人教B版

數學

必修第二冊復習課第3課時平面向量初步知識梳理構建體系知識網絡要點梳理1.平行向量與相等向量是如何定義的?提示:大小相等且方向相同的向量稱為相等向量;如果兩個非零向量的方向相同或相反,則稱這兩個向量平行.2.共線向量基本定理是什么?提示:如果a≠0且b∥a,則存在唯一的實數λ,使得b=λa.3.向量的線性運算有哪些?請完成下表.向量的線性運算:向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律:a+b=b+a;(2)結合律:(a+b)+c=a+(b+c)向量運算定義法則(或幾何意義)運算律減法滿足b+x=a的x稱為a與b的差三角形法則

數乘實數λ與向量a的積(1)|λa|=|λ||a|;(2)當λ>0時,λa與a同向

;當λ<0時,λa與a反向

;當λ=0時,λa=0(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb4.什么是平面向量基本定理?提示:如果平面內兩個向量a與b不共線,則對該平面內任意一個向量c,存在唯一的實數對(x,y),使得c=xa+yb.5.向量的坐標運算有哪些?請完成下表.a=(x1,y1),b=(x2,y2)加減ma±nb=(mx1±nx2,my1±ny2)數乘λa=(λx1,λy1)平行a∥b?x1y2=x2y1模|a|=【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)任何向量都有方向.(

)(2)若a∥b,則a與b的方向相反或相同.(

)(3)向量的加法和減法都可以應用三角形法則進行.(

)(4)兩個向量相等的充要條件是它們的坐標相等.(

)(5)任何一個坐標(x,y)都對應著唯一一個向量.(

)(6)一個平面上的基底是唯一的.(

)√×√√××專題歸納核心突破專題一平面向量的線性運算【例1】

如圖,在△ABC中,點M是邊AB的中點,E是中線CM的中點,AE的延長線交BC于F,MH∥AF交BC于H.求證:.分析:選擇兩個不共線向量作基底,然后用基底向量表示

,從而使問題得證.向量線性運算的結果是一個向量,因此對它們的運算法則、運算律的理解和運用要注意兩個方面,一是大小,二是方向.共線向量基本定理和平面向量基本定理是進行向量合成與分解的核心,是向量線性運算的關鍵,常應用它們解決平面幾何中的共線問題和線共點問題.與平面向量的線性運算有關的常見題型有證明三點共線、兩線段平行、線段相等、求點或向量的坐標.反思感悟專題二向量的坐標運算分析:(1)先求點B,D的坐標,再求點M的坐標;(2)由向量相等轉化為y與λ的方程求解.向量的坐標表示實際上是向量的代數表示.引入向量的坐標,使向量的運算轉化為代數運算,實現了數形的統一,向量的坐標運算是將幾何問題代數化的有力工具.反思感悟【變式訓練2】

在△ABC中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),G為△ABC的重心,求點G的坐標.解:設D為BC的中點,E為AC的中點,AD與BE相交于點G,則G即為△ABC的重心.由平面知識可得AG∶GD=2∶1,專題三向量的應用【例3】

如圖,在正方形ABCD中,P為對角線BD上的一點,四邊形PECF是矩形,用向量法證明PA=EF.分析:本題所給圖形為正方形,故可考慮建立平面直角坐標系,用向量坐標法來解決,為此只要寫出

的坐標,證明其模相等即可.證明:

建立平面直角坐標系如圖所示,設正方形ABCD的邊長為a,則A(0,a).反思感悟1.向量在平面幾何中的應用,向量的加減運算遵循平行四邊形法則或三角形法則,數乘運算和線段平行之間聯系密切,因此用向量方法可以解決平面幾何中的相關問題.2.向量在物理中的應用,主要解決力、速度等問題.【變式訓練3】

已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,過點C作CE⊥AB于E,M為CE的中點,用向量的方法證明:D,M,B三點共線.證明:

如圖所示,以E為原點,AB所在直線為x軸,EC所在直線為y軸建立平面直角坐標系,∵CE⊥AB,而AD=DC,∴四邊形AECD為正方形.∴E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1).連接MB,MD.高考體驗考點一

向量的線性運算1.(2018·全國Ⅰ高考)在△ABC中,AD為邊BC上的中線,E為AD的中點,則答案:A解析:如圖.答案:A3.(2019·全國Ⅱ高考)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|=(

)答案:A答案:CD考點二

平面向量基本定理及坐標運算5.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),則λ=

.

解析:2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c