1978年全國高中數學競賽題一試題1．已知y=logeq\o(\s\do6(\f(1,\r(2))))eq\f(1,x+3)，問當x為何值時，(Ⅰ)y>0；(Ⅱ)y<0？2．已知tanx=2eq\r(2)(180°<x<270°)，求cos2x，coseq\f(x,2)的值．3．設橢圓的中心為原點，它在x軸上的一個焦點與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點的距離是eq\r(10)－eq\r(5)，求橢圓方程．4．已知方程2x2－9x+8=0，求作一個二次方程，使它的一個根為原方程兩根和的倒數，另一個根為原方程兩根差的平方．5．把半徑為1的四個小球疊成兩層放在桌面上：下層三個，上層一個，兩兩相切，求上層小球最高點離桌面的高度．6．如圖，設線段AB的中點為M，從線段AB上的另一點C向直線AB的一側引線段CD，令線段CD的中點為N，BD的中點為P，MN的中點為Q，求證：直線PQ平分線段AC．7．證明：當n、k都是給定的正整數，且n>2，k>2時，n(n－1)k－1可以寫成n個連續偶數的和．8．證明：頂點在單位圓上的銳角三角形的三個角的余弦的和小于該三角形的周長之半．9．已知直線l1：y=4x和點P(6，4)，在直線l1上求一點Q，使過PQ的直線與直線l1以及x軸在第Ⅰ象限內圍成三角形面積最小．10．求方程組eq\b\lc\{(\a\ac(x+y+z=0，,x3+y3+z3=－18))的整數解．二試題1．四邊形兩組對邊延長后分別相交，且交點的連線與四邊形的一條對角線平行，證明：另一條對角線的延長線平分對邊交點連成的線段．2．⑴分解因式：x12+x9+x6+x3+1．⑵證明：對于任意角度θ，都有5+8cosθ+4cos2θ+cos3θ≥0．3．設R為平面上以A(4，1)、B(－1，－6)、C(－3，2)三點為頂點的三角形區域(包括三角形的邊界)．試求當(x，y)在R上變動時，函數4x－3y的極大值和極小值．(須證明你的論斷)4．設ABCD為任意給定的四邊形，邊AB、BC、CD、CA的中點分別為E、F、G、H，證明：四邊形ABCD的面積≤EG?HF≤eq\f(1,2)(AB+CD)·eq\f(1,2)(AD+BC)．5．設有十人各拿提桶一只到水龍頭前打水，設水龍頭注滿第i(i=1，2，…，10)個人的提桶需時Ti分鐘，假定這些Ti各不相同，問：(Ⅰ)當只有一個水龍頭可用時，應如何安排這十個人的次序，使你們的總的花費時間(包括各人自己接水所花時間)為最少？這時間等于多少？(須證明你的論斷)(Ⅱ)當有兩個水龍頭可用時，應如何安排這十個人的次序，使你們的總的花費時間為最少？這時間等于多少？(須證明你的論斷)6．設有一個邊長為1的正方形，試在這個正方形的內接正三角形中找出一個面積最大的和一個面積最小的，并求出這兩個面積．(須證明你的論斷)

1978年全國高中數學競賽題解答一試題1．已知y=logeq\o(\s\do6(\f(1,\r(2))))eq\f(1,x+3)，問當x為何值時，(Ⅰ)y>0；(Ⅱ)y<0？解：當x>－3時，y=logeq\o(\s\do6(eq\r(2)))(x+3)，⑴x+3>1x>－2時，y>0；⑵0<x+3<1，－3<x<－2時，y<0．2．已知tanx=2eq\r(2)(180°<x<270°)，求cos2x，coseq\f(x,2)的值．解：cos2x=eq\f(1－(2eq\r(2))2,1+(2eq\r(2))2)=－eq\f(7,9)；cosx=－eq\f(1,eq\r(1+tan2x))=－eq\f(1,3)．coseq\f(x,2)=－eq\r(\f(1+cosx,2))=－eq\f(\r(3),3)．3．設橢圓的中心為原點，它在x軸上的一個焦點與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點的距離是eq\r(10)－eq\r(5)，求橢圓方程．