工程力學(xué)

1位移法

11.1位移法的基本概念11.2等截面直桿的單元分析11.3位移法的基本原理11.4對稱結(jié)構(gòu)的利用11.5超靜定結(jié)構(gòu)在支座位移和溫度改變影響下的位移法內(nèi)力計算本章學(xué)習(xí)內(nèi)容

11.1

位移法的基本概念11.1.1力法與位移法的區(qū)別11.1.2位移法解題需解決的問題1）確定結(jié)構(gòu)上的哪些位移作為基本未知量。2）需要用力法計算出單跨超靜定梁在桿端發(fā)生各種位移時及荷載等因素作用下的內(nèi)力。3）如何求出這些位移。11.1

位移法的基本概念11.2

等截面直桿的單元分析11.2.1位移法基本單跨梁位移法基本的單跨梁僅有三種形式:11.2.2桿端力和桿端位移的正負(fù)規(guī)定1）桿端轉(zhuǎn)角θA、θB，弦轉(zhuǎn)角β

=Δ/l都以順時針為正，如圖a所示。2）桿端彎矩對桿端以順時針為正，對結(jié)點或支座以逆時針為正，如圖b所示。11.2

等截面直桿的單元分析11.2.3等截面直桿的形常數(shù)由單位桿端位移引起的三種單跨超靜定梁的桿端內(nèi)力稱為形常數(shù)。令i=EI/l（稱為線剛度），由力法可以求得各種情形的形常數(shù)，如表所示。11.2

等截面直桿的單元分析11.2.4等截面直桿的載常數(shù)由跨中荷載引起三種單跨超靜定梁的桿端內(nèi)力稱為載常數(shù)，也叫固端內(nèi)力。載常數(shù)也可按力法計算出來，如表所示。11.2

等截面直桿的單元分析11.2.4等截面直桿的載常數(shù)11.2

等截面直桿的單元分析11.2.4等截面直桿的載常數(shù)11.2

等截面直桿的單元分析11.2

等截面直桿的單元分析11.2.4等截面直桿的載常數(shù)11.2.5等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程（剛度方程）兩端固定單跨梁在桿端位移和荷載共同作用下，利用形、載常數(shù)和疊加原理可得到桿端內(nèi)力。轉(zhuǎn)角位移方程（剛度方程）11.2

等截面直桿的單元分析11.2.5等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程（剛度方程）根據(jù)形、載常數(shù)和疊加原理，可建立各種因素共同作用下將桿端位移和桿端內(nèi)力聯(lián)系起來的桿端彎矩的單跨梁的轉(zhuǎn)角位移方程。（1）兩端固定梁（見圖a）轉(zhuǎn)角位移方程。

（2）一端固定一端鉸支梁（見圖b）轉(zhuǎn)角位移方程。

（3）一端固定一端定向支承梁（見圖c）轉(zhuǎn)角位移方程。

（4）已知桿端彎矩，可由桿件的矩平衡方程求出剪力。

11.2

等截面直桿的單元分析11.3

位移法的基本原理11.3.1位移法的基本思路在原結(jié)構(gòu)的結(jié)點上附加約束（剛臂、支鏈桿），使其成為固定端或鉸支端；將原結(jié)構(gòu)變成了若干個單跨超靜定梁的組合體，該組合體稱為原結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)；形成基本結(jié)構(gòu)所需附加的約束的數(shù)目即為基本未知量的數(shù)目；利用形常數(shù)表和載常數(shù)表得到各桿端內(nèi)力，并利用附加約束處反力（反力偶）為零的條件建立位移法基本方程；解方程即得基本未知量，進而確定結(jié)構(gòu)的桿端內(nèi)力。11.3.1位移法的基本思路1.基本未知量結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移分兩類：線位移和角位移。位移法基本未知量是結(jié)點的獨立位移，當(dāng)然未知量總數(shù)應(yīng)該是獨立線位移和獨立角位移的和，即位移法基本未知量n=獨立角位移個數(shù)nα+獨立線位移個數(shù)nl。確定未知量總的原則是：在原結(jié)構(gòu)的結(jié)點上逐漸加約束，直到能將結(jié)構(gòu)拆成具有已知形常數(shù)和載常數(shù)的單跨梁為止。即：獨立角位移個數(shù)=位移未知的剛結(jié)點個數(shù)；獨立線位移個數(shù)=變剛結(jié)點為鉸后，為使鉸結(jié)體系幾何不變所要加的最少鏈桿數(shù)（鉸結(jié)體系幾何不變，線位移數(shù)為零）。11.3

