量子力學1第三章量子力學中的力學量§3.1表示力學量的算符§3.2動量算符和角動量算符

§3.3厄米算符本征函數的正交性和完備性

§3.4算符間的對易關系

不確定關系

§3.5力學量平均值隨時間的變化

守恒定律

§3.6中心力場問題—氫原子§3.7例題RETURN2§3.1表示力學量的算符一、力學量的算符表示

二、算符的基本性質

三、表示力學量的算符應是線性、厄米算符

RETURN3§3.1表示力學量的算符[引]量子力學量特點：任何狀態下，一般具有一系列可能值，每個可能值以一定的概率出現。經典力學量特點：任何狀態下，都有確定解。力學量如何表示

一、力學量的算符表示41.力學量的期望值與算符的關系

(1)坐標的期望值同理：粒子處于處的概率密度所以

量子態的平均值（力學量F在

態中的平均值）稱為期望值。5(2)勢能期望值(3)動量的期望值粒子動量概率密度粒子動量期望值x分量：（以一維情況為例）其中6所以7同理：推廣至三維情況由此得到計算期望值的一個新的數學工具

——算符

一般地，粒子的任何一個力學量A的期望值：8結論Ⅰ：量子力學中力學量的期望值〈A〉與相應的算符對應

92.力學量的可能值與算符的關系

一維無限深勢阱中運動粒子能量的可能值即為相應算符的本征值。

能量可能值10結論Ⅱ：力學量F的可能值與相應算符的本征值對應量子力學中力學量與力學量算符的這種對應關系稱之為：力學量算符表示力學量?；炯俣ǎ?/p>

如果力學量F的相應算為，則力學量F的可能值即為的本征值,當系統處于的本征態時,力學量F有確定值，亦即在Ψ態中的本征值。

113.量子力學中力學量算符的構成規則

[例]角動量角動量算符

如果量子力學中的力學量F在經典力學中有相應的力學量，則表示這個力學量的算符由經典表示式F(r,p)中將r,p換成相應的算符而構成。RETURN12二、算符的基本性質

2．基本性質

其中

為任意函數,則稱兩算符相等,即1．定義

算符是指作用在一個函數上得出另一個函數的運算符號（1）算符相等（2）單位算符如果兩算符滿足作用到任意函數

上,

不變13（3）算符之和滿足：加法交換律加法結合律（4）算符乘積一般,則稱二者不對易。

則稱兩算符對易。

若,

為任意函數,即兩算符與之和定義為兩算符與之積定義為14則稱兩算符反對易。若,

為任意函數,即（5）逆算符或如果兩算符滿足則稱兩者互為逆算符.記且有設能唯一的解出,則定義的逆算符為15（6）算符的轉置、復共軛及厄米共軛

量子系統任意兩波函數的標積：

性質:①算符的轉置算符

或16證明:17

[例題]

求動量的轉置算符。

所以

②算符的復共軛算符

把算符中的所有復量換成共軛復量。

如：動量的復共軛算符[解]18③厄米共軛算符或

因

,為任意函數,于是

（7）幺正算符：若或,則稱為么正算符。

19（8）算符的函數其中（9）線性算符滿足運算規則的算符稱為線性算符，c1，c2是任意常數。20（10）厄米算符

可以證明:若,即,則稱為厄米算符

[例]動量算符是線性算符

注：②期望值為實數的算符必為厄米算符。

①厄米算符的期望值都是實數。所以是實數。

21注：厄米算符的本征值必為實數。

設

因為

所以

則有

3．算符的本征值方程

則稱λ為的本征值，

為屬于λ的本征函數，上述方程稱為算符的本征值方程。如果算符作用于一個函數

，結果等于乘上一個常數λ乘上這個函數，即22

[例題]

證明動量算符是厄米算符。

[解]因為所以

或

[例題]