解：由已知c=b，故a=eq\r(2)c，a－c=eq\r(10)－eq\r(5)=eq\r(5)(eq\r(2)－1)=c(eq\r(2)－1)，∴c=eq\r(5)，a=eq\r(10)．所求橢圓方程為eq\f(x2,10)+eq\f(y2,5)=1．4．已知方程2x2－9x+8=0，求作一個二次方程，使它的一個根為原方程兩根和的倒數，另一個根為原方程兩根差的平方．解：設已知方程兩根為x1，x2，則x1+x2=eq\f(9,2)，x1x2=4．所求方程兩根為t1，t2，t1=eq\f(1,x1+x2)=eq\f(2,9)，t2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2=eq\f(81,4)－16=eq\f(17,4)．∴所求方程為(x－eq\f(2,9))(x－eq\f(17,4))=0，即36x2－161x+34=0．5．把半徑為1的四個小球疊成兩層放在桌面上：下層三個，上層一個，兩兩相切，求上層小球最高點離桌面的高度．解：邊長為2的正四面體的高h=eq\f(2\r(6),3)．故所求高度=1+eq\f(2\r(6),3)+1=2+eq\f(2\r(6),3)．6．如圖，設線段AB的中點為M，從線段AB上的另一點C向直線AB的一側引線段CD，令線段CD的中點為N，BD的中點為P，MN的中點為Q，求證：直線PQ平分線段AC．證明：連NP，取AC中點O，則由于N、P分別為CD、BD中點，故NP∥AB，NP=eq\f(1,2)BC=eq\f(1,2)(AB－AC)=AM=AO=OM．∴NPMO為平行四邊形．即PO經過MN中點Q．即直線PQ平分線段AC．7．證明：當n、k都是給定的正整數，且n>2，k>2時，n(n－1)k－1可以寫成n個連續偶數的和．解：設開始的一個偶數為2m，則此n個連續偶數的和為(2m+…+2m+2n－2)×n÷2=n(2m+n－1)．令n(n－1)k－1=n(2m+n－1)，則(n－1)k－1－(n－1)=2m．無論n為偶數還是奇數，(n－1)k－1－(n－1)均為偶數，故m=eq\f(1,2)[(n－1)k－1－(n－1)]為整數．∴從(n－1)k－1－(n－1)開始的連續n個偶數的和等于n(n－1)k－1．由于n、k給定，故(n－1)k－1－(n－1)確定．故證．8．證明：頂點在單位圓上的銳角三角形的三個角的余弦的和小于該三角形的周長之半．解：設此三角形三個角為A、B、C，則其三邊長分別為2sinA，2sinB，2sinC．本題即證明cosA+cosB+cosC<sinA+sinB+sinC．由于A＋B>90，故90>A>90－B>0，sinA>sin(90－B)=cosB，同理，sinB>cosC，sinC>cosA，三式相加，即得證．9．已知直線l1：y=4x和點P(6，4)，在直線l1上求一點Q，使過PQ的直線與直線l1以及x軸在第Ⅰ象限內圍成三角形面積最小．解：設Q(a，4a)，(a>1)則直線PQ方程為y－4=eq\f(4a－4,a－6)(x－6)，令y=0，得x=6－eq\f(a－6,a－1)=eq\f(5a,a－1)．∴S=eq\f(1,2)·eq\f(5a,a－1)·4a=eq\f(10a2,a－1)=10(a+1+eq\f(1,a－1))=10(a－1+eq\f(1,a－1)+2)≥10(2+2)=40．當且僅當a=2時S取得最小值．即所求點為Q(2，8)．10．求方程組eq\b\lc\{(\a\ac(x+y+z=0，,x3+y3+z3=－18))的整數解．解：x3＋y3＋z3－3xyz=(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2－xy－yz－zx)=0，故xyz=－6．