位移法的基本原理11.3.1位移法的基本思路2.基本結(jié)構(gòu)確定了獨立位移未知量，在結(jié)點上加約束消除獨立位移，即得基本結(jié)構(gòu)。對應(yīng)線位移加支座鏈桿，對應(yīng)角位移加限制轉(zhuǎn)動的剛臂。在原結(jié)構(gòu)的結(jié)點上附加約束（剛臂、支鏈桿）的原則：1）一般情況下，在結(jié)構(gòu)的剛結(jié)點上附加剛臂，鉸結(jié)點處不需加剛臂。2）如果結(jié)構(gòu)受外界因素影響產(chǎn)生側(cè)向或是豎向線位移，則獨立線位移的個數(shù)即為附加支鏈桿數(shù)量，支鏈桿應(yīng)附加在剛結(jié)點或是鉸接點處，方向與位移方向相反。11.3

位移法的基本原理11.3.2位移法解題思路位移法有兩種思路求解結(jié)點位移和桿端彎矩：平衡方程法和典型方程法。1.平衡方程法圖a所示為二次超靜定結(jié)構(gòu)。在不考慮軸向變形的情況下，只有B結(jié)點能產(chǎn)生轉(zhuǎn)角位移，作為廣義位移記作Z1。廣義平衡條件Z1得位移法方程11.3

位移法的基本原理11.3.2位移法解題思路平衡方程法解題步驟：1）確定位移法基本未知量。2）利用轉(zhuǎn)角位移方程寫出各桿端彎矩表達(dá)式。3）對每個角位移θi，建立結(jié)點的力矩平衡方程：對每個線位移Δj，建立截面投影平衡方程：，或4）聯(lián)立求解由方程(11-5)、(11-6)組成的位移法方程，求出結(jié)點位移。5）將求得的結(jié)點位移代入桿端彎矩表達(dá)式，求出桿端彎矩并繪最后彎矩圖。6）根據(jù)M圖由桿件平衡求FS，繪FS圖，再根據(jù)FS圖由結(jié)點投影平衡求FN，繪FN圖。11.3

位移法的基本原理11.3.2位移法解題思路【例11-1】繪圖a所示剛架的彎矩圖。設(shè)1點發(fā)生順時針轉(zhuǎn)角11.3

位移法的基本原理11.3.2位移法解題思路【例11-2】繪圖a所示剛架的彎矩圖。設(shè)1、2兩點的實際側(cè)移為Z111.3

位移法的基本原理2.典型方程法先選圖b為基本體系；使基本體系發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的結(jié)點位移；受相同的荷載，因原結(jié)構(gòu)中無附加約束，故基本體系的附加約束中的約束力（矩）必須為零，即：R1=0，R2=0；Ri是基本體系在結(jié)點位移Z1、Z2和荷載共同作用下產(chǎn)生的第i個附加約束中的反力（矩），按疊加原理Ri也等于各個因素分別作用時（如圖c，d，e所示）產(chǎn)生的第i個附加約束中的反力（矩）之和。得位移法典型方程：11.3

