第四章三角函數知識點一任意角的概念正角：一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成的角稱為正角負角：一條射線繞其端點按順時針方向旋轉形成的角稱為逆角零角：如果一條射線沒有做任何旋轉,也認為形成了一個角,這個角稱為零角例題1下列說法中正確的是（

）A．銳角是第一象限角 B．終邊相等的角必相等C．小于90°的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角【答案】A【解析】銳角是指大于0°小于90°的角，故其在第一象限，即A正確；選項B．終邊相等的角必相等，兩角可以相差360°整數倍，故錯誤；選項C．小于90°的角不一定在第一象限，也可以為負角，故錯誤；選項D．根據任意角的定義，第二象限角可以為負角，第一象限角可以為正角，此時第二象限角小于第一象限角，故錯誤。故選：A例題2下列說法正確的是（

）A．最大的角是180° B．最大的角是360°C．角不可以是負的 D．角可以是任意大小【答案】D【解析】由任意角的定義可得角可以是任意大小，所以ABC錯誤，D正確，故選：D。例題3把快了10分鐘的手表校準后，該手表分針轉過的角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】分針旋轉為順時針，但快了10分鐘校準就需要逆時針旋轉，角度為為周角的六分之一，所以該手表分針轉過的角為：16×2π例題4將90°角的終邊按順時針方向旋轉30°所得的角等于．【答案】60°【解析】因為按順時針方向旋轉所得的角為負角，所以所求的角為90°-30°=60°．知識點二象限角角的終邊（除端點外）在第幾象限，就說這個角是第幾象限。特殊的，當角的終邊落在坐標軸上，把這個角叫做界限角。象限角角的集合表示第一象限角α第二象限角α第三象限角α第四象限角α界限角的表示：終邊在y軸正半軸，αα終邊在x軸負半軸，α終邊在y軸負半軸，α終邊在x軸正半軸，α例題1給出下列說法：①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負角；③小于180°的角是鈍角或直角或銳角.其中正確說法的序號為________.(把正確說法的序號都寫上)【答案】②【解析】①銳角的范圍為0°，90°是第一象限的角，命題②第一象限角的范圍為k?360°,90°+k③根據任意角的概念，可知小于180°的角，可以為負角，故③錯誤；例題2若α是第四象限角，則180°+α一定是(A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【解析】∵α是第四象限角，∴k?∴k?360°+90°<180°+α<例題3已知α為第二象限角，則α2【答案】第一或第三象限角【解析】∵α是第二象限角，∴π2∴π.當k為偶數時，α2是第一象限角；當k為奇數時，α所以α2第一或第三象限角例題4已知α為第一象限角，則2α【答案】第一象限或第二象限【解析】用特征值法∵α是第一象限角，∴α可能是30°或者-300°，則2α可能是60°（第一象限）或者-600知識點三終邊相同的角一般地,與角α終邊相同的所有角構成的集合為S=ββ=α+k例題1下列各角中，與2019°終邊相同的角為（）A．41° B．129° C．219° D．﹣231°【答案】C【解析】因為2019°=5×360°+219°，所以219°與2019°角的終邊相同，故選C。例題2在0°~360°的范圍內，與-510°終邊相同的角是（）A．330° B．210° C．150° D．30°【答案】B【解析】因為-510°=-720°+210°，則在0°~360°的范圍內，與-510°終邊相同的角式210°。故選：B。例題3下列與412°角的終邊不相同的角是（）A．52° B778° C．-308° D．1132°【答案】B【解析】因為412°=360°+52°，所以與412°角的終邊相同角為β=當k=-1時，β當k=0時，β當k=2時，β當k=3時，β=1132°，故選例題4出與α=-1910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式-720°≤β【答案】ββ=【解析】與α=-1910°終邊相同的角的集合為β∵-720°≤β≤360°∴故取k=4,5,6k=4時，β＝4×360°－1910°＝－470°k=5時，β＝5×360°－1910°＝－110°k=6時，β＝6×360°－1910°＝知識點四角度制與弧度制的互換規定，弧長等于半徑lr=1的圓弧所對的圓心角稱為１弧度的角.記作“1rad”讀作“以“弧度”為單位來度量角的制度稱為弧度制.1、正角的弧度數是正數2、負角的弧度數是負數3、零角的弧度數是零角度制0°1°30°45°60°90°弧度制0πππππ角度制120°135°150°180°270°360°弧度制235π32π例題1-300°化為弧度是（）A．-4π3 B．-5π3【答案】B【解析】-300°=-300°×π180例題27π3化為角度是【答案】420°【解析】7例題3將-315°化為弧度制，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】-315°=-315×π180=-7例題4將2π3弧度化成角度為（A． B． C． D．【答案】D【解析】2π3=知識點五扇形的弧長和面積公式扇形弧長公式角度制：扇形面積公式角度制：例題1一個扇形的圓心角為150°，面積為5π3，則該扇形半徑為（A．4 B．1 C．2 D．2【答案】D【解析】圓心角為α=150°=5πS=解得R=2。故選D。例題2已知某扇形的半徑為4cm，圓心角為2rad，則此扇形的面積為（）A．32cm2 B．16cm2 C．8cm2 D【答案】B【解析】由題意，某扇形的半徑為4cm，圓心角為2rad，根據扇形的面積公式，可得S=所以此扇形的面積為16cm2.例題3一個面積為1的扇形，所對弧長也為1，則該扇形的圓心角是________弧度【答案】1【解析】設扇形的所在圓的半徑為r，圓心角為α，因為扇形的面積為1，弧長也為1，可得12αr2=1例題4半徑為3的圓中，圓心角為60°的扇形的面積是（）A.