1995年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試一、選擇題(每小題6分，共36分)1．設(shè)等差數(shù)列{an}滿足3a8=5a13且a1>0，Sn為其前項(xiàng)之和，則Sn中最大的是()(A)S10(B)S11(C)S20(D)S212．設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為Z1，Z2，…，Z20，則復(fù)數(shù)Zeq\a(1995,1)，Zeq\a(1995,2)，…，Zeq\a(1995,20)所對(duì)應(yīng)的不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()(A)4(B)5(C)10(D)203．如果甲的身高數(shù)或體重?cái)?shù)至少有一項(xiàng)比乙大，則稱甲不亞于乙，在100個(gè)小伙子中，如果某人不亞于其他99人，就稱他為棒小伙子，那么，100個(gè)小伙子中的棒小伙子最多可能有()(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)50個(gè)(D)100個(gè)4．已知方程|x－2n|=keq\r(x)(n∈N*)在區(qū)間(2n－1，2n+1]上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則k的取值范圍是()(A)k>0(B)0<k≤eq\f(1,\r(2n+1))(C)eq\f(1,2n+1)<k≤eq\f(1,\r(2n+1))(D)以上都不是5．logsin1cos1，logsin1tan1，logcos1sin1，logcos1tan1的大小關(guān)系是(A)logsin1cos1<logcos1sin1<logsin1tan1<logcos1tan1(B)logcos1sin1<logcos1tan1<logsin1cos1<logsin1tan1(C)logsin1tan1<logcos1tan1<logcos1sin1<logsin1cos1(D)logcos1tan1<logsin1tan1<logsin1cos1<logcos1sin16．設(shè)O是正三棱錐P—ABC底面三角形ABC的中心，過O的動(dòng)平面與PC交于S，與PA，PB的延長線分別交于Q，R，則和式eq\f(1,PQ)+eq\f(1,PR)+eq\f(1,PS)(A)有最大值而無最小值(B有最小值而無最大值(C)既有最大值又有最小值，兩者不等(D)是一個(gè)與面QPS無關(guān)的常數(shù)二、填空題(每小題9分，共54分)1．設(shè)α，β為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，若|α－β|=2eq\r(3)，且eq\f(α,β2)為實(shí)數(shù)，則|α|=．2．一個(gè)球的內(nèi)接圓錐的最大體積與這個(gè)球的體積之比為．3．用[x]表示不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，方程lg2x－[lgx]－2=0的實(shí)根個(gè)數(shù)是．4．直角坐標(biāo)平面上，滿足不等式組eq\b\lc\{(\a\ac(y≤3x，,y≥\f(x,3)，,x+y≤100))的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是．5．將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是．6．設(shè)M={1，2，3，…，1995}，A是M的子集且滿足條件：當(dāng)x∈A時(shí)，15xA，則A中元素的個(gè)數(shù)最多是．

第二試一、(25分)給定曲線族2(2sinθ－cosθ+3)x2－(8sinθ+cosθ+1)y=0，θ為參數(shù)，求該曲線在直線y=2x上所截得的弦長的最大值．二、(25分)求一切實(shí)數(shù)p，使得三次方程5x3－5(p+1)x2+(71p－1)x+1=66p的三個(gè)根均為正整數(shù)．三、(35分)如圖，菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別切于E，F(xiàn)，G，H，在弧EF與GH上分別作圓O的切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求證：MQ∥NP．四、(35分)將平面上的每個(gè)點(diǎn)都以紅，藍(lán)兩色之一著色。證明：存在這樣兩個(gè)相似的三角形，它們的相似比為1995，并且每一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)同色．