位移法的基本原理3.位移法典型方程基本體系是令基本結(jié)構(gòu)發(fā)生原結(jié)構(gòu)待求的位移Zi（i=1,2……n）同時受有外因作用，從結(jié)點位移方面看基本體系和原結(jié)構(gòu)沒有了差別，但是由于待求位移Zi（i=1,2……n）和外因作用，第i個附加約束上將產(chǎn)生的約束總反力，顯然這是和原結(jié)構(gòu)仍然不同的。為了消除這一差別（原結(jié)構(gòu)沒有附加約束），第i個附加約束上的總反力應(yīng)該等于零，也即Ri=0或

位移法典型方程11.3

位移法的基本原理注意：1）位移法方程的物理意義：基本體系在荷載等外因和各結(jié)點位移共同作用下產(chǎn)生的附加約束中的反力（矩）等于零。實質(zhì)上是原結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足的平衡條件。2）位移法典型方程中每一項都是基本體系附加約束中的反力（矩）。其中Rif表示基本體系在荷載作用下產(chǎn)生的第i個附加約束中的反力（矩）；稱為自由項。rijZj表示基本體系在Zj作用下產(chǎn)生的第i個附加約束中的反力（矩）。3)主系數(shù)rii表示基本體系在Zi=1作用下產(chǎn)生的第i個附加約束中的反力（矩）；rii恒大于零。4)副系數(shù)rij表示基本體系在Zj=1作用下產(chǎn)生的第i個附加約束中的反力（矩）；根據(jù)反力互等定理有rij=rji，副系數(shù)可大于零、等于零或小于零。5)由于位移法的主要計算過程是建立方程求解方程，而位移法方程是平衡條件，所以位移法校核的重點是平衡條件（剛結(jié)點的力矩平衡和截面的投影平衡）。11.3

位移法的基本原理【例11-3】繪制圖a所示彎矩圖。【解】根據(jù)1點處力的平衡，則有11.3

位移法的基本原理【例11-4】繪制圖a所示彎矩圖。【解】該體系有未知數(shù)2處，增加相應(yīng)的剛臂后，根據(jù)力的平衡，則有11.3

位移法的基本原理求解步驟：1)確定位移法基本未知量，加入附加約束，取位移法基本體系。2)令附加約束發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的結(jié)點位移，根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在荷載等外因和結(jié)點位移共同作用下產(chǎn)生的附加約束中的總反力（矩）等于零，列位移法典型方程。3)繪出單位彎矩圖、荷載彎矩圖，利用平衡條件求系數(shù)和自由項。4)解方程，求出結(jié)點位移。5)用公式疊加最后彎矩圖。并校核平衡條件。6）根據(jù)M圖由桿件平衡求FS，繪FS圖，再根據(jù)FS圖由結(jié)點投影平衡求FN，繪FN圖。11.3

位移法的基本原理11.4

對稱結(jié)構(gòu)的利用作用于對稱結(jié)構(gòu)上的任意荷載可以分為對稱荷載和反對稱荷載兩部分分別計算。在對稱荷載作用下，變形是對稱的，彎矩圖和軸力圖是對稱的，而剪力圖是反對稱的。在反對稱荷載作用下，變形是反對稱的，彎矩圖和軸力圖是反對稱的，而剪力圖是對稱的。計算對稱連續(xù)梁或?qū)ΨQ剛架時，我們只需計算這些結(jié)構(gòu)的半邊結(jié)構(gòu)就可以。此方法適用于力法和位移法。11.5超靜定結(jié)構(gòu)在支座位移和溫度改變影響下的位移法內(nèi)力計算11.5.1由于支座位移引起的超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力變化的計算【例11-5】已知圖示a剛架的支座A順時針轉(zhuǎn)動0.01rad；支座B向下沉陷0.02L。試用位移法繪制彎矩圖。方法一：（1）確定該結(jié)構(gòu)的未知位移數(shù)目：如圖b所示基本結(jié)構(gòu)，由于支座發(fā)生位移會引起剛節(jié)點D產(chǎn)生角位移Z1和水平位移Z2，以及會引起鉸節(jié)點B產(chǎn)生水平位移Z2。AD桿的A端轉(zhuǎn)角θAB＝0.01,D端轉(zhuǎn)角θDB＝Z1AD桿的側(cè)位移ΔAD＝Z2，

