2024屆北京師范大朝陽附屬中學中考數學模試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.完全相同的6個小矩形如圖所示放置，形成了一個長、寬分別為n、m的大矩形，則圖中陰影部分的周長是（）

廠n

A.6(m-n)B.3(m+n)C.4nD.4m

2.如圖，A4BC中，AD是中線，BC=8,ZB=ZDACt則線段AC的長為（）

A.473B.472C.6

3.如圖，一把帶有60“角的三角尺放在兩條平行線間，已知量得平行線間的距離為12cm,三角尺最短邊和平行線成

45。角，則三角尺斜邊的長度為（）

A.12cmB.12立cmC.24cmD.24夜cm

4.如圖，三棱柱ABC?AiBiG的側棱長和底面邊長均為2,且側棱AAi_L底面ABC,其正（主）視圖是邊長為2的

正方形，則此三棱柱側（左）視圖的面積為（）

D.4

5.如圖，矩形紙片45co中，AB=4,BC=6,將二ABC沿AC折疊，使點4落在點￡處，CE交AD于息F,

則0b的長等于（)

575

C.-D.-

5334

6.計算3-（-9）的結果是（)

B.-12C.6

7.某班要推選學生參加學校的“詩詞達人”比賽，有7名學生報名參加班級選拔賽，他們的選拔賽成績各不相同，現取

其中前3名參加學校比賽.小紅要判斷自己能否參加學校比賽，在知道自己成績的情況下，還需要知道這7名學生成

績的（）

A.眾數B.中位數C.平均數D.方差

8.在一些美術字中，有的漢字是軸對稱圖形.下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（）

A.中B.國C.文D,化

9.如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4

米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，那么小巷的寬度為（）

A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米

10.一元二次方程f-2工=0的根是()

A.Xj=0,x2=-2B.X]=1,x?=2

==

C.X]1?X2-2D.X]=0,x2=2

11.如座，圓弧形拱橋的跨徑A4=12米，拱高C力=4米，則拱橋的半徑為（）米

IlliI

ADR

A.6.5B.9C.13D.15

12.已知OO的半徑為5,且圓心O到直線1的距離是方程x2.4x?12=0的一個根，則直線I與圓的位置關系是（）

A.相交B.相切C.相離D.無法確定

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.如圖，點A、B、C在圓O上，弦AC與半徑OB互相平分，那么NAOC度數為___度.

14.己知扇形的圓心角為120“，弧長為則扇形的面積是____.

15.如圖，甲和乙同時從學校放學，兩人以各自送度勻速步行回家，甲的家在學校的正西方向，乙的家在學校的正東

方向，乙家離學校的距離比甲家離學校的距離遠3900米，甲準備一叵家就開始做什業，打開書包時發現錯拿了乙的練

習冊.于是立即步去追乙，終于在途中追上了乙并交還了練習冊，然后再以先前的速度步行回家，（甲在家中耽擱和交

,還作業的時間忽略不計）結果甲比乙晚回到家中，如圖是兩人之間的距離y米與他們從學校出發的時間x分鐘的函數

關系圖，則甲的家和乙的家相距米.

16.一個不透明的袋子中裝有5個球，其中3個紅球、2個黑球，這些球除顏色外無其它差別，現從袋子中隨機摸出

一個球，則它是黑球的概率是____.

17.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,點P、Q分別在邊」BC、AC±,PQ〃AB,把△PCQ繞點P

旋轉得到4PDE（點C、Q分別與點D、E對應），點D落在線段PQ上，若AD平分NBAC,則CP的長為

A

18.2的平方根是.

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.(6分)如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A(-2,1),B(-1,4),C(-3,2)畫

出AABC關于點B成中心對稱的圖形△A】BG；以原點O為位似中心，位似比為1：2,在y軸的左側畫出△ABC放

大后的圖形△A2B2c2,并直接寫出C2的坐標.

-1。1

20.(6分)如圖，平面直角坐標系中，直線AB：-〃交y軸于點A(0,1),交x軸于點B.直線x=l交AB

于點D,交x軸于點E,P是直線x=l上一動點，且在點D的上方，設P(Ln).求直線AB的解析式和點B的坐標;

求△ABP的面積(用含n的代數式表示)；當SAABP=2時，以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC,求出點C的

坐標.