證明[解]所以

因為RETURN23三、表示力學量的算符應是線性、厄米算符

1．線性：態疊加原理的要求。

2．厄米性：因力學量的可能值為相應算符的本征值，且應為實數，而厄米算符的本征值定為實數。

結論：量子力學中表示力學量的算符應該為線性厄米算符。

RETURN24§3.2動量算符和角動量算符

一、動量算符

二、角動量算符

RETURN25§3.2動量算符和角動量算符

一、動量算符

本征值方程：

三個分量方程：

解之得26歸一化常數的確定：

動量的本征函數所以

RETURN27二、角動量算符

直角分量：

角動量平方算符：

28在球坐標系中：

29因為30所以3132角動量平方算符的本征函數和本征值

分離變量

代入上式，再乘以，得

由

33由周期性條件所以得由歸一化條：

得34令，

則化為連帶勒讓德方程

x=1是正則奇點，其余點均為常點,利用級數解法，

時，當得物理上允許的解：35所以,角動量動量平方算符的本征函數——球諧函數由歸一化條件：

角動量平方算符的本征值：

角動量z分量算符的本征函數和本征值：

36注：

⑴角動量平方、角動量z分量算符的本征值對應于的一個本征值：2L2)1(h，+ll有2l+1個不同的本征函數，稱為2l+1度簡并的，

l稱角量子數，m稱磁量子數。

⑵封閉性：

RETURN37§3.3厄米算符本征函數的正交性和完備性

一、正交性

二、完備性

三、力學量的可能測值

RETURN38§3.3厄米算符本征函數的正交性和完備性

一、正交性

1.定義：如果兩函數滿足

則稱兩函數相互正交。

2.定理：厄米算符的屬于不同本征值的兩個本征函數相互正交。

證明：設厄米算符的本征函數為

相應的本征值為

39對于不同本征值的本征函數，如

所以，兩函數正交。注：對于屬于的簡并的波函數，，一般相互間不一定正交，但可采用施密特正交化方法使其正交歸一化。403.正交歸一系

滿足條件：

函數系構成正交歸一系。

ljj或k例：（1）線性諧振子能量本征函數構成正交歸一系

)(2221xHeNnxnnaya-=或41（2）角動量z分量算符的本征函數構成正交歸一系

（3）角動量平方算符的本征函數構成正交歸一系

（4）一維無限深方勢阱（寬為a）的能量本征函數

構成正交歸一系

RETURN42二、完備性

1.定理

厄米算符F的本征函數

構成一完備的正交函數系，由該函數系為基矢所張開的空間稱為希爾伯特空間（函數空間）。體系的任何一個狀態

可以

為基展開為級數，即

（F具有分立譜）

（F具有連續譜）

或

其中其中432.本征函數完備性條件——封閉性關系

分立譜：

上式中

其中44連續譜：

封閉性關系：

既有分立譜又有連續譜：

封閉性關系：

其中45（1）

歸一化條件

（2）任一力學量平均值

注：物理意義：表示任意

態中,系統處于（本征值為）的概率。

2nCnjnl的物理意義

RETURN46三、力學量的可能測值

態下,多次測量力學量的平均值趨于一個確定值，而每次測量的結果，圍繞平均值有一個漲落,

若體系處于一種特殊狀態，使得測量力學量所得的結果是完全確定的，即漲落為零

對于特殊狀態顯然有

為常數。

47記基本假定：測量力學量時，所有可能出現的值都是相應的線性厄米算符的本征值。

48[解]根據

把

按動量本征函數展開

其中因為，[例題]

已知氫原子處于基態，求其電子動量的概率分布。

49所以，動量幾率分布密度：

RETURN50§3.4算符間的對易關系

不確定關系

一、算符間的對易關系

二、對易關系的物理意義

三、非對易關系的物理意義——不確定關系

RETURN51§3.4算符間的對易關系

不確定關系

一、算符間的對易關系

1.基本對易式

因為所以52同理：

2.角動量算符的對易式

同理：

53角動量算符定義：

——

Levi-Civita符號

同理可證：

即其中54[例題]

證明因

是任意的函數，所以[解]取任意函數

，由于55[解][例題]

證明。

，因為所以又因同理同理RETURN56二、對易關系的物理意義

證明：設，定理：如果兩個算符和有一組共同的本征函數，而且組成完備系，則算符和對易。

F^nfG^F^G^因為即有一般情況：設任意波函數態為

，因組成完備系，所以nf57即有設，則因為所以證明：（1）非簡并

2.