旋轉(zhuǎn)角βAD＝Z2/LCD桿的C端轉(zhuǎn)角θCD＝0,D端轉(zhuǎn)角θDC＝Z1CD桿的側(cè)位移ΔCD＝－Z2，旋轉(zhuǎn)角βCD＝ΔCD/L＝－Z2/LDB桿的D端轉(zhuǎn)角θDB＝Z1DB桿的側(cè)位移ΔDB＝0.02L，旋轉(zhuǎn)角βCD＝ΔDB/L

＝0.0211.5超靜定結(jié)構(gòu)在支座位移和溫度改變影響下的位移法內(nèi)力計算（2）根據(jù)等截面直桿的載常數(shù)和形常數(shù)寫出各桿端內(nèi)力表達(dá)式：1）AD桿視為兩端固定梁A端產(chǎn)生轉(zhuǎn)角0.01rad,D端產(chǎn)生轉(zhuǎn)角Z1，AD桿兩端產(chǎn)生相對線位移ΔAD＝Z2MAD＝4iθA＋2iZ1－6iZ2/L＝0.04i＋2iZ1－6iZ2/LMDA＝4iZ1＋2iθA－6i2Z2/L＝4iZ1＋0.02i－6iZ2/LVAD＝－6iZ1/L＋12iZ2/L2－0.06i/L

VDA＝－6iZ1/L＋12iZ2/L2－0.06i/L

2）CD桿視為兩端固定梁D端產(chǎn)生轉(zhuǎn)角Z1，CD桿兩端產(chǎn)生相對線位移ΔCD＝－Z2MCD＝0＋2iZ1＋6iZ2/L＝2iZ1＋6iZ2/LMDC＝4iZ1＋0＋6iZ2/L＝4iZ1＋6iZ2/LVCD＝－6iZ1/L－12iZ2/LVDC＝－6iZ1/L－12iZ2/L3）BD桿視為一端固定一端簡支梁D端產(chǎn)生轉(zhuǎn)角Z1，BD桿兩端產(chǎn)生相對線位移ΔBD=0.02LMDB＝3iZ1－3iΔBD/L＝3iZ1－0.06iVDB＝－3iZ1/L＋3iΔBD/L2＝－3iZ1/L＋0.06/L

VBD＝－3iZ1/L＋3iΔBD/L2＝－3iZ1/L＋0.06i/L

11.5超靜定結(jié)構(gòu)在支座位移和溫度改變影響下的位移法內(nèi)力計算（3）建立位移法方程并求出未知的位移量Z1與Z3：取D結(jié)點為隔離體如圖c所示，由∑MD＝0得

