第1頁/共1頁吉安市高三上學期期末教學質量檢測2025.1數學試題（測試時間：120分鐘卷面總分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求指數函數的值域求集合，再由集合的交補運算求結果.【詳解】由題意，∴，故.故選：B2.已知，則（）A. B.2 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】利用復數除法運算求出，再利用共軛復數及復數模的意義求解.詳解】依題意，，則，所以.故選：A3.已知數列是以1為首項，4為公比的等比數列，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等比數列前項和公式代入計算可得結果.【詳解】由題意可知是以1為首項，4為公比的等比數列，顯然代表數列的前66項和，所以.故選：B4.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據垂直關系的向量表示可得，即可得出結果.【詳解】由可得，由于，可得，解得，由于，因此．故選：D5.為響應教育部推出的“德智體美勞全面發展以及五育并舉”的相關政策，某高中成立了鋼琴興趣社團，5名同學為一小組，若某次鋼琴專業知識測試中某小組的5名成員測試成績分別為50，49，51，48，52，則該組數據的平均數和方差分別為（）A.50，2 B.50，10 C.51，2 D.51，1【答案】A【解析】【分析】根據平均數和方差的概念求解即可.【詳解】由題意可得該組數據的平均數為，方差為．故選：A.6.某小區大門口前有一圓臺形狀的人工噴泉石墩，經測量該石墩的上下底面半徑和母線長分別為，，（單位：m），且該石墩所用材料混凝土的密度約為，則該圓臺石墩的質量約為（取3）（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意先求圓臺的高，利用圓臺體積公式計算，借助于混凝土密度即可求得圓臺石墩的質量.【詳解】由題意可得，，，因此該圓臺石墩的高為，故該圓臺形石墩的體積約為，故該圓臺石墩的質量約為故選：A7.已知函數的最小正周期為，且滿足，則（）A.1 B.2 C. D.0【答案】C【解析】【分析】由題知函數周期和對稱軸，分類討論當和時，利用輔助角公式和三角函數的圖象性質求解即可.【詳解】因為，所以對稱軸為，當時，．則函數周期，則，∴，對稱軸為，，不合題，舍去；當時，，其中，得的最小正周期，∴，∴，由，令，得，即，得，∴．∴．故選：C.8.已知雙曲線C：右頂點為A，右焦點為F，點P為其漸近線在第一象限上的動點，則當取得最大值時，點P的橫坐標為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】首先轉化，再根據坐標表示兩角差的正切公式，最后代入基本不等式，即可求解.【詳解】由已知得，，在第一象限的漸近線方程為，設，則，．∵，，當且僅當，即時等號成立，∴點P的橫坐標為．故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若方程有三個實根，則b的可能取值為（）A.-1 B. C.0 D.【答案】BD【解析】【分析】問題轉換成由三個零點，求導確定函數單調性，求得極值，通過極值構造不等式求解即可；【詳解】由題意可設函數，由題意可轉化為有三個零點，且，由，可得或，由，可得，所以在單調遞增，在單調遞減；∴在處取到極大值，在處取到極小值，若有三個零點，則解得，結合選項只有BD符合；故選：BD10.已知，且（均為正數），則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據題設得，對于選項A，利用基本不等式，即可求解；對于B，利用基本不等式，再結合選項A中結果，即可求解；對于C，通過取特殊值，，即可求解；對于D，通過變形得，根據條件，利用選項A中結果，即可求解.【詳解】因為隨機變量，且，由正態曲線的對稱性，可得，對于選項A，∵，，所以，可得，解得，當且僅當時，等號成立，所以選項A正確，對于選項B，由，當且僅當，即時取等號，由選項A知，，當且僅當時，等號成立，所以，故選項B錯誤，對于選項C，令，，滿足，此時，所以選項C錯誤，對于選項D，因為由選項A知，所以，當且僅當時取等號，所以選項D正確，故選：AD.11.現定義：定義域和值域均為正整數的單調增函數稱為“正直函數”，已知正直函數滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】對于A：假設，結合題意推出矛盾；對于BC：結合選項A可知：或（且），假設，結合題意推出矛盾，可得，即可得；對于D：可求，結合單調性分析求解.【詳解】對于選項A：若，則，可得，兩者相矛盾，故A錯誤；對于選項B：因為為正整數，且單調遞增，結合選項A可知：或（且）．若（且），令，則；再令，則，可得．因為，則，即，這與矛盾．即（且）不成立．所以，可得，即，故B正確；對于選項C：令，，即．故C錯誤；對于選項D：令，，即．又為正整數．