大招5同構(gòu)與導數(shù)放縮大招總結(jié)同構(gòu)不等式是近些年高考模擬題的熱點題型，經(jīng)常出現(xiàn)在壓軸選擇填空和導數(shù)大題中，特別是恒成立求參數(shù)取值范圍，或證明不等式，常規(guī)方法可能需要采用隱零點，往往較為繁瑣，而用同構(gòu)，則會達到四兩撥千斤的功效．那么何為同構(gòu)？什么時候用同構(gòu)呢？顧名思義，同構(gòu)，函數(shù)結(jié)構(gòu)相同時使用，或者通過變形使不等式兩邊的函數(shù)結(jié)構(gòu)相同。例如題目給了條件能等價變形為，然后利用的單調(diào)性，如遞增，再轉(zhuǎn)化為，這種方法我們就可以稱為同構(gòu)不等式，簡稱同構(gòu)．王國維先生有人生三重境界：“昨夜西風調(diào)碧樹，獨上高樓，望盡天涯路。”此第一境也。“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴。”此第二境也。“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處。”此第三境也。現(xiàn)在，勇哥逐層遞進，給大家講解同構(gòu)的三重境界．同構(gòu)的方法，勇哥從多位老師的文章和書籍中學到很多，如唐鑫老師、陳永清老師，在此表示感謝!同構(gòu)第一重境界：雙變量問題、地位完全等價，只需把同一個變量移到不等式同一邊即可。給大家一些常見的例子，一看便知．（1）為增函數(shù)，求導證明即可（2）為減函數(shù)．同構(gòu)第二重境界：指對跨階時使用，何謂指對跨階？簡單做一個介紹，、x、中，指數(shù)增長最快屬于第一階，x其次，屬于第二階，增長最慢，屬于第三階。如果題目中既出現(xiàn)，又出現(xiàn)，我們暫且稱之為指對跨階．指對跨階常見模型及處理方法：（1）積型：（2）商型：（3）和差型：同構(gòu)第三重境界：有些同構(gòu)式不是很明顯的指對跨階，需要配湊常數(shù)或者自變量x，此類題型較為含蓄，需要同學們多加練習。舉例說明：例如：（1）（2）（3）以上就是同構(gòu)的三重境界，很多同學看完后可能同構(gòu)的運用還是不夠靈活，要想用好同構(gòu)，還要掌握兩種方法，指對變換與放縮．常見的指對變換有，，基于此，有如下一些變形，需要大家理解并掌握．，；，，常見的放縮在本書的前幾講有詳細講解，有如下一些變形，需要大家理解并掌握．（1），（2），，，常見的指對變換與放縮結(jié)合有如下幾種：，；；，典型例題例1．對下列不等式或方程進行同構(gòu)變形，并寫出相應的同構(gòu)函數(shù)．（1）：解：，．（2）；解：，．（3）；解：，．（4）；解：，．（5）；解：，．（6）．解：，．（7）；解：，．（8）；解：，．例2．（2020·新課標Ⅱ）若，則（）A． B． C． D．方法1：由，可得，令，則在上單調(diào)遞增，且，所以，即，由于，故．方法2：取，，滿足，此時，，可排除BCD．故選A．例3．已知不等式，對恒成立，則a的取值范圍是______．解：方法1：當，由題意可得與互為反函數(shù)，故問題等價于在區(qū)間上恒成立．構(gòu)造函數(shù)，則，令，得，且此時函數(shù)取到最小值，故有，解得；當時，不符合條件，舍去，故a的取值范圍是：；故答案為：．方法2：由指對函數(shù)圖像可知，，構(gòu)造，，，，，構(gòu)造，，從而，．例4．（2021春·碑林區(qū)校級月考）設實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍為______．解：方法1：隱零點∵實數(shù)，對任意的，不等式恒成立，∴，設，，，，令，得，由指數(shù)函數(shù)和反函數(shù)在第一象限的圖象，得到與有且只有一個交點，設交點為，當時，，遞增，當時，，遞減，∴在處取得極小值，且為最小值，∴，令，解得，，當時，不等式恒成立，則的最小值為．方法2：同構(gòu)，，當，不等式恒成立當，構(gòu)造，，，構(gòu)造，，．例5．（2020·成都二診）已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則的最大值為（）A． B． C． D．解：即所以且，構(gòu)造，所以，，故，令，，則，令，解得，令，解得，∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴．故選C．例6．若對任意，恒有，則實數(shù)a的最小值為______．解：，令，則，，易知在（0，1）上遞減，在上遞增，所以，所以在單調(diào)遞增．則，易證，所以，故答案為：．例7．（2020·金安區(qū)校級模擬）已知函，若關于x的不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．解：方法1：，令，顯然為增函數(shù)．則原命題又等價于．由于，所以，即得．方法2：，，，，，構(gòu)造，，，，令，，，．例8．對任意，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值為______．解：．由于為增函數(shù)，所以由，得，即恒成立．令，則，易得，所以實數(shù)a的最小值為．例9．（2020·山東）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若，求a的取值范圍．解：（1）當時，，∴，∴，∵，∴曲線在點處的切線方程為，當時，，當時，，∴曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積．（2）方法1：同構(gòu)，由，可得，即，即，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∵，∴，即，令，∴，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴，∴，∴，故a的范圍為．方法2：由可得，，，即，設，∴恒成立，∴在單調(diào)遞增，∴，∴，即，再設，∴，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴，∴，即，∴，則，此時只需要證，即證，當時，∴恒成立，當時，，此時不成立，綜上所述a的取值范圍為．