看作同一線性變換

線性變換在不同基下的矩陣是相似的，反過來，線性變換在不同基下的矩陣表示第30頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日

設B=P-1AP(1)rank(A)=rank(B);(2)detA=detB;(3)A與B的特征值相同和特征多項式；(4)Bk=(P-1AP)k=P-1AkP.補充:相似矩陣的性質第31頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日例3

在線性空間中，線性變換定義如下：（1）求在標準基下的矩陣.（2）求在下的矩陣.解：(1)由已知，有第32頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日設在標準基下的矩陣為A，即即：為過渡矩陣，又所以

(

1,

2,

3)=

((

1,

2,

3)P)=

(

1,

2,

3)P=(

1,

2,

3)AP第33頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日因而，第34頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日

設

在

1,

2,

3下的矩陣為B，則B=P-1AP（2）求

在

1,

2,

3下的矩陣.第35頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日

定義1

設T是數域P上的線性空間V

的一個線性變換，如果對于數域P中任一元素

，V中都存在一個非零向量

，使得T(

)=那么稱

為T的一個特征值，而

稱為T的屬于特征值

的一個特征向量。

§2.4特征值和特征向量第36頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日由此可得：

是線性變換T的特征值，則

是對應矩陣A的特征值.

是線性變換T的屬于

的特征向量，則

是矩陣A的屬于

的特征向量.設V是數域P上的n

維線性空間，V中取定一組基

1,

2

，…

n.設線性變換T在這組基下的矩陣是A，向量

在這組基下的坐標是x,那么我們有

T(

)=

Ax=x第37頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日因此，只要將矩陣A的全部特征值求出來，它們就是線性變換T的全部特征值；只要將矩陣A的屬于

的全部特征向量求出來，分別以它們為坐標的向量就是線性變換T的屬于

的全部特征向量。第38頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日例1

設V是數域P上的3維線性空間，T是V上的一個線性變換，在V的一個自然基下的矩陣是求線性變換T的全部特征值與特征向量。解：的特征多項式為第39頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日所以的特征值是3（二重）與-6。對于特征值3，解齊次線性方程組得到一個基礎解系：

1=[-210]T,2=[201]T,于是T屬于3的全部特征向量是k1

1+k2

2,k1,k2

P這里為數域P中不全為零的數對。第40頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日對于特征值-6，解齊次線性方程組得到一個基礎解系：

3=[12-2]T于是T的屬于-6的全部特征向量

k

3,k

P這里k為數域P中任意非零數。第41頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日矩陣的特征值與特征向量的性質：（1）n

階矩陣A的屬于特征值

0的全部特征向量再添上零向量，可以組成V的一個子空間，稱之為矩陣A的屬于特征值

0特征子空間，記為V

0

，不難看出V

0正是特征方程組

(

0I-A)X=0的解空間。顯然，V

0的維數是屬于

0的線性無關特征向量的最大數目，稱dim(V

0)為特征值

0的幾何重數.（2）V

0屬于不同特征值的特征向量是線性無關的。

第42頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日（3）設

1,

2,…

r,

是A的r個互不同的特征值，

i的幾何重數為qi,，

i1,

i2,…

iqi,是對應于

i的qi

個線性無關的特征向量，則所有這些特征向量

11,

12,…

1q1,

21,

22,…

2q2,…

r1,

r2,…

rqr,仍然是線性無關的。第43頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日由代數基本定理知，n階矩陣A在復數域內恰有n個特征值

1,

2,

…

n，其中

i作為特征方程的根的重數，稱為

i的代數重數,記為m

i(A)，矩陣A的特征值的全體稱為A的譜，最大特征值的模稱為A的譜半徑，記為

(A).（4）任意一個特征值的幾何重數不大于它的代數重數。(5)A是n階矩陣，其特征值為

1,

2,

…

n，則

第44頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日定義1

數域P上的n維線性空間V的一個線性變換T

稱為可以對角化的，如果V中存在一組基，使得T在這個基底下的矩陣為對角矩陣。定義2如果n階矩陣A與對角矩陣相似，則稱矩陣A是可對角化的。(單位矩陣只和自己相似)

§2.5矩陣的相似對角形第45頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日定理1

n階矩陣A可對角化的充要條件是A有n個線性無關的特征向量；定理2

若n階矩陣A有n個互異的特征值，則A是可對角化的。（注：不是充要條件）定理3

n階矩陣A可對角化的充要條件每一個特征值的代數重數等于其幾何重數。

第46頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日例1

判斷矩陣是否可以對角化？解：先求出A的特征值第47頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日于是A的特征值為（二重）由于是單的特征值，它一定對應一個線性無關的特征向量。下面我們考慮于是從而不相似對角矩陣。第48頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日例2

設V是數域P上的3維線性空間，T是V上的一個線性變換，在V的一個基

1,

2,

3下的矩陣是判斷線性變換T是否可對角化。解：根據上一節例1的討論可知T有3個線性無關的特征向量:第49頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日由基到基的過渡矩陣是于是有因此，T可以對角化，T在這組基下的矩陣是第50頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日定義1

設T是數域P的線性空間V上的線性變換,W是V的子空間。如果對任意向量都有，則稱W是T的不變子空間。§2.6線性變換的不變子空間*

（Invariantsubspace）

第51頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日定義2

設T

是數域P上的線性空間V上的線性變換。令R(T)=Im(T)={T(a)|a

V}Ker(T)=N(T)={a

V|T(a)=0}稱R(T)是線性變換T的值域，而Ker(T)是線性變換的核。R(T)的維數稱為T的秩，Ker(T)的維數稱為T的零度。線性變換的值域與核第52頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日定理1

