2.3

數(shù)學歸納法1/261、已知數(shù)列{an}通項公式為

分別計算a1、a2、a3、a4、值,猜測an3、三角形內(nèi)角和為180°，四邊形內(nèi)角和為2?180°,五邊形內(nèi)角和為3?180°，于是有：凸n邊形內(nèi)角和為Sn=(n-2)?180°。2、對于數(shù)列｛｝，已知，求出數(shù)列前4項,你能得到什么猜測？怎樣經(jīng)過有限個步驟推理，證實n取全部正整數(shù)都成立？問題引入2/26數(shù)學歸納法對于一些與相關命題經(jīng)常采取下面方法來證實它正確性：先證實當n取第一個值n0時命題成立；2.

當n=k(k

N*，k≥n0)時命題成立，當n=k+1時命題也成立。這種證實方法就叫做

。數(shù)學歸納法正整數(shù)n假設證實

3/264/26多米諾骨牌課件演示

5/26例1：用數(shù)學歸納法證實：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝

從n=k到n=k+1有什么改變利用假設湊結論證實:2)假設n=k時命題成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝則當n=k+1時，

+＝=∴n=k+1時命題正確。由(1)和(2)知，當，命題正確。

=1)當n=1時，左邊=1×2=2,右邊==2.命題成立6/26數(shù)學歸納法步驟，用框圖表示為：驗證n=n0時命題成立。若n=k(k≥n0)時命題成立，證實當n=k+1時命題也成立。命題對從n0開始全部正整數(shù)n都成立。歸納奠基歸納遞推

注：兩個步驟,一個結論,缺一不可7/26上如證實對嗎？為何？證實：①當n=1時，左邊＝②設n=k時，有即n=k+1時，命題成立。依據(jù)①②問可知，對n∈N＊，等式成立。思索：用數(shù)學歸納法證實:當右邊＝等式成立。第二步證實中沒有用到假設，這不是數(shù)學歸納法證實。則，當n=k+1時8/261＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝正確解法：用數(shù)學歸納法證實n2即當n=k+1時等式也成立。依據(jù)（1）和（2）可知，等式對任何都成立。證實：1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］那么當n=k+1時（2）假設當n＝k時，等式成立，即（1）當n=1時，左邊＝1，右邊＝1，等式成立。1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝k2＝

+[2(k+1)－1］k2＝

＋2k＋1k2＝（k+1）2（假設）（利用假設）注意：遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘記。證實傳遞性（湊結論）9/26用數(shù)學歸納法證實恒等式步驟及注意事項：①明確首取值n0并驗證真假。（必不可少）②“假設n=k時命題正確”并寫出命題形式。③分析“n=k+1時”命題是什么，并找出與“n=k”時命題形式差異。搞清左端應增加項。④明確等式左端變形目標，掌握恒等式變形慣用方法：乘法公式、因式分解、添拆項、配方等，并用上假設。10/26課堂練習11/262、求證：1+2+3+…+n=n(n+1)12/26課堂小結1、數(shù)學歸納法能夠處理哪一類問題？普通被應用于證實一些與正整數(shù)相關數(shù)學命題2、數(shù)學歸納法證實命題步驟是什么？兩個步驟和一個結論，缺一不可3、數(shù)學歸納法證實命題關鍵在哪里？關鍵在第二步，即歸納假設要用到，解題目標要明確4、數(shù)學歸納法表達關鍵思想是什么？遞推思想，利用“有限”伎倆，來處理“無限”問題注意類比思想利用13/26作業(yè)：求證:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n?1?3?…?(2n-1)證實：①n=1時：左邊=1+1=2，右邊=21?1=2，左邊=右邊，等式成立。②假設當n=k((k∈N）時有：(k+1)(k+2)…(k+k)=2k?1?3?…?(2n-1),當n=k+1時：左邊=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)

=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)?

=2k?1?3?…?(2k-1)(2k+1)?2=2k+1?1?3?…?(2k-1)?[2(k+1)-1]=右邊，∴當n=k+1時等式也成立。由①、②可知，對一切n∈N,原等式均成立。

14/26謝謝大家再見15/26多米諾骨牌游戲原理這個猜測證實方法（1）第一塊骨牌倒下。（2）若第k塊倒下時，則相鄰第k+1塊也倒下。依據(jù)（1）和（2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。（1）當n=1時猜測成立。（2）若當n=k時猜測成立，即，則當n=k+1時猜測也成立，即。依據(jù)（1）和（2），可知對任意正整數(shù)n，猜測都成立。已知數(shù)列16/26從前，有個小孩叫萬百千，他開始上學識字。第一天先生教他個“一”字。第二天先生又教了個“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并預先在紙上劃了三橫。果然這天教了個“三”字。于是他得了一個結論：“四”一定是四橫，“五”一定是五橫，以這類推，…從此，他不再去上學，家長發(fā)覺問他為何不去上學，他自豪地說：“我都會了”。家長要他寫出自己名字，“萬百千”寫名字結果可想而知。”"萬百千"的笑話17/26費爾馬(1601.8—1665.1)，法國數(shù)學家。

(費馬猜測)結論是錯誤。18/26例4．求證：凸n邊形對角線條數(shù)為證實：（1）當n=4時，四邊形對角線有2條，f(4)=2，所以對于n=2，命題成立.（2）設凸k邊形對角線條數(shù)為當n=k+1時，k+1邊形比k邊形多了一個頂點,19/26解：猜測：怎樣經(jīng)過有限個步驟推理，證實n取全部正整數(shù)都成立？證實2、對于數(shù)列｛｝，已知，求出數(shù)列前4項,你能得到什么猜測？20/26依據(jù)(1)(2)可知對任意正整數(shù)n猜測都成立.證實：(2)假設n=k時猜測成馬上1k=ak21/26練習：1、假如{an}是一個等差數(shù)列，則an=a1+(n-1)d對于一切n∈N*都成立。

證實:(1)當n=1時,左邊=a1,右邊=a1+（1-1）d=a1,∴當n=1時，結論成立(2)假設當n=k時結論成立,即ak=a1+(k-1)d∴當n=k+1時，結論也成立.由(1)和(2)知,等式對于任何n∈N*都成立。利用假設湊結論22/2623/26注意

1.用數(shù)學歸納法進行證實時,要分兩個步驟,兩個步驟缺一不可.2(1)(歸納奠基)是遞推基礎.找準n0(2)(歸納遞推)是遞推依據(jù)n＝k時命題成立