21.(6分)某校九年級數學測試后，為了解學生學習情況，隨機抽取了九年級部分學生的數學成績進行統計，得到相

關的統計圖表如下.

成績/分120-111110-101100-9190以下

成績等級ABCD

請根據以上信息解答下列問題;

（1）這次統計共抽取了名學生的數學成績，補全頻數分布直方圖；

（2）若該校九年級有1000名學生，請據此估計該校九年級此次數學成績在B等級以上（含B等級）的學生有多少人?

（3）根據學習中存在的問題，通過一段時間的針對性復習與訓練，若A等級學生數可提高40%,B等級學生數可提

高10%,請估計經過訓練后九年級數學成績在B等級以上（含B等級）的學生可達多少人？

22.（8分）現有兩個紙箱，每個紙箱內各裝有4個材質、大小都相同的乒乓球，其中一個紙箱內4個小球上分別寫有1、

2、3、4這4個數，另一個紙箱內4個小球上分別寫有5、6、7、8這4個數，甲、乙兩人商定了一個游戲，規則是:

從這兩個紙箱中各隨機摸出一個小球.然后把兩個小球上的數字相乘,若得到的積是2的倍數，則甲得1分，若得到

積是3的倍數，則乙得2分.完成一次游戲后，將球分別放回各自的紙箱，搖勻后進行下一次游戲，最后得分高者勝出

⑴請你通過列表（或樹狀圖）分別計算乘積是2的倍數和3的倍數的概率；

⑵你認為這個游戲公平嗎?為什么?若你認為不公平，請你修改得分規則，使游戲對雙方公平.

23.（8分）如圖，某人在山坡坡腳A處測得電視塔尖點C的仰角為6。。，沿山坡向上走到P處再測得點C的仰角為

45。，已知OA=100米，山坡坡度（豎直高度與水平寬度的比）i=l：2,且O、A、B在同一條直線上.求電視塔OC的

高度以及此人所在位置點P的鉛直高度.（測傾器高度忽略不計，結果保留根號形式）

24.（10分）已知：如圖，AB=ADtAC=AE,求證：BC=DE.

25.（10分）圖中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，每個小正方形的頂點叫格點，AABC的頂點均在

格點上

（1）畫出將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉90。后所得到的△AiBCi；

（2）畫出將△ABC向右平移6個單位后得到的4A2B2C2;

（3）在（D中，求在旋轉過程中△ABC掃過的面積.

26.（12分）如圖，在一個平臺遠處有一座古塔，小明在平臺底部的點C處測得古塔頂部8的仰角為60。，在平臺上

的點E處測得古塔頂部的仰角為30。.已知平臺的縱截面為矩形OCFE,DE=2米，OC=20米，求古塔的高（結

果保留根號）

DCA

27.（12分）（1）計算：（-2018）°+>/8-9x

x—1>2（x—3）,

（2）解不等式組：6x-l.

------>2x.

2

參考答案

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1、D

【解析】

解：設小長方形的寬為處長為心則有〃=月?3q，

陰影部分的周長：

2(m-b)+2(in-3a)+2fi=2in-2b+2m-6a+2ii=4m-2(n-3a)-6a+2n=4ni-2ii+6a-6a+2ii=4m.

故選D.

2、B

【解析】

由已知條件可得一ABC?二D4C,可得出可求出AC的長.

DCAC

【詳解】

解：由題意得：ZB=ZDAC,八3=ZACD,所以.ABC?jDAC,根據“相似三角形對應邊成比例”，得坐二空,

DCAC

又AD是中線，BC=8,得DC=4,代入可得AC=4\/^,

故選B.

【點睛】

本題主要考查相似三角形的判定與性質.靈活運用相似的性質可得出解答.

3、D

【解析】

過A作AD_LBF于D,根據45。角的三角函數值可求出AB的長度，根據含30。角的直角三角形的性質求出斜邊AC的

長即可.

【詳解】

如圖，過A作AD_LBF于D,

VZABD=45°,AD=12,

??AB=")=12y/2，

sin45z

又TRSABC中，ZC=30°,

?.AC=2AB=24V2，

故選：D.

【點睛】

本題考查解直角三角形，在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，熟記特殊角三角函數值是解題關鍵.

4、B

【解析】

分析：易得等邊三角形的高，那么左視圖的面積=等邊三角形的高x側棱長，把相關數值代入即可求解.

