2023.2024學年八年級數學上冊舉一反三系列專題2.2軸對稱的性質

+設計軸對稱圖案■重難點題型

【蘇科版】

辛一名三

【知識點1軸對稱的性質】

（1）如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.

由軸對稱的性質得到一下結論：

①如果兩個圖形的對應點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個困形關于這條直線對稱；

②如果兩個困形成軸對稱，我們只要找到一對對應點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這

兩個圖形的對稱軸.

⑵軸對稱圖形的對稱軸也是任何-對對應點所連線段的垂直平分線.

【題型1利用軸對稱的性質求角度】

【例1】（2021春?沙坪壩區校級期中）如圖，△AOB與△CO8關于邊所在的直線成軸灼稱，AO的延

長線交3C于點、D.若N6OQ=46",ZC=20°,則NAOC=0.

【變式1-1］（2021春?漢臺區期末）如圖，NMON內有一點尸，點?關于OM的軸對稱點是G,點?關于

ON的軸對稱點是從G〃分別交OM、ON于A、B點,若NMON=35°,則NGO〃=

【變式1-2］（2021春?雁塔區校級期末）如圖，點P為NAOB內一點，分別作出P點關于OB、。人的對稱

交OA于N,若NAOB=40°,則NMPN的度數是（）

C.120°D.140°

【變式1-3］（2020?射陽縣校級模擬）如圖，四邊形ABC。中，AB=4。，點B關于AC的對稱點上恰好

落在CO上，若N8475=100。，則NACB的度數為（)

A.40°B.45°C.60°D.80°

【題型2利用軸對稱的性質求線段】

【例2】（2021?深圳模擬）如圖，在△ABC中，點Z）,E1分別在邊4B,8c上，點A與點E關于直線C。

對稱.若AB=7,AC=9,8c=12,則△O8E的周長為（）

A.9B.10C.11D.12

【變式2-1］（2021春?海口期末〕如圖所示，點〃關于直線OA、08的對稱點分別為。、D,連接CD,交

0A于M,交。8于N,若△PWV的周長為8加，則C。為cm.

【變式2-2]（2021春?驛城區期末）如圖，點。是NAO8外的一點，點M,N分別是NA08兩邊上的點,

點。關于04的對稱點。恰好落在線段上，點P關于03的對稱點R落在的延長線上.若PM

則線段QR的長為

【變式2-3]（2020春?雙流區校級期末）如圖，△A4C中，ZACH=9O0,BC=6,人。=8,44=10,動

點P在邊AB上運動（不與端點重合），點P關于直線AC,BC對稱的點分別為尸I,尸2.則在點P的運

動過程中，線段PiP2的長的最小值是.

P】

【例3】（2020春?荷塘區期末）如圖，在邊長為I個單位長度的小正方形組成的網格中，給出了格點△A8C

（頂點是網格線的交點）.

（1）請畫出△ABC關于直線/對稱的△AiBiCi；

（2）將△A1B1C1再向下平移5個單位，畫出平移后得到的2c2,并計算△/1282c2的面積.

m

\

(3)

【變式3-3](2020秋?江漢區期末)如圖，所有的網格都是由邊長為1的小正方形構成，每個小正方形的

頂點稱為格點，頂點都是格點的三角形稱為格點三角形，△A3C為格點三角形.

(1)如圖，圖1,圖2,圖3都是6X6的正方形網格，點M,點N都是格點，請分別按要求在網格中

作圖:

①在圖I中作△MNP,使它與AABC全等;

②在圖2中作△“￡>￡：,使△MDE由AABC平移而得;

③在圖3中作△NFG,使△NR7與AABC關于某條直線對稱;

(2)如圖4,是一個4X4的E方形網格，圖中與△回€：關于某條直線釉對稱的格點三角形有個.