定理：如果兩個算符、對易，則這兩個算符有共同的本征函數，這些本征函數組成完備系。F^G^即

也是本征值為的本征函數

58又因是無簡并的，所以：nfny與

描寫同一個狀態，二者只差一個常數。

nGy^nnngGyy=^則

故：

也是的本征函數

G^ny是和的共同本征函數

nyF^G^（2）簡并時ns設的本征值有簡并，簡并度為

F^nf也是屬于的本征函數

nG

^F^nf因為所以59因有簡并

nG

^故與所描寫量子態不一定相同。

n

G^即：的本征函數不一定是的本征函數。

F^n

令

F^設：，共同的本征函數為

G^nynf顯然，是F的本征函數,本征值為。nyG^ny為使也是的本征函數，令g

是的本征值。G^其中

60（線性齊次方程組）

由

同乘，積分*jnj分別將代入前式可得對應于每個的一組解

jgjg①若無重根：可解出個jgnsija61所以相應的波函數

滿足

所以:jgG^可按的個本征值來分類ns一組

確定的本征函數，度簡并解除。

),(jngfjn

nsF^即:是、的共同本征函數,本征值分別為。

nyG^62與、對易的力學量，才能確定體系的狀態。F^G^②若有重根：則還需再找出0)^det(=-jijigGd對易關系的物理意義：

若兩算符對易，則兩算符存在共同的本征函數。在其共同本征函數所描寫的態中，兩算符表示的力學量同時有確定的值。

因為的本征函數構成完全系，所以、的共同本征函數也組成完全系。

F^G^nyF^63如：①動量滿足，有共同的本征函數。

相應的本征值為：

②氫原子的滿足：

64共同本征函數

3.力學量完全集

要完全確定系統所處的狀態，需要一組相互對易的力學量（通常通過它們的本征值），這一組完全確定體系狀態的力學量稱之為力學量的完全集。

其中在態下，能量、角動量平方、角動量z分量同時具有確定值。

nlmy65如：本征值有簡并：

2L)，,(jqlmY)1(2ll+h確定的，有2l+1個

要完全確定狀態，需確定m

,當l、m),(jqlmY同時確定時，狀態才能唯一確定。而m

與力學量相對應。即需另找一個與對易的力學量，才能完全確定狀態。

zL^2L)^,^(

2zLLr構成一組力學量完全集。

一般情況，力學量完全集所包含的力學量個數等于體系的自由度。例:①三維空間中自由粒子的自由度是3,完全確定它的狀態需三個力學量。②氫原子中電子自由度是3,完全確定它的狀態需3個相互對易的力學量.

RETURN66三、非對易關系的物理意義——不確定關系

下面討論一般情況：

設任意兩力學量，相應的算符且滿足

相應的漲落

考慮積分：

問題：若系統處于F的本征態，測力學量F時，F有確定值，亦即漲落，如同時測量另一力學量G，則

67由不等式成立條件：

因為又所以68不確定關系：

故有或如：①坐標與動量的測不準關系：

②能量與時間的測不準關系：

69注：

不確定關系是物質粒子波粒二像性矛盾的反映，標志著經典粒子及力學量的概念對于微觀粒子的適用程度。由于普朗克常量非常小，在一般的宏觀現象中，不妨引用軌道的概念，但在處理微觀世界中的現象時，必須用不確定關系。

70[例題]用不確定關系計算線性諧振子的基態零點能量。

[解]由于諧振子平均能量為

由于故由于71令有

所以故因此72[例題]利用不確定關系估計氫原子的基態能量。

[解]