且單調遞增，所以，故D正確；故選：BD.【點睛】關鍵點點睛：對于本題的推理，采取正難則反的思想，關鍵在于利用反證法，先假設再推出矛盾.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.過點作曲線的切線的斜率為______．【答案】2【解析】【分析】設切點坐標，由導數得幾何意義求得切線方程，代入即可求解；【詳解】，設切點橫坐標為，故曲線在處的切線方程為l：，將，代入，得，解得，∴，故答案為：213.已知，且，，則______．【答案】##【解析】【分析】聯立已知條件，平方相加，利用同角三角函數的關系和余弦的差角公式求解即可.【詳解】由題意可得平方相加得：，，．∵，∴，∴，故答案：.14.若，，，則______．【答案】##【解析】【分析】根據條件概率公式可得，即可根據全概率公式求解.【詳解】∵，∴．又，∴，解得，故選：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，的面積．（1）求A；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由結合立方和公式得到，再由余弦定理即可求解；（2）由三角形面積公式求得，再結合余弦定理求得，即可求解；【小問1詳解】∵，∴，∴，∴．又，∴．【小問2詳解】，∴．，∴．由正弦定理可得．16.如圖，四棱錐中，平面平面ABCD，是以P為頂點，腰長為的等腰直角三角形，，，．（1）求證：平面平面PAB；（2）求直線PB與平面PCD所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）面面垂直得到線面垂直，再結合線面垂直的判定證明；（2）建立空間直角坐標系，求出關鍵點坐標和面的法向量，結合向量夾角余弦值公式計算即可【小問1詳解】∵平面平面ABCD，且平面平面，且，平面ABCD，∴平面PAD．∵平面PAD，∴，又，且，PA，平面PAB，∴平面PAB．∵平面PCD，故平面平面PAB．【小問2詳解】解：取AD中點為O，連接CO，PO．∵，∴，∴．∵，∴，則．以O為坐標原點，分別以OC，OA，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖的空間直角坐標系Oxyz，則，，，，則，，，．設為平面PCD的一個法向量，則由，得令，則．設與平面PCD的夾角為，則，故．17.在以為原點的平面直角坐標系中，過點且斜率存在的直線與橢圓：交于兩點，設的中點為．（1）求直線與的斜率之積；（2）求而積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）聯立直線與橢圓的方程得韋達定理，結合中點坐標公式可得，即可根據斜率公式求解，（2）根據弦長公式以及點到直線的距離公式，得三角形的面積表達，即可由基本不等式求解最值.【小問1詳解】由題可設直線：，，．聯立，消去，得．當，即時，有，．∴，，即，可得，∴．【小問2詳解】由（1）可知．又點O到直線l的距離，∴的面積．設，則，∵，∴，，當且僅當，即時等號成立，∴的面積最大值為．18.函數，．（1）求證：函數有且僅有一個零點；（2）討論函數在區間上的單調性．【答案】（1）證明見解析（2）在區間上單調遞減，在區間上單調遞增【解析】【分析】（1）先求導函數得出單調遞增，再根據當時，，結合零點存在定理證明即可；（2）根據導函數判斷單調性結合平移判定單調區間即可.【小問1詳解】∵，∴單調遞增，當時，，∵，又，∴，．∴使，∴有且僅有一個零點．【小問2詳解】，令，則函數的圖像向左平移個單位長度，得函數的圖象．由（1）知，，當時，，當時，，其中，．∴當時，，當時，．∴當時，，，，則，函數單調遞增．∴函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增19.設正n邊形，的外接圓圓心為P，且．（1）求證：；（2）若正n邊形的頂點為定拋物線的頂點，且兩相鄰頂點，也在此拋物線上，記正n邊形周長為．①求證：拋物線與正n邊形只有三個交點；②討論并證明數列的單調性．【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析；②減函數，證明見解析.【解析】【分析】（1）運用向量的線性運算，結合正多邊形的性質即可；（2）①設正多邊形的外接圓，以拋物線頂點為原點，以拋物線對稱軸為y軸建立平面直角坐標系．由對稱性知點P也在y軸上（由于拋物線過點兩個相鄰頂點），設：，．兩個曲線聯立.求出根，，即可；②運用第①問中，正n邊形中，中心角，得到直線傾斜角和方程．再與拋物線聯立，求出，．進而得到，運用弦長公式得到和，構造函數，求導后換元再導，最后判斷單調性即可.【小問1詳解】易知，同理：，…，，．將上面n個等式相加，得．∵，∴．【小問2詳解】①∵正n邊形的n個頂點共圓，圓心為點P，記該圓為．又點拋物線，則與拋物線的交點至少有3個．不妨以拋物線頂點為原點，以拋物線對稱軸為y軸建立平面直角坐標系．設拋物線：，由對稱性知點P也在y軸上（由于拋