【題型4利用軸對稱的性質解折疊問題】

[ft4]（2021春?錦江區期末）如圖，在△48C中，NACB=90°,。是AC上一點，連接8D,將△/3QA

沿對折得到△5。￡,若3E恰好經過點、C,則下列結論錯誤的是（）

B./CDE=2NABD

C.NBDE-NABD=90°D.SAABD：S&CDE=BC：CE

【變式4-1]（2021春-于洪區期末）如圖,△A8C中，NAC8=90。，將△A3C沿著一條直線折疊后，使

點A與點。重合（如圖②）

（1）在圖①中畫出折痕所在的直線/，I'可直線/是線段AC的?線:

（2）設直線/與AZ?、AC分別相交于點M、N,連接CM,若△CM"的周長足21c,〃，AB=\4cm,求“。

的長.

【變式4-2]（2021?啟東市開學）如圖,將RtZ\ABC沿斜邊翻折得到△AOC,點E,尸分別為DC,BC邊

上的點，且/E4尸=/ND48.試猜想OE,BF,￡尸之間有何數量關系，并證明你的猜想.

E

BFC

【變式4-3]（2020秋?建鄴區期末）"C。是長方形紙片的四個頂點，點石、F、，分別邊A。、BC、AD

上的三點，連接EAFH.

（1）將長方形紙片的A8CQ按如圖①所示的方式折疊，FE、/為折痕,點從。、。折疊后的對應點

分別為B'、C'、。'，點8'在尸C'上，則NEFH的度數為；

（2）將長方形紙片的48C。按如圖②所示的方式折疊，FE、F77為折痕，點8、C、。折疊后的對應點

分別為8'、C'、Z7（夕、C的位置如圖所示），若NBFC=16°,求NEFH的度數;

（3）將長方形紙片的ABCO按如圖③所示的方式折疊，FE、77/為折痕，點B、C、。折疊后的對應點

、C的位置如圖所示）.若NEFH=〃。，則N夕FC'的度數為

【例5】（2021?門頭溝區二模）有一正方形卡紙，如圖①，沿虛線向上翻折，得到圖②，再沿虛線向右翻

折得到圖③，沿虛線將一角剪掉后展開，得到的圖形是（）

【變式5-1]（2020秋?恩施市期末）將一張正方形按圖1,圖2方式折疊，然后用剪刀沿圖3中虛線剪掉

一角，再將紙片展開鋪平后得到的圖形是（）

【變式5-2]（2020秋?石景山區期末）剪紙是我國傳統的民間藝術.如圖①，②將一張紙片進行兩次對折

后，再沿圖③中的虛線裁剪，最后將圖④中的紙片打開鋪平，所得圖案應該是（）

【變式5-3】（2021?邢臺三模）一張正方形紙片按圖1、圖2箭頭方向依次對折后，再沿圖3虛線裁剪得到

圖4,把圖4展開鋪平的圖案應是（)

【題型6設計軸對稱圖案】

【例6】（2021?石城縣模擬）如圖是由三個全等的菱形拼接而成的圖形，若平移其中一個菱形，與其他兩

個菱形重新拼接（無覆蓋，有公共頂點），并使拼接成的圖形為軸對稱圖形，則平移的方式共有（）

A.5種B.6種C.7種D.8種

【變式6-1]（2021?武漢模擬）婦圖，在5X5的小正方形網格中有4個涂陰影的小正方形，它們組成一個

軸對稱圖形.現在移動其中一個小正方形到空白的小正方形處，使得新的4個陰影的小正方形組成一個

抽對稱圖形，不同的移法有（）

C.16種D.20種

【變式6-2]（2021春?道縣期末）在4X4的方格中有五個同樣大小的正方形（陰影）如圖擺放，移動標號

為①的正方形到空白方格中，使其與其余四個正方形組成的新圖形是一個軸對稱圖形，這樣的移法有二

【變式6-3]（2021春?宛城區期末）如圖，已知點A、8、C都在方格紙的格點上.

（1）若把線段平移后，對應線段恰好為AM,請畫山線段AM；

（2）請你再找一個格點。，使點A、B、C、。組成一個軸對稱圖形，并畫出對稱軸.（請分別在下圖及

備用圖中盡可能多地設計出不同的圖形，格點。分別用。I、。2、。3、…表示）.

專題2.2軸對稱的性質+設計軸對稱圖案.重難點題型

【蘇科版】

衣

”勿沱以三

【知識點1軸對稱的性質】

(1)如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.