詳解：???三棱柱的底面為等邊三角形，邊長為2,作出等邊三角形的高CD后，

???等邊三角形的高=百,.??側(左)視圖的面積為2xJJ=26，

故選B.

點睛：本題主要考查的是由三視圖判斷幾何體.解決本題的關鍵是得到求左視圖的面積的等量關系，難點是得到側面

積的寬度.

5、B

【解析】

由折疊的性質得到AE=AB,NE=NB=90。，易證RtAAEF^RtACDF,即可得至lj結論EF=DF；易得FC=FA,設FA=x,

則FC=x,FD=6-x,在RtACDF中利用勾股定理得到關于x的方程x2=4?+(6-x)2,解方程求出x即可.

【詳解】

??,矩形ABCD沿對角線AC對折，使乙ABC落在△ACE的位置，

AAE=AB,ZE=ZB=9()0,

又丁四邊形ABCD為矩形，

/.AB=CD,

/.AE=DC,

WZAFE=ZDFC,

???在△AEFCDF中，

NAFE=NCFD

</E=ND,

AE=CD

.,.△AEF^ACDF(AAS),

AEF=DF；

???四邊形ABCD為矩形，

AAD=BC=6,CD=AB=4,

VRtAAEF^RtACDF,

/.FC=FA,

設FA=x,則FC=x,FD=6-x,

在RtACDF中，CF^CD^+DP,即M=42+(6-x):解得x=，,

3

5

則nlFD=6-x=-.

3

故選B.

【點睛】

考查了折登的性質：折疊前后兩圖形全等，即對應角相等，對應邊相等.也考查了矩形的性質和三角形全等的判定與

性質以及勾股定理.

6、A

【解析】

根據有理數的減法，即可解答.

【詳解】

3-(-9)=3+9=12,

故選A.

【點睛】

本題考查了有理數的減法，解決本題的關鍵是熟記減去一個數等于加上這個數的相

反數.

7、B

【解析】

由于總共有7個人，且他們的成績互不相同，第4的成績是中位數，要判斷自己能否參加學校比賽，只需知道中位數

即可.

【詳解】

由于總共有7個人，且他們的成績互不相同，第4的成績是中位數，要判斷自己能否參加學校比賽，故應知道中位數

是多少.

故選B.

【點睛】

本題考查了統計的有關知識，掌握平均數、中位數、眾數、方差的意義是解題的關鍵.

8、A

【解析】

根據軸對稱圖形的概念判斷即可.

【詳解】

A、是軸對稱圖形；

B、不是軸對稱圖形；

C、不是軸對稱圖形；

D、不是軸對稱圖形.

故選：A.

【點睛】

本題考查的是軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

9、C

【解析】

在直角三角形中利用勾股定理計算出直角邊，即可求出小巷寬度.

【詳解】

在RtAA'BD中，VZAfDB=90°,A'D=2米，BD2+ArD2=ArB,2,/.BD2+22=6.25,/.BD2=2.25,VBD>0,ABD=1.5

米，???CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.故選C.

c3D

【點睛】

本題考查勾股定理的運用，利用梯子長度不變找到斜邊是關鍵.

10、D

【解析】

試題分析：此題考察一元二次方程的解法，觀察發現可以采用提公因式法來解答此題.原方程可化為：>=0,

因此Y=0或工一2=0,所以工=0：三=2.故選D.

考點：一元二次方程的解法——因式分解法——提公因式法.

11>A

【解析】

試題分析：根據垂徑定理的推論，知此圓的圓心在CD所在的直線上，設圓心是O.連接OA.根據垂徑定理和勾股

定理求解.得AD=6設圓的半徑是r,根據勾股定理，得產=36+(r-4)2,解得口6.5

考點；垂徑定理的應用.

12、C

【解析】

首先求出方程的根，再利用半徑長度，由點O到直線a的距離為d,若dvr,則直線與圓相交;若d=i?，則直線與圓相切;若d>r,

則直線與與圓相離.

【詳解】

Vx2-4x-12=0,

(x+2)(x-6)=0,

解得:xi=-2(不合題意舍去)，X2=6,

丁點O到直線1距離是方程X2-4X-12=0的一個根，即為6,

???點O到直線1的距離d=6,r=5,

Ad>r,

???直線1與圓相離.