方法3：由題意可得，，∴，易知在上為增函數(shù)，①當時，，，∴存在使得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴，不滿足題意，②當時，，，∴，令，∴，易知在上為增函數(shù)，∵，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴，即，綜上所述a的取值范圍為．方法4：∵，，，∴，易知在上為增函數(shù)，∵在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，∴與在上有交點，∴存在，使得，則，則，即，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴∴設，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，∴當時，，∴時，，設，，∴恒成立，∴在上單調(diào)遞減，∴，當時，，∴，∴．例10．已知函數(shù)．（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若，求a的取值范圍．解：（1）若，則，設，則，故存在唯一，使得，即，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，所以，所以在單調(diào)遞增．（2）若，當時，，若，，則．設，則，令，則，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增．當時，，當時，，，若，只需滿足，即．設，則，令，則，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，所以所以若，即，則，綜上所述，當時，．自我檢測1．（2020·成都模擬）已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則的最小值為（）A． B． C． D．答案：D，函數(shù)定義域，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，所以時，；時，；當時，，單調(diào)遞減，此時，所以若存在，，使得成立，則且，所以，即，所以，，令，，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以當時，，故選D．2．（2021春·浉河區(qū)校級月考）設實數(shù)．且不等式對恒成立，則m的最大值是（）A．e B． C．2e D．答案：D由題意，，，不等式對恒成立，等價于，設，則，于是在遞增，∵，時，不等式顯然成立，時，有，故，令，，，故在遞增，在遞減，故，故，即m的最大值是，故選D．3．（2021春·渝中區(qū)校級月考）已知，不等式對任意的實數(shù)恒成立，則實數(shù)a的最小值為（）A． B． C． D．答案：D即為，設，則上式對任意的實數(shù)恒成立，顯然是上的增函數(shù)，∴，故選D．4．已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：C，令，，由，且，知在為減函數(shù)．所以，故選C．．5．已知，函數(shù)的最小值為0，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：C，當且僅當，即，即時等號成立，所以．答案：C．6．已知函數(shù)，的零點，則______．答案：2．所以，即，或．則．7．已知函數(shù)，若對任意恒成立，則實數(shù)a的最小值是______．答案：（利用）等號成立的條件是，即有解．令，則，易得．故a的最小值為．8．已知函數(shù)，，其中，求證：．答案：證明：，令，則，易知，故．9．已知函數(shù)，若，求a的取值范圍．答案：．由于，當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ裕?0．已知函數(shù)，，當時，若恒成立，求a的取值范圍．答案：，當，不等式恒成立；當時，，由于，【利用】當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ裕剩?1．已知函數(shù)，求證時，．答案：證明：令，則，易知，又時，．所以時，．12．已知函數(shù)，．（1）討論，零點的個數(shù)；（2）若方程有實數(shù)根，求a的取值范圍．答案：（1），，令，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，當，即時，無零點，當時，有一個零點，當時，有兩個零點當時，有一個零點．，當時，，單調(diào)遞增，是的唯一零點，當時，若，則，當時，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，當時，即時，無零點，當時，有一個零點，當時，有兩個零點，當時，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，當時，即時，無零點，當時，有一個零點，當時，有兩個零點．（2）若方程有實數(shù)根，即有大于零的實數(shù)根，即有大于零的實數(shù)根，設，則，令，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，即，當且僅當時等號成立，設，若方程有實數(shù)根，則存在零點，，當時，則，在單調(diào)遞增，所以存在唯一零點，當時，令，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，當時，即時，存在零點，綜上所述，當時，方程有實數(shù)根．13．已知函數(shù)，．（1）若，求的極值；（2）證明：．答案：（1）當時，．，當時，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以．綜上，的極小值為，無極大值．（2）因為，當且僅當時等號成立，所以若，只需，設，則，，所以只需證明，設，則，當時，，，，單調(diào)遞減，當時，，，，單調(diào)遞增，所以，即，當且僅當，且嚴時等號成立，此時，．所以．14．已知函數(shù)，已知實數(shù)，若在上恒成立，求a的取值范圍．答案：方法1：同時加x構(gòu)造，單調(diào)遞增，即15．已知函數(shù)，，若，求的最大值．答案：由題意：；，而：，∴．構(gòu)造在單增，∴，∴，∴，∵，∴．16．若時，關于x的不等式恒成立，求a的最大值．答案：．構(gòu)造，，∵，當時，恒成立當時，在所以：．17．已知函數(shù)，若關于x的不等式恒成立，求a的取值范圍．答案：方法1：，∴，∴令，單增，∴．方法