由軸對稱的性質得到一下結論：

①如果兩個圖形的對應點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱；

②如果兩個圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這

兩個圖形的對稱軸.

(2)軸對稱困形的對稱軸也是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.

【題型1利用軸對稱的性質求角度】

【例I】(2021春?沙坪壩區校級期中)如圖，用與△COB關于邊08所在的直線成軸對稱，人。的延

長線交BC于點D.若NB()D=46°,ZC=20°,則NAQC=0.

【分析】根據N4OC=N4+NAB。，求出N4,即可.

【解答】解：與△C08關于邊0B所在的直線成軸對稱,

AAOB@ACOB,

/.ZA=ZC=20°,ZABO=ZCBO,

ZBOD=ZA+ZABO,

???NA80=N8。。-乙480=乙6°-20°=26°,

/.ZABD=2ZABO=52°,

AZADC=ZA+ZABD=20°4-52°=72°,

故答案為：72.

【變式1-1］（2021春?漢臺區期末）如圖，NMON內有一點P,點夕關于OM的軸對稱點是G,點夕關于

ON的軸對稱點是H,G”分別交OM、ON于A、8點，若NMON=35°,則NGO〃=.

【分析】連接OP,根據軸對稱的性質可得NGOW=NMOP,/PON=NNOH,然后求出NGO〃=2N

MOM代入數據計算即可得解.

【解答】解：如圖，連接OP,

'/P點關于OM的軸時稱點是G,P點關于ON的軸對,稱點是H,

/./GOM=NMOP,/PON=ZNOH,

/.ZGOH=ZGOM+ZMOP+ZPON+ZNOH=2ZMON,

???NMON=35°,

???NGO”=2X35°=70°.

故答案為：70°.

【變式1?2】（2021春?雁塔區校級期末）如圖，點。為NAO4內一點，分別作出，點關于（）8、OA的對稱

點P1,尸2,連接P1P2交OB于M,交OA于N,若NAOB=40°,貝IJ/MPN的度數是（）

B

O

Pi

A.90°B.100°C.120°D.140°

【分析】首先證明NP+NP2=40°,可得NPMN=NPi+NMPPi=2NPi,ZPNM=ZPI+ZNPP2=2

NP2,推出NPMN+/產NM=2X40°=80°,可得結論.

【解答】解：TP點關于OB的對稱點是Pi,P點關于OA的對稱點是尸2,

：.PM=P\M,PN=P2N,NP2=NP2PMNPI=NPPM,

???NAOB=40°,

???NP2Ppi=140°,

.*.ZPI+ZP2=40°,

:./PMN=NP\+/MPPi=2NP\,4PNM=/PZ+4NPP2=2/P2,

:?NPMN+NPNM=2X40°=80°,

AZMP/V=I8O°-(NPMNMPNM)=180°-80°=100°,

故選：B.

【變式1-3］（2020?射陽縣校級模擬）如圖，四邊形A4C。中，。，點4關于AC的對稱點夕恰好

落在CO上，若NBAO=100°,則/AC8的度數為（)

A.40°B.45°C.60°D.8()°

【分析】連接A8,BB',過A作A￡_LCO于E,依據N84C=N8AC,NDAE=NB'AE,即可得出NCA￡=

\ZBAD,再根據四邊形內角和以及三角形外角性質，即可得到乙4c8=/AC8'=90°-^ZBAD.

【解答】解：如圖，連接48,88,過A作AE_LC。于E,

??,點8關于AC的對稱點明恰好落在CD上，

?AC垂直平分58’,

：.AB=AB',

：,ZBAC=ZBAC,

,：AB=AD,

：.AD=AB',

又,.?A￡_LCQ,

：.ZDAE=ZB'AE,

1

：.ZCAE=^ZBAD=50Q，

乙

又???/4EC=90°，

???/ACB=NAC8'=40°,

故選：A.