故選：C

【點睛】

本題考核知識點：直線與圓的位置關系.解題關鍵點：理解直線與圓的位置關系的判定方法.

二、填空題：(本大題共6個小題，每小題4分，共24分.)

13、1.

【解析】

首先根據垂徑定理得到OA=AB,結合等邊三角形的性質即可求出NAOC的度數.

【詳解】

解：?弦AC與半徑OB互相平分，

AOA=AB,

VOA=OC,

/.△OAB是等邊三角形，

.\ZAOB=60°,

AZAOC=1°,

故答案為1.

【點睛】

本題主要考查了垂徑定理的知識，解題的關鍵是證明AOAB是等邊三角形，此題難度不大.

14、277r

【解析】

1207rIxQ~

試題分析：設扇形的半徑為r.則:一二6",解得k9,???扇形的面積=上二-=27兀故答案為27九

180360

考點：扇形面積的計算.

15、5200

【解析】

設甲到學校的距離為x米，則乙到學校的距離為(3900+x),甲的速度為4y(米/分鐘)，則乙的速度為3y(米/分鐘)，依題意

得：

70x3j=x+3900

4yx20=/

所以甲到學校距離為2400米，乙到學校距離為6300米，

所以甲的家和乙的家相距8700米.

故答案是：8700.

【點睛】本題考查一次函數的應用，二元一次方程組的應用等知識，解題的關鍵是讀懂圖象信息.

16、2

5

【解析】

用黑球的個數除以總球的個數即可得出黑球的概率.

【詳解】

解：???袋子中共有5個球，有2個黑球，

，從袋子中隨機摸出一個球，它是黑球的概率為|;

2

故答案為

【點睛】

本題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事

件A的概率P(A)=—.

n

17、1

【解析】

連接AD,根據PQ〃AB可知NADQ=NDAB,再由點D在NBAC的平分線上，得出NDAQ=NDAB,故NADQ=NDAQ,

AQ=DQ.在R3CPQ中根據勾股定理可知，AQ=ll-4x,故可得出x的值，進而得出結論.

【詳解】

連接AD,

VPQ/7AB,

/.ZADQ=ZDAB,

??,點D在NBAC的平分線上，

AZDAQ=ZDAB,

AZADQ=ZDAQ,

/.AQ=DQ,

在RtAABC中，VAB=5,BC=3,

/.AC=4,

???PQ〃AB,

/.△CPQ^ACBA,

ACP：CQ=BC：AC=3：4,設PC=3x,CQ=4x,

在RtACPQ中，PQ=5x,

VPD=PC=3x,

，DQ=lx,

VAQ=4-4x,

A”2

:.4-4x=lx,解得x=—,

3

/.CP=3x=l；

故答案為：1.

【點睛】

本題考查平行線的性質、旋轉變換、等腰三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是

學會利用參數解決問題，屬于中考常考題型.

18、±72

【解析】

直接根據平方根的定義求解即可(需注意一個正數有兩個平方根).

【詳解】

解：2的平方根是土夜故答案為土也.

【點睛】

本題考查了平方根的定義.注意一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；。的平方根是0;負數沒有平方根.

三、解答題，(木大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、(1)畫圖見解析；(2)畫圖見解析，C2的坐標為(?6,4).

【解析】

試題分析：(1)利用關于點對稱的性質得出A，G的坐標進而得出答案；

(2)利用關于原點位似圖形的性質得出對應點位置進而得出答案.

試題解析：(l)AAIG如圖所示.

(2)AA2&C2如圖所示，點C2的坐標為(-6,4).

13

20、(1)AB的解析式是y=?-x+L點B(3,0).(2)-n-l；(3)(3,4)或(5,2)或(3,2).

32

【解析】

試題分析：(1)把A的坐標代入直線AB的解析式，即可求得b的值，然后在解析式中，令y=0,求得x的值，即可

求得B的坐標；

(2)過點A作AM_LPD,垂足為M,求得AM的長，即可求得△BPD和△PAB的面積，二者的和即可求得；

3

(3)當SAABP=2時，-n-l=2,解得n=2,貝ljNOBP=4S。，然后分A、B、P分別是直角頂點求解.

2

試題解析：(1);丫:-；x+b經過A(0,1),

Ab=l,

，直線AB的解析式是y=?gx+L

當y=0時，0=--x+l,解得x=3,

???點B(3,0).

