階段拔尖專(zhuān)訓(xùn)7“隱形圓”在解最值中的應(yīng)用A2．(1)如圖①，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，則∠CAD的度數(shù)為(

)A．68°

B．88°

C．90°

D．112°(2)如圖②，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(4，0)，B(0，4)，C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為_(kāi)_______．B3．【問(wèn)題提出】如圖①，AB為⊙O的一條弦，點(diǎn)C在弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)圓周角性質(zhì)，我們知道∠ACB的度數(shù)不變．愛(ài)動(dòng)腦筋的小芳猜想，如果平面內(nèi)線段AB的長(zhǎng)度已知，∠ACB的大小確定，那么點(diǎn)C是在某個(gè)確定的圓上運(yùn)動(dòng)．【問(wèn)題探究】為了驗(yàn)證猜想，小芳先從一個(gè)特殊的例子開(kāi)始研究．如圖②，若AB＝4，線段AB上方一點(diǎn)C滿足∠ACB＝45°，為了畫(huà)出點(diǎn)C所在的圓，小芳以AB為底邊構(gòu)造了一個(gè)等腰直角三角形AOB，再以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑畫(huà)圓，則點(diǎn)C在⊙O上．后來(lái)小芳通過(guò)逆向思維及合情推理，得出一個(gè)一般性的結(jié)論：若線段AB的長(zhǎng)度已知，∠ACB的大小確定，則點(diǎn)C一定在某一個(gè)確定的圓上，即定弦定角必定圓，我們把這樣的幾何模型稱(chēng)為“定弦定角”模型．【模型應(yīng)用】(1)已知AB＝6，平面內(nèi)一點(diǎn)C滿足∠ACB＝60°，若點(diǎn)C所在圓的圓心為O，則∠AOB＝________．120°(2)如圖③，已知正方形ABCD，以AB為腰向正方形內(nèi)部作等腰三角形ABE，其中AB＝AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，若點(diǎn)P是△AEF的內(nèi)心．①求∠BPE的度數(shù)；∵AE＝AB，∠EAP＝∠BAP，AP＝AP，∴△APE≌△APB.∴∠BPA＝∠APE＝135°，∴∠BPE＝360°－∠BPA－∠APE＝90°.②連接CP，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，求CP的最小值．【解】如圖，作△APB的外接圓⊙Q，連接AQ，BQ，CQ，過(guò)Q作QN⊥BC交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，可知∠APB＝135°，AB＝4，設(shè)圓的半徑為r，則CP的最小值即為CQ－r.設(shè)優(yōu)弧AB所對(duì)的圓心角為α，∵∠APB＝135°，則α＝270°，∴∠AQB＝90°.∵QA＝QB，∴∠ABQ＝∠BAQ＝45°.4．(1)如圖①，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊DC，CB上的動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足DE＝CF，AE，DF交于點(diǎn)P，連接CP，線段CP的最小值為_(kāi)_______．

(2)如圖②，在邊長(zhǎng)為6的等邊三角形ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AC，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，連接BE，AF交于點(diǎn)P，連接CP，則CP的最小值為_(kāi)_________．【點(diǎn)撥】∵等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，∴AC＝BA＝BC＝6，∠ACF＝∠BAE＝60°.又∵CF＝AE，∴△ACF≌△BAE.∴∠CAP＝∠PBA.∴∠EPA＝∠PBA＋∠PAB＝∠CAP＋∠PAB＝∠CAB＝60°.∴∠APB＝120°.∴點(diǎn)P在如圖所示的以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上．易知此時(shí)∠AOB＝120°，連接CO交⊙O于P′，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P′時(shí)，CP取得最小值．∵CA＝CB，CO＝CO，OA＝OB，∴△ACO≌△BCO.∴∠ACO＝∠BCO＝30°，∠AOC＝∠BOC＝60°.∴∠CAO＝∠CBO＝90°.5．綜合與實(shí)踐“善思”小組開(kāi)展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．提出問(wèn)題：如圖①，在線段AC同側(cè)有兩點(diǎn)B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠ABC＝∠ADC，那么A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上嗎？探究展示：求證：A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．如圖②，作經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點(diǎn)E(不與A，C重合)，連接AE，CE，則∠AEC＋∠D＝180°.(1)請(qǐng)完善探究展示．【解】完善過(guò)程如下：∵∠B＝∠D，∴∠AEC＋∠B＝180°，∴點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，∴點(diǎn)B，D在點(diǎn)A，C，E所確定的⊙O上，∴A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．(2)如圖③，在四邊形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，則∠4的度數(shù)為_(kāi)_______．45°拓展探究：(3)如圖④，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上(不與BC的中點(diǎn)重合)，連接AD.作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接EB并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AE，DE，CE.①求證：A，D，B，E四點(diǎn)共圓．【證明】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)，∴AE＝AC，DE＝DC，∴∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，∴∠AED＝∠ACB，∴∠AED＝∠ABD，∴由(1)可得A，D，B，E