1995年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試(解答)一、選擇題(每小題6分，共36分)1．設(shè)等差數(shù)列{an}滿足3a8=5a13且a1>0，Sn為其前項(xiàng)之和，則Sn中最大的是()(A)S10(B)S11(C)S20(D)S21解：3(a+7d)=5(a+12d)，d=－eq\f(2,39)a，令an=a－eq\f(2,39)a(n－1)≥0，an+1=a－eq\f(2,39)an<0，得n=20．選C．2．設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為Z1，Z2，…，Z20，則復(fù)數(shù)Zeq\a(1995,1)，Zeq\a(1995,2)，…，Zeq\a(1995,20)所對(duì)應(yīng)的不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()(A)4(B)5(C)10(D)20解：設(shè)z1=cosθ+isinθ，則zk=z1εk－1，其中ε=coseq\f(π,10)+isineq\f(π,10)．ε20=1．ε15=－i，ε10=－1，ε5=i．∴zk1995=(cos1995θ+isin1995θ)ε1995(k－1)=(cos1995θ+isin1995θ)(－i)k－1．∴共有4個(gè)值．選A．3．如果甲的身高數(shù)或體重?cái)?shù)至少有一項(xiàng)比乙大，則稱甲不亞于乙，在100個(gè)小伙子中，如果某人不亞于其他99人，就稱他為棒小伙子，那么，100個(gè)小伙子中的棒小伙子最多可能有()(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)50個(gè)(D)100個(gè)解：把身高按從高到矮排為1~100號(hào)，而規(guī)定二人比較，身高較高者體重較小，則每個(gè)人都是棒小伙子．故選D．4．已知方程|x－2n|=keq\r(x)(n∈N*)在區(qū)間(2n－1，2n+1]上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則k的取值范圍是()(A)k>0(B)0<k≤eq\f(1,\r(2n+1))(C)eq\f(1,2n+1)<k≤eq\f(1,\r(2n+1))(D)以上都不是解：由|x－2n|≥0，故k≥0，若k=0，可知在所給區(qū)間上只有1解．故k>0．由圖象可得，x=2n+1時(shí)，keq\r(x)≤1．即k≤eq\f(1,\r(2n+1))．故選B．又解：y=(x－2n)2與線段y=k2x(2n－1<x≤2n+1)有兩個(gè)公共點(diǎn)．x2－(4n+k2)x+4n2=0有(2n－1，2n+1]上有兩個(gè)根．故△=(4n+k2)2－16n2>0．且(2n－1)2－(4n+k2)(2n－1)+4n2>0，(2n+1)2－(4n+k2)(2n+1)+4n2≥0，2n－1<2n+eq\f(1,2)k2<2n+1．k≤eq\f(1,\r(2n+1))．5．logsin1cos1，logsin1tan1，logcos1sin1，logcos1tan1的大小關(guān)系是(A)logsin1cos1<logcos1sin1<logsin1tan1<logcos1tan1(B)logcos1sin1<logcos1tan1<logsin1cos1<logsin1tan1(C)logsin1tan1<logcos1tan1<logcos1sin1<logsin1cos1(D)logcos1tan1<logsin1tan1<logsin1cos1<logcos1sin1解：eq\f(,4)<1<eq\f(,2)，故0<cos1<sin1<1<tan1．logsin1tan1<0，logcos1tan1<0，logsin1cos1>0，logcos1sin1>0，設(shè)logsin1cos1=a，則得(sin1)a=cos1<sin1，a>1；logcos1sin1=b，則(cos1)b=sin1>cos1，0<b<1；即logcos1sin1<logsin1cos1．設(shè)logsin1tan1=c，logcos1tan1=d，則得(sin1)c=(cos1)d=tan1，(指數(shù)函數(shù)圖象進(jìn)行比較)，c<d．即logsin1tan1<logcos1tan1故選C．6．