πB.3π2C.【答案】B【解析】60°=π3，扇形面積公式S知識點六任意角的三角函數對任意角α，有如下定義：yr稱為角α的正弦，記作sinα，記作xr稱為角α的余弦，記作cosα，記作yx稱為角α的正切，記作tanα我們把以α為自變量的函數y=sinα和y=cos則y=tanα=正弦函數、余弦函數和正切函數都叫做三角函數。正弦函數中解析式：y=sinα，定義域：R，值域：余弦函數中解析式：y=cosα，定義域：R，值域：正切函數中解析式：y=tanα，定義域：α≠例題1已知角α終邊過點P(1，-1)，則tanα的值為（）A．1 B．-1 C．22 D．【答案】B【解析】∵角α終邊過點P(1，-1)，∴tanα=y例題2若角α終邊經過點P3a,4aa≠0A.35B.45C.±【答案】D【解析】r=9a2+16a2例題3若角α的終邊上有一點P-4,a，且sinαcos【答案】-43【解析】根據三角函數的定義，sinα=a16+a2，cosα例題4已知角α的終邊上有一點P-5,-12，則cos【答案】-【解析】r=-知識點七各象限的三角函數值符號例題1若sinθcosθ>0，則A．第一、二象限 B．第一、三象限C．第一、四象限 D．第二、四象限【答案】B【解析】因為sinθcosθ>0，所以sinθ例題2若π4<α<πA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由π4<∴cosα-所以P位于第三象限,故選：C例題3給出的下列函數值中符號為正的是（）A．sin-1000°B．cos10π3 C．【答案】A【解析】A為正，∵-1000°=-3×360°+80°，∴1000°是第一象限角，∴sin-1000°>0；B為負，10π3=2π+4π3，∴10π3是第三象限角，∴cos10π3<0；C為負，∵例題4已知sinα<0，tanαA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】因為sinα<0，所以α是第三、四象限，又因為tanα<0，所以α知識點八同角三角函數基本關系式sin變形01、sinα+02、sinα-tan變形01、sin02、cos例題1已知α是第三象限的角,若tanα=12,則cosα=（A.-55B.-25【答案】B【解析】tanα=12,sinαcosα=1例題2已知π<α<2π，sinα+cosA.-34 B.-34或-43 C.3【答案】A【解析】∵π<α<2π，∴平方可得1+2sinα∴sinα<0，∵sinα2+cosα2=1∴sinα=15-例題3已知點P-1，-2是角α終邊上的一點，則tanα=【答案】-24【解析】根據題意知：tanα=-21例題4已知θ是第一象限角，若sinθ-2cos【答案】7【解析】∵sinθ-2∴解得cosθ=35或者cosθ=-725即，又∵θ為第一象限的角，知識點九誘導公式1、sincostan2、sincostan3、sincostan4、sincostan口訣：奇變偶不變，符號看象限例題1已知sin5π2+A． B． C． D．【答案】C【解析】由誘導公式得sin5π2例題2已知sin-π+θ+2A． B． C． D．【答案】D【解析】∵sin-∴sinθsinθ+例題3若sinθ-cosθ=43A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，sinθ-cosθ=由于θ∈34π，π例題4已知cos7π8-【答案】-【解析】因為cos7π8-知識點十正弦函數的圖像和性質五點法作圖的五個重要點：0，0、π2，1、π，性質1：周期性，最小正周期2π性質2：定義域R。性質3：值域-1性質4：單調性：單調遞增區間為-π2+2性質5：奇偶性：正弦函數是奇函數。性質6：對稱軸：π2性質7：最值：當x=π2+2kπk∈Z性質8：對稱中心：kπ例題1函數fxA.1，3B.-1，3C.【答案】B【解析】當sinx取最大值1時，fx=1-2sinx有最小值-1，當sinx取最小值-1時，例題2例題1函數y=sinxA．奇函數 B．偶函數 C．非奇非偶函數 D．既奇，又偶函數【答案】A【解析】由題意知，x∈設y=fx所以函數y=sinx為奇函數例題3關于正弦函數y=sinxA．值域為R B．最小正周期為2π C．在(0，π)上遞減 D．在(π，2π)上遞增【答案】B【解析】函數y=函數y=sinxx∈R的定義域為y=sinxx∈Ry=sinxx∈R在0,π2例題4已知a=sinπ5，b=sinπA．a<b<c B．b<a<c【答案】C【解析】c=sin5π因為y=sinx所以sinπ7<sinπ6知識點十一余弦函數的圖像和性質五點法作圖的五個重要點：0，1、π2，0、π，性質1：周期性，最小正周期2π性質2：定義域R。性質3：值域-1性質4：單調性：單調遞增區間為π+2kπ性質5：奇偶性：余弦函數是偶函數。性質6：對稱軸：kπk∈性質7：最值：當x=2kπk∈Z時，函數有最大值1,性質8：對稱中心：π2例題1函數y=1+cosxA．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】因為-1≤所以y=1+cosx的最大值為2，例題2下列區間中，使得sinx≤cosx成立的A.-3π4，π4【答案】A【解析】根據圖像，做出正弦函數和余弦函數在同一區間的圖像，觀察圖像的上下得出結論。如圖所示，x∈-3π例題3已知函數y=cosxA． B． C． D．【答案】A【解析】觀察圖象知，函數y=cosx在區間0,2π故選：A例題4直線y=2與函數y=cosA． B． C． D．無數個【答案】A【解析】因為-1≤cosx≤1，故直線y=2與函數知識點十二已知三角函數值求角角度制0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度制0ππππ235πsin012313210cos13210----1tan0313?---0角度制210°225°240°270°300°315°330°360°弧度制754357112sin-------0cos---01231tan313?---0根據計算器求角的步驟：1、將計算器設置為