由氫原子的能量公式平均能量因73所以令有故：當時，22sermh=D氫原子的最?。ɑ鶓B）能量RETURN74§3.5力學量期望值隨時間的變化

守恒定律

一、力學量的期望值隨時間的變化

二、守恒量與對稱性的關系

RETURN75§3.5力學量期望值隨時間的變化

守恒定律

一、力學量的期望值隨時間的變化

量子力學中，處于一定狀態下的體系，在每一時刻，不是所有的力學量都具有確定的值，而只是具有確定的期望值及概率分布。

力學量F的期望值力學量F的期望值隨時間的變化率

76注意到則有即77力學量期望值隨時間的變化率守恒量的特點：

①力學量期望值不隨時間變化，。

0=dtFd②力學量的可能測量值的概率分布不隨時間變化。注：若不顯含t,且

,則稱為體系的守恒量。

0],[=HF^^F^F^78如：（i）自由粒子動量動量守恒

（ii）粒子在中心力場中運動的角動量

同理由于故由于故79所以

角動量守恒定律

（iii）哈密頓不顯含時間的體系的能量

能量守恒

由于RETURN80二、守恒量與對稱性的關系

設線性變換Q

（存在逆變換，不依賴于時間）

1-Q若與滿足同樣形式的運動方程，即

y

y稱體系具有Q變換不變性。

設體系狀態為

,滿足

y81左乘

1-Q則

即或

考慮到概率守恒

變換Q應為幺正變換。

即體系在Q變換下具有不變性,則要求。

0],[=HQ^因為82對于有限變換，可通過無窮小的變換來實現。

令

（，e是描述無窮小變換的參量），因為+

0e為厄米算符，稱為變換Q的無窮小變換算符。

F^則有就是體系的一個守恒量，是與變換Q相聯系的可觀測量。

F^831.空間平移不變性

設體系具有平移不變性，

其中平移變換：

顯然即具有空間平移不變性的體系動量守恒。

故842.空間旋轉不變性

設體系具有空間旋轉不變性

其中轉動變換：具有空間旋轉不變性的體系角動量守恒。

顯然RETURN85§3.6中心力場問題——氫原子一、中心力場中的薛定諤方程二、氫原子（類氫離子）

RETURN86§3.6中心力場問題——氫原子一、中心力場中的薛定諤方程設粒子質量為m,中心力場

定態薛定諤方程：

在球坐標系中

令

87代入薛定諤方程，兩端除以,得

222rm-hR(r)Y(q,j)即由

解得88徑向方程：

令

,則徑向方程為

徑向函數滿足：零點條件

給定中心力場U(r)的具體形式，則可求得徑向函數及波函數和中心力場問題的能級E。

RETURN89二、氫原子（類氫離子）

氫原子（類氫離子）中電子處于庫侖勢場中運動，庫侖勢場為中心力場。

電子運動滿足的徑向方程

設E<0（束縛態），令

則原方程化簡為

90另當ρ→0時，方程化為歐拉方程，考察方程的漸近行為：當ρ→∞時，方程變為注意到波函數的有限性,方程的解取為其解可取為代入歐拉方程可得,取,則可設徑向方程的一般解為91代入徑向方程,可知f(ρ)滿足合流超幾何方程該方程的解為合流超幾何函數由于當ρ→∞時:f(ρ)→∞,u(ρ)→∞,則須使合流超幾何函數中斷為合流超幾何多項式，才能使其滿足物理上的要求。令其中斷項數為即n稱為主量子數。所以92故，能量本征值注意到其中是氫原子第一玻爾半徑。徑向函數93由歸一化條件得歸一化常數能量本征函數

能量本征值氫原子：Z=1

94討論：

1.氫原子（Z=1）

能量本征函數

能量本征值基態：n=1電離態：n=∞電離能：

2.氫原子光譜

EiEf●

95126

534萊曼系（紫外區）巴耳末系(可見區)帕邢系（紅外區）布拉開系（紅外區）氫原子能級圖－13.6eV－3.39eV－1.81eV－0.85eVEnl主量子數

n由能級算出的光譜線頻率和實驗結果完全一致96紅藍紫656.28nm434.0.5nm486.13nm氫原子的可見光光譜：

埃格斯特朗

（A.J.Angstrom）

瑞典

1853年測得氫可見光光譜的紅線,波長的單位埃?(1?=10nm)由此得來。973.電子的徑向概率分布

電子出現在（r～r+dr）的球殼層內的概率rdr基態：

n=1,l=0

——

玻爾半徑w100198激發態：w21w2004w32w31w300