【題型2利用軸對稱的性質求線段】

【例2】（2021?深圳模擬）如圖，在△ABC中，點。，E分別在邊A8,BC上，點A與點E關于直線CQ

對稱.若AB=7,AC=9,BC=\2,則△QBE的周長為（）

A.9B.1（）C.11D.12

【分析】根據軸對稱的性質得到：AD=DE,AC=CE,結合已知條件和三角形周長公式解答.

【解答】解：：點A與點E關于直線CD對稱，

:?AD=DE,AC=CE=9,

?：AB=1,AC=9,BC=\2,

ADBE的周長=5D+OE+8E=8￡>+人。+8C-AC=AB+BC-AC=l+\2-9=10.

故選：B.

【變式2-1]（2021春?海口期木）如圖所示，點廠關于直線。4、08的對稱點分別為C'、D,連接C。，交

。4于M,交OB于M若△尸MN的周長為8cm,則CO為cm.

【分析】由軸對稱的性質可知PM=CM,PN=DN,再由△PMN的周長為8（v〃，即可求得C。的長度.

【解答】解：???點P關于直線04、08的對稱點分別為C、D,

APM=CM,PN=DN,

：.PN+PN+MN=CM+DN+MN,

???△PMN的周長=CO,

???△PMN的周長為8c〃?，

CZ）=8c〃?，

故答案為：8.

【變式2-2]（2021春?驛城區期末）如圖，點P是/408外的一點，點M,N分別是NAOB兩邊上的點，

點P關于04的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關于0B的對稱點R落在MN的延長線上.若PM

=3c〃?，PN=4cm,MN=4.5cm,則線段QR的長為.

A

【分析】根據軸對稱的性質得到8垂直平分PQ,0B垂直平分PR,則利用線段垂直平分線的性質得

QM=PM=3cm,RN=PN=4m,然后計算QN,再計算QN-RN即可.

【解答】解：???點P關于。人的X寸稱點Q恰好落在線段MN上，

OA垂直平分PQ,

.\QM=PM=3cm,

QN=MN-QM=4.5an-3o〃=1.5。〃,

???點P關于OB的對稱點R落在MN的延長線上，

???OB垂直平分PR,

:,RN=PN=4cm,

QR=QN+RN=1.5cni+4cni=5.5cm.

故答案為5.5c/n.

【變式2-3]（2020春?雙流區校級期末）如圖，△A8C中，NAC8=90°,BC=6,AC=8,48=10,動

點P在邊上運動（不與端點重合），點P關于直線AC,BC對稱的點分別為尸1,巴.則在點尸的運

動過程中，線段P1P2的長的最小值是.

【分析]連接CP，依據軸對稱的性質，即可得到線段PiP2的長等于2CP,依據CP的最小值即可得出

線段PiP2的長的最小值.

【解答】解：如圖，連接CP,

???點尸關于直線AC,BC對稱的點分別為Pi,尸2,

：,P\C=PC=P1C,

???線段PiP2的長等于2cP,

如圖所示，當CFJ_A8時,C尸的長最小,此時線段PiP2的長最小,

???NAC8=90°,8c=6,AC=8,48=10,

.?.6=等/\D等=4.8,

???線段P1P2的長的最小值是96,

故答窠為:9.6.

【題型3畫軸對稱圖形】

[例3]（2020春?荷塘區期末）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，給出了格點△ABC

（頂點是網格線的交點）.

（1）請畫出△A3C關于直線/對稱的△AiBiCi；

（2）將△A4Ci再向下平移5個單位，畫出平移后得到的232c2,并計算△A282Q的面積.

【分析】（1）分別作出A、8、C關于直線/的對稱點4、&、。即可;

（2）利用網格特點和平移的性質畫出點4、Bi、。的對應點42、及、C2得到AA282c2,然后利用一個

矩形的面積分別減去三個直角三角形的面積去計算282c2的面積.

【解答】解：（1）如圖，Z\A出Ci為所作;

（2）如圖，△42B2C2為所作,

△A282c2的面積=3X2-±x3Xl-aX2X1-*x2><1=2.5.