設(shè)O是正三棱錐P—ABC底面三角形ABC的中心，過O的動(dòng)平面與PC交于S，與PA，PB的延長線分別交于Q，R，則和式eq\f(1,PQ)+eq\f(1,PR)+eq\f(1,PS)(A)有最大值而無最小值(B)有最小值而無最大值(C)既有最大值又有最小值，兩者不等(D)是一個(gè)與面QPS無關(guān)的常數(shù)解：O到面PAB、PBC、PCA的距離相等．設(shè)∠APB=α，則VPQRS=eq\f(1,6)d(PQ·PR+PR·PS+PS·PQ)sinα．(其中d為O與各側(cè)面的距離)．VPQRS=eq\f(1,6)PQ·PR·PSsinαsinθ．(其中θ為PS與面PQR的夾角)∴d(PQ·PR+PR·PS+PS·PQ)=PQ·PR·PSsinθ．∴eq\f(1,PQ)+eq\f(1,PR)+eq\f(1,PS)=eq\f(sinθ,d)為定值．故選D．二、填空題(每小題9分，共54分)1．設(shè)α，β為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，若|α－β|=2eq\r(3)，且eq\f(α,β2)為實(shí)數(shù)，則|α|=．解：設(shè)α=x+yi，(x，y∈R)，則|α－β|=2|y|．∴y=±eq\r(3)．設(shè)argα=θ，則可取θ+2θ=2π，(因?yàn)橹灰髚α|，故不必寫出所有可能的角)．θ=eq\f(2,3)π，于是x=±1．|α|=2．2．一個(gè)球的內(nèi)接圓錐的最大體積與這個(gè)球的體積之比為．解：設(shè)球半徑為R，其內(nèi)接圓錐的底半徑為r，高為h，作軸截面，則r2=h(2R－h(huán))．V錐=eq\f(1,3)πr2h=eq\f(π,3)h2(2R－h(huán))=eq\f(π,6)h·h(4R－2h)≤eq\f(π,6)eq\b\bc\((\a\ac(\f(4R,3)))eq\s\up10(3)=eq\f(8,27)·eq\f(4,3)πR3．∴所求比為8∶27．3．用[x]表示不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，方程lg2x－[lgx]－2=0的實(shí)根個(gè)數(shù)是．解：令lgx=t，則得t2－2=[t]．作圖象，知t=－1，t=2，及1<t<2內(nèi)有一解．當(dāng)1<t<2時(shí)，[t]=1，t=eq\r(3)．故得：x=eq\f(1,10)，x=100，x=10eq\s\up5(\r(3))，即共有3個(gè)實(shí)根．4．直角坐標(biāo)平面上，滿足不等式組eq\b\lc\{(\a\ac(y≤3x，,y≥\f(x,3)，,x+y≤100))的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是．解：如圖，即△OAB內(nèi)部及邊界上的整點(diǎn)．由兩軸及x+y=100圍成區(qū)域(包括邊界)內(nèi)的整點(diǎn)數(shù)=1+2+3+…+101=5151個(gè)．由x軸、y=eq\f(1,3)x，x+y=100圍成區(qū)域(不包括y=eq\f(1,3)x上)內(nèi)的整點(diǎn)數(shù)(x=1，2，3時(shí)各有1個(gè)整點(diǎn)，x=4，5，6時(shí)各有2個(gè)整點(diǎn)，…，x=73，74，75時(shí)有25個(gè)整點(diǎn)，x=76，77，…，100時(shí)依次有25，24，…，1個(gè)整點(diǎn)．共有3×1+3×2+…+3×25+25+24+…+1=4(1+2+…+25)=1300．由對(duì)稱性，由y軸、y=3x、x+y=100圍成的區(qū)域內(nèi)也有1300個(gè)整點(diǎn)．∴所求區(qū)域內(nèi)共有5151－2600=2551個(gè)整點(diǎn)．5．將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是．解：頂點(diǎn)染色，有5種方法，底面4個(gè)頂點(diǎn)，用4種顏色染，Aeq\a(4,4)=24種方法，用3種顏色，選1對(duì)頂點(diǎn)Ceq\a(1,2)，這一對(duì)頂點(diǎn)用某種顏色染Ceq\a(1,4)，余下2個(gè)頂點(diǎn)，任選2色染，Aeq\a(2,3)種，共有Ceq\a(1,2)Ceq\a(1,4)Aeq\a(2,3)=48種方法；用2種顏色染：Aeq\a(2,4)=12種方法；∴共有5(24+48+12)=420種方法．6．設(shè)M={1，2，3，…，1995}，A是M的子集且滿足條件：當(dāng)x∈A時(shí)，15xA，則A中元素的個(gè)數(shù)最多是．解：1995=15×133．故取出所有不是15的倍數(shù)的數(shù)，共1862個(gè)，這此數(shù)均符合要求．