人教B版

數學

必修第一冊第二章等式與不等式習題課——不等式課標定位素養闡釋1.掌握不等式的性質,并能應用性質證明一些簡單問題.2.掌握證明不等式的常用方法:作差法、分析法、綜合法和反證法.3.會解一元二次不等式.4.能靈活運用均值不等式求最值.5.提升邏輯推理和數學運算素養.自主預習新知導學一、不等式的性質1.(1)a>b,c>0?ac>bc;(2)a>b,c<0?ac<bc;(3)a>b,b>c?a>c;(4)a>b,c>d?a+c>b+d;(5)a>b>0,c>d>0?ac>bd;(6)a>b>0?an>bn(n∈N,n>1);2.(1)下列命題是真命題的是(

)A.若,則a<bB.若a>b,則a3>b3C.若a>b,b≥c,則a≥cD.若a≥b,c≥d,則ac≥bd答案:B(2)已知a<b<0,c>d>0,求證:ac<bd.證明:∵a<b<0,∴-a>-b>0.又c>d>0,∴-ac>-bd,∴ac<bd.二、一元二次不等式1.(1)如果x1<x2,則不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是(x1,x2),不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞).(2)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通過配方總是可以變為(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式,然后根據k的正負等知識可得到原不等式的解集.2.解下列不等式:(1)(3-x)(x+6)≥0;(2)x2-4x+3≤0.解:(1)原不等式等價于(x-3)(x+6)≤0,解得-6≤x≤3,故原不等式的解集為[-6,3].(2)∵x2-4x+3≤0,∴(x-2)2≤1,∴-1≤x-2≤1,即1≤x≤3.故原不等式的解集為[1,3].三、均值不等式1.(1)如果a,b都是正數,那么,當且僅當a=b時,等號成立.(2)a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時,等號成立.2.(1)已知t>0,求

的最小值.(2)已知x,y都是正實數,且x+2y-xy=0,求x+2y的最小值.令x+2y=t,則t2≥8t,∴t≤0或t≥8.∵t=x+2y>0,∴t≥8,即x+2y的最小值為8.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)對任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2均成立.(

)(2)不等式x2≤0的解集為?.(

)(3)若-6<a<8,-4<b<2,則-2<a-b<6.(

)(4)若a<b,c>d,則a-c<b-d.(

)×××√合作探究釋疑解惑探究一證明不等式【例1】

已知a>0,a2-2ab+c2=0,bc>a2,求證:b>c>a.分析:已知條件中含有等式和不等式,可考慮從等式出發,找出未知數間的等量關系,再代入不等式證明.證法一：由a2-2ab+c2=0,a>0,得b=,a2+c2=2ab.∵a>0,∴b>0.又bc>a2>0,∴c>0.∵(a-c)2≥0,即a2+c2-2ac≥0,∴2ab-2ac≥0,即2a(b-c)≥0,∴b-c≥0.若b-c=0,即b=c,則由a2-2ab+c2=0,得a=b=c,∴bc=a2.這與bc>a2矛盾,∴b-c>0,即b>c.∴(a-c)(2a2+ac+c2)<0.∵a>0,b>0,c>0,∴a-c<0,即a<c.∴b>c>a.證法二：由a2+c2=2ab>0,a>0,得b>0.由b>0,bc>a2,得c>0.∵2ab=a2+c2≥2ac,當且僅當a=c時,等號成立.∴b≥c.若b=c,則a=b=c,∴bc=a2,這與bc>a2矛盾.∴b>c.由b>c,bc>a2,得b2>bc>a2,∴b>a.又a2+c2=2ab>2a2,∴c2>a2,∴c>a.綜上可知b>c>a.不等式的性質和均值不等式是進行不等關系推理運算的理論基礎和工具,應注意準確應用,保證每一步的推理都有根據.證明時可靈活運用不等式證明的各種方法,如作差法、分析法、綜合法、反證法等.【變式訓練1】

已知x,y,z都是正實數,且滿足條件xyz(x+y+z)=1,求證:(x+y)(y+z)≥2.證明:∵x,y,z都是正實數,xyz(x+y+z)=1,探究二一元二次不等式恒成立問題【例2】

已知關于x的不等式x2+(a+1)x+1>0,x∈(0,2)恒成立,求實數a的取值范圍.將本例變為關于a的不等式x2+(a+1)x+1>0,a∈(0,2)恒成立,求x的取值范圍.一元二次不等式恒成立問題可轉化為函數最值問題求解或根據相應函數圖象特點求解.【變式訓練2】

若關于x的不等式ax2+(a-1)x+a-1<0對x∈R恒成立,則a的取值范圍為

.

解析:當a>0時,二次函數y=ax2+(a-1)x+a-1的圖象開口向上,不合題意;當a=0時,不等式化為x+1>0,也不合題意.易錯辨析

忽略等號成立的一致性致錯

答案:D以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:上述在求解過程中使用了兩次均值不等式:但這兩次取等號的條件分別需滿足x=2y與x=y,所以取不到等號.答案:B隨堂練習1.下列條件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使不等式≥2成立的個數是(

)A.3 B.2 C.1 D.0答案:AA.1 B.2 C.3 D.4答案:D答案:AC4.若關于x的不等式x2-ax+a>0恒成立,則實數a的取值范圍是

.

解析:由題意,得(-a)2-4a<0,即a2-4a<0,解得0<a<4.答案:(0,4)5.已知三個不等式:①ab>0,②

,③bc>ad,用其中兩個作為條件,剩下的一個作為結論,則可組成

個真命題.

答案:36.某單位決定投資3200元建一倉庫(長方體狀),高度恒定,它的后墻利用舊墻不花錢,正面用鐵柵,每米造價為40元,兩側墻砌磚,每米造價為45元,頂部每平方米造價為20元,求倉庫占地面積S的最大允許值是多少?為使S達到最