【變式3/】（2021春?秦都區期末）請在網格中完成下列問題:

（1）如圖1,網格中的△AOC與△￡>￡〃為釉對稱圖形，請用所學軸對稱的知識作出△A3C與的

對稱軸直線PQ；

（2）如圖2,請在圖中作出△ABC關于直線MN對稱的△43C.

國1聲U

【分析】（1）利用網格特點作A。、CT的垂直平分線即可；

（2）利用網格特點，分別作4B、C關于直線MN的對稱點即可.

【解答】解：（1）如圖，直線PQ為所作；

（2）如圖,△4萬。為所作.

【變式3-2](2021秋?南昌期中)如圖，將已知四邊形分別在格點圖中補成關于己知宜線：I、…、〃為

【分析】根據軸對稱圖形的對應點被對稱軸垂直平分的性質進行畫圖即可.

【解答】解：

頂點稱為格點，頂點都是格點的三角形稱為格點三角形，△ABC為格點三角形.

(1)如圖，圖1,圖2,圖3都是6X6的正方形網格，點M,點N都是格點，請分別按要求在網格中

作圖：

①在圖1中作△MNP,使它與△A8C全等；

②在圖2中作△MDE,使△MDE由aABC平移而得；

③在圖3中作△NFG,使△NFG與AABC關于某條直線對稱；

（2）如圖4,是一個4X4的E方形網格，圖中與AABC關于某條直線軸對稱的格點三角形有個.

②根據平移的性質畫出圖形即可.

③根據軸對稱的性質畫出圖形即可.

（2）根據軸對稱的性質畫出圖形即可解決問題.

【解答】解：（1）①如圖1中，△MNP即為所求作.

②如圖2中，2MDE即為所求作.

③如圖3中，2NFG即為所求作.

G

圖4

（2）如圖4中，有6個三角形.

故答案為：6.

【題型4利用軸對稱的性質解折疊問題】

【例4】（2021春?錦江區期末）如圖，在中，NAC8=90°,。是AC上一點，連接8D,將△以乂

沿8。對折得到△8。￡,若8E恰好經過點C,則下列結論錯誤的是（）

C.NBDE-NABD=90°D.S“BD：S?DE=BC：CE

【分析】由折疊的性質直接判斷A；由折疊的性質得到3cg△E8”及△依。且△C8。，進而得出5c

=BF,NDCB=NDFB=90'：DF=DC,根據直角三角形的兩銳角互余即可判斷B,根據角的和差判

斷C；再根據三角形的面積公式判斷D

【解答】解：如圖，延長EO交48于點凡

???△BD4沿BD對折得到

:.△BDAgABDE,

：,/ABD=/DBE,DA=DE,

故A正確，不符合題意;

由△3DA0ABDE可知,

NA=N￡AB=BE,

在△ABC和AEB/中，

乙4=乙E

AB=EB，

AARC=AARC

,△ABgAEBF(ASA),

BC=BF,

在△尸8。和△CB。中，

BF=BC

乙DBF=乙DBC，

BD=BD

:?△FBD沿ACBD(SAS),

:?/DCB=/DFB=90",DF=DC,

NABC=NCDE,

：.^CDE=2ZABD,

故B正確，不符合題意；

?；NBDE=NBDC+/CDE=/BDC+2NABD,

:.NBDE-ZABD

=ZBDC+2ZABD-ZABD

=ZBDC+ZABD

=/BDC+/DBC

=90°,

故C正確，不符合題意；

SAABD=^A^DF,S&CDE=W?CE*CD,

.S^ABD=二AB

,?S“DE~\CECD~CE'

故。錯誤，符合題意；

故選：D.

【變式4-1］（2021春?于洪區期末）如圖，中，NAC3=90°,將△ABC沿著一條直線折疊后，使

點A與點。重合（如圖②）

（1）在圖①中畫出折痕所在的直線，，問直線/是線段AC的」12^線；

（2）設直線/與A8、AC分別相交于點M、N,連接CM,若△CM3的周長是21c”?，A3=14a〃，求8c

的長.

【分析】（1）由折疊的性質可得/VV=NC,NANM=NCNM=90°,即直線/是線段人。的中垂線;

（2）由折疊的性質可得AM=CM,即可求3C的長.