.211211

..PD=n--,SAAPD=—PD*AM=—xlx(n--)=—n--

322323

由點B(3,0),可知點B到直線x=l的距離為2,即^BDP的邊PD上的高長為2,

.I2

SABPD=—PDx2=n--，

23

1123

??SAPAB=SAAPD+SABPD=-n--+n—=—n-1；

2332

3

(3)當SAABP=2時，-n-l=2,解得n=2,

2

?,?點P(1,2).

VE(1,0),

.\PE=BE=2,

AZEPB=ZEBP=45O.

第I種情況，如圖1,ZCPB=90°,BP=PC,過點C作CNJ_直線x=l于點N.

VZCPB=90°,ZEPB=45°,

/.ZNPC=ZEPB=45°.

XVZCNP=ZPEB=90°,BP=PC,

/.△CNP^ABEP,

APN=NC=EB=PE=2,

ANE=NP+PE=2+2=4,

/.C(3,4).

第2種情況，如圖2NPBC=90。，BP=BC,

過點C作CF_Lx軸于點F.

VZPBC=90°,ZEBP=45°,

/.ZCBF=ZPBE=45°.

XVZCFB=ZPEB=90°,BC=BP,

/.△CBF^APBE.

/.BF=CF=PE=EB=2,

AOF=OB+BF=3+2=5,

AC(5,2).

AZCPB=ZEBP=45O,

在^PCB和^FEB中，

CP=EB

{ZCPB=ZEBP

BP=BP

.,.△PCB^APEB(SAS),

APC=CB=PE=EB=2,

AC（3,2）.

，以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC,點C的坐標是（3,4）或（5,2）或（3,2）.

考點；一次函數綜合題.

21、（1）1人；補圖見解析；（2）10人；（3）610名.

【解析】

（1）用總人數乘以A所占的百分比，即可得到總人數；再用總人數乘以A等級人數所占比例可得其人數，繼而根據

各等級人數之和等于總人數可得D等級人數，據此可補全條形圖；

（2）用總人數乘以（A的百分比+B的百分比），即可解答；

（3）先計算出提高后A,B所占的百分比，再乘以總人數，即可解答.

【詳解】

1AQ

解：（1）本次調查抽取的總人數為15+k=l（人），

360

72

則A等級人數為lx——=10（人），D等級人數為1?（10+15+5）=20（人），

360

補全直方圖如下：

故答案為1.

（2）估計該校九年級此次數學成績在B等級以上（含B等級）的學生有1000X竺祟=10（人）；

（3）???A級學生數可提高40%,B級學生數可提高10%,

???B級學生所占的百分比為：30%x（1+10%）=33%,A級學生所占的百分比為：20%x（1+40%）=28%,

AlOOOx（33%+28%）=610（人），

，估計經過訓練后九年級數學成績在B以上（含B級）的學生可達610名.

【點睛】

考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用，讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵,條

形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

22、(1)

乘\

飛

5678

15678

210121416

315182124

420242832

（2）游戲不公平，修改得分規則為：把兩個小球上的數字相乘，若得到的積是2的倍數，則甲得7分，若得到的積是

3的倍數，則乙得12分

【解析】

試題分析：（1）列表如下：

乘\

飛

5678

15678

210121416

315182124

420242832

共有16種情況，且每種情況出現的可能性相同，其中，乘積是2的倍數的有12種，乘積是3的倍數的有7種.

AP（兩數乘積是2的倍數）■；

P（兩數乘積是3的倍數）=捻

J5

（2）游戲不公平，修改得分規則為：把兩個小球上的數字相乘，若得到的積是2的倍數，則甲得7分，若得到的積是

3的倍數，則乙得12分

考點：概率的計算

點評：題目難度不大，考查基本概率的計算，屬于基礎題。本題主要是第二問有點難度，對游戲規則的確定，需要一

概率為基礎。

23、電視塔0C高為100G米，點2的鉛直高度為1cxy3

(米).

3

【解析】

過點P作PF_LOC,垂足為F,在RtAOAC中利用三角函數求出OC=100Q,根據山坡坡度=1：2表示出PB=x,AB

=2x,在R3PCF中利用三角函數即可求解.

【詳解】

過點P作PF_LOC垂足為F.

在RMOAC中，由NOAC=600,OA