在所有15的倍數(shù)的數(shù)中，152的倍數(shù)有8個(gè)，這此數(shù)又可以取出，這樣共取出了1870個(gè)．即|A|≥1870．又{k，15k}(k=9，10，11，…，133)中的兩個(gè)元素不能同時(shí)取出，故|A|≤1995-133+8=1870．第二試一、(25分)給定曲線族2(2sinθ－cosθ+3)x2－(8sinθ+cosθ+1)y=0，θ為參數(shù)，求該曲線在直線y=2x上所截得的弦長的最大值．解：以y=2x代入曲線方程得x=0，x=eq\f(8sinθ+cosθ+1,2sinθ－cosθ+3)．∴所求弦長l=eq\b\bc\|(\a\ac(\f(8sinθ+cosθ+1,2sinθ－cosθ+3)))eq\r(5)．故只要求|x|的最大值即可．由(2x－8)sinθ－(x+1)cosθ=1－3x．(2x－8)2+(x+1)2≥(1－3x)2，即x2+16x－16≤0．解之得，－8≤x≤2．即|x|≤8(當(dāng)sinθ=±eq\f(24,25)，cosθ=?eq\f(7,25)時(shí)即可取得最大值)．故得最大弦長為8eq\r(5)．二、(25分)求一切實(shí)數(shù)p，使得三次方程5x3－5(p+1)x2+(71p－1)x+1=66p的三個(gè)根均為正整數(shù)．解：x=1是方程的一個(gè)根．于是只要考慮二次方程5x2－5px+66p－1=0的兩個(gè)根為正整數(shù)即可．設(shè)此二正整數(shù)根為u、v．則由韋達(dá)定理知，eq\b\lc\{(\a\ac(u+v=p①,uv=\f(1,5)(66p－1)②))消去p，得5uv－66(u+v)=－1．同乘以5：52uv－5×66u－5×66v=－5．∴(5u－66)(5v－66)=662－5=4351=19×229．由于u、v均為整數(shù)，故5u－66、5v－66為整數(shù)．∴eq\b\lc\{(\a\ac(5u－66=1，－1，19，－19，,5v－66=4351，－4351，229，－229．))∴其中使u、v為正整數(shù)的，只有u=17，v=59這一組值．此時(shí)p=76．三、(35分)如圖，菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別切于E，F(xiàn)，G，H，在弧EF與GH上分別作圓O的切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求證：MQ∥NP．分析要證MQ∥NP，因AB∥DC，故可以考慮證明∠AMQ=∠CPN．現(xiàn)∠A=∠C，故可證ΔAMQ∽ΔCPN．于是要證明AM∶AQ=CP∶CN．證明設(shè)∠ABC=2，∠BNM=2，∠BMN=2γ．則由ON平分∠ONM，得∠ONC=∠ONM=eq\f(1,2)(180－2)=90－；同理，∠OMN=∠OMA=90－γ．而∠CON=180－∠OCN－∠ONC=+=90－γ，于是ΔCON∽ΔAMO，∴AM∶AO=CO∶CN，即AM·CN=AO2．同理，AQ·CP=AO2，∴AM·CN=AQ·CP．∴ΔAMQ∽ΔCPN，∴∠AMQ=∠CPN．∴MQ∥NP．四、(35分)將平面上的每個(gè)點(diǎn)都以紅，藍(lán)兩色之一著色．證明：存在這樣兩個(gè)相似的三角形，它們的相似比為1995，并且每一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)同色．證明：首先證明平面上一定存在三個(gè)頂點(diǎn)同色的直角三角形．任取平面上的一條直線l，則直線l上必有兩點(diǎn)同色．設(shè)此兩點(diǎn)為P、Q，不妨設(shè)P、Q同著紅色．過P、Q作直線l的垂線l1、l2，若l1或l2上有異于P、Q的點(diǎn)著紅色，則存在紅色直角三角形．若l1、l2上除P、Q外均無紅色點(diǎn)，則在l1上任取異于P的兩點(diǎn)R、S，則R、S必著藍(lán)色，過R作l1的垂線交l2于T，則T必著藍(lán)色．△RST即為三頂點(diǎn)同色的直角三角形．設(shè)直角三角形ABC三頂點(diǎn)同色(∠B為直角)．把△ABC補(bǔ)成矩形ABCD(如圖)．把矩形的每邊都分成n等分(n為正奇數(shù)，n>1，本題中取n=1995)．連結(jié)對(duì)邊相應(yīng)分點(diǎn)，把矩形ABCD分成n2個(gè)小矩形．AB邊上的分點(diǎn)共有n+1個(gè)，由于n為奇數(shù)，故必存在其中兩個(gè)相鄰的分點(diǎn)同色，(否則任兩個(gè)相鄰分點(diǎn)異色，則可得A、B異色)，不妨設(shè)相鄰分點(diǎn)E、F同色．考察E、F所