設T是數域P上的線性空間V上的線性變換。令T在V的一組基

1,

2,…

n下的矩陣表示為A，則（1）R(T)和Ker(T)都是V的子空間；（2）R(T)=span(T(

1),T(

2),…T(

n))（3）rank(T)=dim(R(T))=rank(A)（4）dim(R(T))+dim(Ker(T))=n第53頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日證明（1）顯然R(T)是V的非空子集，對任意T(

),T(

)

R(T)，k

P

有

T(

)+T(

)=T(

+

)

R(T)kT(

)=T(k

)

R(T)所以R(T)是V的子空間又T(0)=0,所以Ker(T)是V的非空子集,對任意

,

Ker(T)，k

P

T(

+

)=T(

)+T(

)=0

Ker(T)T(k

)=kT(

)=0

Ker(T)所以Ker(T)是V的子空間第54頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日例1

設線性變換T在4維線性空間V的基

1,

2,

3,

4下的矩陣為（2）求Im(T)的一組基;（1）求Ker(T)的一組基;第55頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日解（1）對任意有0=T(

)=T(x1

3+…x4

4)因此AX=0,對A做初等變換第56頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日解得其基礎解系則的基為第57頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日（2）由于從而這說明Im(T)=span(T

1,T

2,T

3,T

4)=span(T

1,T

2)第58頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日例2

線性空間和零子空間都是上的線性變換的（平凡）不變子空間。例3

線性空間V上的線性變換T的值域Im(T)和核Ker(T)都是V的不變子空間。

第59頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日例4

線性空間V上的線性變換T的對應于某個特征值的所有特征向量加上零向量組成的集合也是的子空間，稱為的特征子空間(eigenspace)

。進一步，也是的不變子空間。第60頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日定理2

線性變換T的不變子空間的交與和仍然是T的不變子空間。定理3

設線性空間V的子空間W=span{

1,

2,…,

m}，則W是線性變換T的不變子空間的充要條件是T(

i)

W(i=1,2,…m)第61頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日定理4

線性空間V上的線性變換T有非平凡的不變子空間的充要條件是T在V的一組基下的矩陣表示為塊上三角矩陣，即形如有不變子空間的線性變換，其矩陣表示是否有什么特殊形式呢？第62頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日定理5

線性空間V上的線性變換T在V的一組基下的矩陣表示為塊對角矩陣的充要條件是V可以分解為T的若干個非平凡不變子空間的直和。不變子空間是特征值的根子空間定理6

n維線性空間V上的線性變換T在V的某個基下的矩陣表示為對角矩陣的充要條件是V可以分解為T的n

個一維特征子空間的直和

V=V

1

V

2…V

n這里為T的兩兩不同的特征值。第63頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日線性變換T的矩陣化簡為一個塊對角矩陣（對角矩陣）與線性空間分解為若干個不變子空間的直和是相當的。第64頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日定義：設A

為一個n

階復矩陣，如果其滿足AAH=AHA=I則稱A是酉矩陣，一般記為A

Unn。設A為一個n階實矩陣，如果其滿足AAT=ATA=I則稱A

是正交矩陣,一般記為A

Enn。

§2.7酉變換與酉（正交）矩陣

UnitarytransformationandUnitarymatrix（Orthogonalmatrix）

第65頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日例1是一個正交矩陣是一個正交矩陣第66頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日是一個酉矩陣第67頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日酉矩陣與正交矩陣的性質：設A,B是酉矩陣，那么設，那么定理1：設，A是一個酉矩陣的充分必要條件為A

的

n個列（或行）向量組是標準正交向量組。第68頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日定義2

設T是n為酉（歐氏）空間V的線性變換，如果對任意的

，

V都有則稱T是V的酉（正交）變換。正交變換保持V中的內積不變，根據定義，顯然正交變換也保持歐氏空間中向量的長度、距離及向量間的夾角等幾何屬性不變。酉（正交）變換第69頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日定理2

設是歐氏空間上的一個線性變換，則下列命題是等價的：（1）T是正交變換；（2）T保持向量的長度不變，即||T

||=||

||;（3）若是V的一組標準正交基，則也是V的標準正交基；（4）T在V的任意一組標準正交基下的矩陣表示

A為正交矩陣。第70頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日證明：

若線性變換保持長度不變，即展開上式同樣有根據定義顯然成立。左式=(T

,T

)+2(T(

),T(

))+(T

,

T

)=(

,

)+2(T(

),T(

))+(,)右式=(

,

)+2(

,

)+(,)化簡得(T(

),T(

))=(

,

)#第71頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日因此則

對任意，令

顯然成立。第72頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日設在下的矩陣為，即由于也是標準正交基，所以A是兩組標準正交基間的過渡矩陣，因此A是正交矩陣。第73頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日設是正交矩陣，則所以也是標準正交基。第74頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日注

鑒于正交的重要性，所以相應的正交變換顯得尤為重要。Householder變換（即反射變換）和Givens變換（即旋轉變換）是兩種最重要的正交變換，它們的作用主要是在數值算法中構造正交基。

補充：兩種基本的圖形變換第75頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日例1（旋轉變換或Givens變換）將線性空間中的所有向量均繞原點順時針旋轉角，這時像與原像之間的關系為第76頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日例2（反射變換或Householder變換）將中任一向量x

關于橫軸做反射得向量y。這時像(x2,y2)與原像(x1,y1)之間的關系為第77頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日

從幾何上看，圖形經過旋轉變換或反射變換后只是位置改變了，形狀和大小都沒有改變，也就是說變換前后的圖形是全等的，即這兩種變換都是正交變換。將這兩種變換擴展到n維歐氏空間，得到兩類重要的正交變換：第78頁，共87頁，星期日，2025年，2月5日一般形式的Givens矩陣為：第j列第i列對應的變換稱為Givens變換，或初等旋轉變換：在n維歐式空間中取一組標準正交基e