MDA＋MDC

＋MDB

＝0(4iZ1＋0.02i－6iZ2/L)＋(4iZ1＋0＋6iZ2/L)+(3iZ1－0.06i)＝011iZ1－0.04i＝0

解得Z1＝0.04/11＝4/1100＝1/275Z1＝1/275取DB桿為隔離體如圖d所示：由∑X＝0得

VDA

－VDC

＝0(－6iZ1/L＋12iZ2/L2－0.06i/L)－(－6iZ1/L－12iZ2/L)＝024iZ1/L2－0.6i/L＝0解得：Z2＝L/400Z1＝1/275Z2＝L/400所得位移均為正值，說明結(jié)點D、B的實際位移方向與所假設(shè)的位移方向相同。（4）繪制最后彎矩圖與剪力圖將前面已求得的位移值Z1與Z3代入前面各桿端彎矩和剪力表達(dá)式，求出各桿端內(nèi)力值，從而繪出該結(jié)構(gòu)在支座移動下所產(chǎn)生的彎矩圖與剪力圖。1）繪制最后彎矩圖MAD＝0.04i＋2iZ1－6iZ2/L＝0.04i＋2i×(1/275)－6i×(L/400)/L＝35.5i/1100MDA＝4iZ1＋0.02i－6iZ2/L＝4i×(1/275)＋0.02i－6i×(L/400)/L＝21.5i/1100MCD＝2iZ1＋6iZ2/L＝2i×(1/275)＋6i×(L/400)/L＝24.5i/1100MDC＝4iZ1＋6iZ2/L＝4i×(1/275)＋6i×(L/400)/L＝32.5i/1100MDB＝3iZ1－0.06i＝3i×(1/275)－0.06i＝－54i/11002）繪制最后剪力圖

VAD＝－6iZ1/L＋12iZ2/L2

－0.06i/L

＝－6i×(1/275)/L＋12i×(L/400)/L2

－0.06i/L＝－9i/1100LVDA＝－6iZ1/L＋12iZ2/L2

－0.06i/L

＝－6i×(1/275)/L＋12i×(L/400)/L2

－0.06i/L＝－57i/1100LVCD＝－6i1Z1/L－12iZ2/L＝－6i×(1/275)/L＋12i×(L/400)/L2

＝9i/1100LVDC＝－6i1Z1/L－12iZ2/L＝－6i×(1/275)/L＋12i×(L/400)/L2

＝9i/1100LVDB＝－3iZ1/L＋0.06i/L＝－3i×(1/275)/L＋0.06i/L＝54i/1100LVBD＝－3iZ1/L＋0.06i/L＝－3i×(1/275)/L＋0.06i/L＝54i/1100L11.5超靜定結(jié)構(gòu)在支座位移和溫度改變影響下的位移法內(nèi)力計算方法二：（1）確定該結(jié)構(gòu)的未知位移數(shù)目：同上（2）取基本結(jié)構(gòu)如圖b所示,寫出位移法典型方程：

r11Z1

＋r12Z2

＋R1C

＝0r21Z1

＋r22Z2＋R2C

＝0

式中RiC分別表示基本結(jié)構(gòu)單獨在支座位移作用下在附加約束中產(chǎn)生的約束力。（3）求方程中的系數(shù)rii、rij和自由項RiCMFDB=-0.02L×3i/L=-3i/50MFDA=2i×0.01＝i/50MFAD=4i×0.01＝i/25

ＶFDA=－0.01×６i/Ｌ＝－3i/50L圖g，由∑MD＝0可得：R1C＝MFDA＋MFDＢ＝0,R1C＝i/50

-3i/50

＝-i/25對DB桿隔離體由∑X＝0可得：R2C＝-3i/50

L圖i，由∑MD＝0可得：r11＝4i＋3i＋4i＝11i對DB桿隔離體由∑X＝0可得：r21＝6i/L－6i/L＝0圖k，由∑MD＝0可得：r12＝6i/L－6i/L＝0對DB桿隔離體由∑X＝0可得：r22＝12i/L2＋12i/L2＝24i/L211.5超靜定結(jié)構(gòu)在支座位移和溫度改變影響下的位移法內(nèi)力計算方法二：（4）將主系數(shù)rii、rij和數(shù)項Ric代入典型方程中得Z1和Z2：

r11Z1＋r12Z2＋R1C

＝0即:11iZ1＋0×Z2－i/25＝0r21Z1＋r22Z2＋R2C

＝0,0×Z1+24i/L2Z2-3i/50

L＝0解得：Z1＝1/275Z2＝L/400（5）求各桿端最后彎矩值

MAD＝4iθA＋2iZ1－6iZ2/L＋0＝4i×0.01＋2i/275－6i/L×L/400＝［(44＋2×4－16.5）i/1100］＝35.5i/1100(右側(cè)受拉)MDA＝4iZ1

＋2iθA＋（－6iZ2/L）＋0＝4