復變函數與實變函數的相同與不同聯系與區別-數學物理方法_第1頁
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復變函數與實變函數之比較——北方工大第1頁目錄1、復變函數與實變函數特點比較2、復變函數與實變函數聯絡與區分第2頁1、復變函數與實變函數特點比較

1.1、相同點1.2、不一樣點第3頁一、復變函數與實變函數特點比較實變函數：以實數作為自變量函數叫實變函數，它是微積分學深入發展，基礎是點集論（點集論是專門研究點所成集合性質理論）。當然它與古典數學也有差異。復變函數：主要研究定義域為復數函數微積分以及冪級數展開等性質。第4頁1.1、相同點首先，復變函數和實變函數研究主體都是函數；其次，復變函數和實變函數研究根本都是：變量、函數、極限、導數、級數、積分；第三，對復變函數和實變函數研究所采取方法基本相同，或最少是沒有顯著差異。基本方法都是傳統數學方法。第5頁1.2不一樣點二者定義域不一樣，即所建立空間不一樣；

復函研究是黎曼積分從數學分析實空間擴展到復空間上，而實函是另一套積分理論--勒貝格積分；

所建立思維不一樣、研究方法不一樣；第6頁1.2不一樣點研究范圍不一樣：實變函數論內容包含實值函數連續性質、微分理論、積分理論和測度論；而復變函數三大分支是分析（柯西積分理論）、幾何（黎曼面理論）、代數（魏爾斯特拉斯級數理論）；一些初等函數值域、周期性、算法（尤其積分）有很大區分；第7頁2、復變函數實變函數聯絡與區分

2.1、聯絡2.2、區分第8頁2.1、聯絡從數學專業來看，本科階段分析學課程群（與極限理論相關數學課程類）包含數學分析、實變函數、復變函數、泛函分析和拓撲學等關鍵課程。如此來看，復變函數只是實變函數在微積分領域推廣與發展，又稱復分析。第9頁2.1、聯絡實變函數有序組合能夠這么表示復函：顯然，一個復變函數是兩個許多定義、公式、定理可直接移植到復變函數中。舉例（文件），以二元實函為例，從連續性、可導性、可微性、解析性方面說明了二者之間聯絡；以Green公式說明二者緊密相聯；以復變函數、實變函數定理巧妙處理相互之間問題說明二者聯絡。第10頁2.2、區分重大差異：微分中值定理、解析函數無窮可微性（對于單連通區域D內解析函數來說，含有沒有窮可微性，但對一元實函數而言，這一點是難以保障）和零點孤立性。其它方面還有以下幾點1解析函數值與值之間有緊密聯絡：柯西積分定理是解析函數積分理論基礎，其實質就是一個在區域內解析函數是能夠用一個積分來表示，也就是解析函數在區域內任意處值總能夠用其在邊界上積分來表示；第11頁2.2、區分2函數連續但不可導在分析中找一個處處連續而一點不可導例子是很困難，而在復變函數中這么例子很多；3關于對數：在實數范圍內，負數不能取對數，而在復數范圍內，任一個非零復數都有沒有窮多個對數，負數只是沒有實對數；4關于ROLL定理：一元實函數中ROLL定理不能直接推廣到復數域中來；第12頁2.2、區分5關于積分中值定理：一元實函數中積分中值定理不能直接推廣到復數域中來；6關于最大(小)值：f(x)在閉區間上連續必可取得最大(小)值，而最值能夠在區間內部也能夠在區間端點處取得，復變函數

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