故x=－3，y=1，z=2，等共6組解．二試題1．四邊形兩組對邊延長后分別相交，且交點的連線與四邊形的一條對角線平行，證明：另一條對角線的延長線平分對邊交點連成的線段．證明：如圖所示，BD∥EF，作BG∥ED交AC于G，則eq\f(AG,AC)=eq\f(AB,AE)=eq\f(AD,AF)，從而GD∥BC，即BCDG為平行四邊形．P為BD中點，從而Q為EF中點．2．⑴分解因式：x12+x9+x6+x3+1．⑵證明：對于任意角度θ，都有5+8cosθ+4cos2θ+cos3θ≥0．解：⑴令ε=coseq\f(2π,15)＋isineq\f(2π,15)．∴(x3－1)(x12+x9+x6+x3+1)=x15－1=eq\a(14,∏,k=0)(x－εk)．而x3－1=(x－1)(x－ε5)(x－ε10)．故x12+x9+x6+x3+1=eq\a(14,∏,k=0(k5，10))(x－εk)．⑵令x=cosθ，則5+8cosθ+4cos2θ+cos3θ=5+8x+4(2x2－1)+4x3－3x=4x3+8x2+5x+1=(x+1)(2x+1)2≥0在x≥－1時成立．3．設R為平面上以A(4，1)、B(－1，－6)、C(－3，2)三點為頂點的三角形區域(包括三角形的邊界)．試求當(x，y)在R上變動時，函數4x－3y的極大值和極小值．(須證明你的論斷)解：令4x－3y=t，則此直線在x軸上的截距即為eq\f(1,4)t．分別以A、B、C的值代入，得相應的t=13，14，－18．即4x－3y的極大值為14，極小值為－18．4．設ABCD為任意給定的四邊形，邊AB、BC、CD、CA的中點分別為E、F、G、H，證明：四邊形ABCD的面積≤EG?HF≤eq\f(1,2)(AB+CD)?eq\f(1,2)(AD+BC)．證明：連EF、FG、GH、HE，取BD中點P，連EP、PG．易證S四邊形EFGH=eq\f(1,2)S四邊形ABCD．而S四邊形EFGH=eq\f(1,2)EG?HFsin∠EOF≤eq\f(1,2)EG?HF．但EP=eq\f(1,2)AD，PG=eq\f(1,2)BC．EP+PG≥EG，故eq\f(1,2)(AD+BC)≥EG，同理，eq\f(1,2)(AB+CD)≥HF．故EG?HF≤eq\f(1,2)(AB+CD)?eq\f(1,2)(AD+BC)，從而，四邊形ABCD的面積≤EG?HF≤eq\f(1,2)(AB+CD)?eq\f(1,2)(AD+BC)．5．設有十人各拿提桶一只到水龍頭前打水，設水龍頭注滿第i(i=1，2，…，10)個人的提桶需時Ti分鐘，假定這些Ti各不相同，問：(Ⅰ)當只有一個水龍頭可用時，應如何安排這十個人的次序，使你們的總的花費時間(包括各人自己接水所花時間)為最少？這時間等于多少？(須證明你的論斷)(Ⅱ)當有兩個水龍頭可用時，應如何安排這十個人的次序，使你們的總的花費時間為最少？這時間等于多少？(須證明你的論斷)解：當只有1個水龍頭可用時，所需時間為10T1+9T2+8T3+…+T10，若當1≤i<j≤10時，Ti>Tj，則其余人不動，交換第i個人與第j個人的次序，則所需時間改變量10T1+…+(11－i)Ti+…+(11－j)Tj+…+T10－(10T1+…+(11－i)Tj+…+(11－j)Ti+…)=(11－i)(Ti－Tj)+(11－j)(Tj－Ti)=(Tj－Ti)(i－j)>0．即這樣交換后，所需時間變少．∴應使注滿桶所需的時間少的人先注水．不妨設T1<T2<…<T10，則所需時間為10T1+9T2+8T3+…+T10．⑵設T1<T2<…<T10，則安排T1、T3、T5、T7、T9在一個龍頭，T2、T4、T6、T8、T10在另一個龍頭．且注水時間短的先注水．這樣，共需時間5(T1+T2)+4(T3+T4)+3(T5+T6)+2(T7+T8)+(T9+T10)．6．設有一個邊長為1的正方形