【解答】解：（1）如圖①，

???將△A8C沿著一條直線折置后，使點八與點。重合，

:,AN=NC,NANM=NCNM=90°,

???直線/是線段AC的中垂線，

故答案為：中垂；

（2）???將aABC沿著一條直線折疊后，使點A與點C重合，

，AM=CM,

??,ACMB的周長是21（7〃，AB=14（77/,

；?21=CM+BM+BC=AM+BM+CB=AB+BC=14+BC,

BC=7cm.

【變式4-2]（2021?啟東市開學）如圖，將RtZ\/WC沿斜邊翻圻得到△AQC,點E,“分別為0c8c邊

上的點，且/E4尸=4ND4艮試猜想OE,BF,￡尸之間有何數量關系，并證明你的猜想.

【分析】通過延長CR將。E和8尸放在一起，便于尋找等量關系，通過兩次三角形全等證明，得出結

論.

【解答】猜想：DE+BF=EF.證明：延長C凡作N4=N1,如圖：

???將RlZXABC沿斜邊翻折得到△AOC,點自廠分別為。C,邊上的點，且NE4F=±ND4B,

???N1+N2=N3+N5,N2+N3=N1+N5,

???Z4=Z1,

AZ2+Z3=Z4+Z5,

：,ZGAF=ZFAE,

Z.4=Z.1

在aAGB和△AEO中，AB=AD

Z.ABG=Z-ADE

A^AGB^/XAED(ASA),

：.AG=AE,BG=DE,

AG=AE

在Z\AG/和/kAE尸中，/.GAF=Z.EAF，

AF=AF

/.(SAS),

:.GF=EF,

：.DE+BF=EF.

證畢.

【變式4-3］（2020秋?建鄴區期末）A8CO是長方形紙片的四個頂點，點石、F、，分別邊A。、BC、AD

上的三點，連接石尸、FH.

（1）將長方形紙片的A4CQ按如圖①所示的方式折疊，FE、FH為折痕，點4、C、。折疊后的對應點

分別為B'、C'、。'，點8,在.FC上，則NEW的度數為；

（2）將長方形紙片的ABC。按如圖②所示的方式折疊，FE、/H為折痕，點B、C、。折疊后的對應點

分別為8'、C'、ZJ（8‘、C的位置如圖所示），若NBFC'=16°,求NEF”的度數；

（3）將長方形紙片的4BCZ）按如圖③所示的方式折疊，FE、FH為折痕，點B、C、。折疊后的對應點

分別為B'、C'，O'（B'、C的位置如圖所示）.若NEFH=〃°,則NB'FC的度數為.

【分析】(1)由折疊可得NBFE=N8'FE,ZCFH=ZCFH,進而得出工NEF”=2(/夕FB+N

C'FC),即可得出結果；

(2)可設N8正￡=N"FE=x,ZCFH=ZCfFH=y,根據2x+160+2y=180°,得出x+y=82°,進

而得到NEFH=x+16°+y=\6c+82°=98°；

(3)可設N8FE=NB‘FE=x,ZCFH=ZCfFH=y,即可得到x+y=180°-n,再根據NEF”=

NB'FE+ZCFH-ZB1FC=x+y-ZB'FC,

即可得到N8'FC=v+y-ZEF//=180°-n°-n=180=-2n°.

【解答】解：(1),:沿EF、F”折疊，

:?/BFE=NB，FE,NCFH=4CFH,

???點夕在C'二上,

：.ZEFH=ZB'FE+ZC1FH=^(ZB'FB+ZC1FC)=1x180°=90°,

故答案為：90°：

(2)???沿EGF”折疊，

???可設尸E=N"FE=x,^CFH=ZCFH=y,

VZB'FC1=16°,

???2x+160+2y=180°,

???x+y=82°,

：.ZEFH=x+16°+y=16°+82°=98°；

(3)???沿E尸、尸"折疊，

???可設FE=x,/CFH=/CFH=y,

.,.ZEFH=180°-(NBFE+NCFH)=180°-(x+y),

VZEFH=n0,

.??x+)，=180°-n°,

?：ZEFH=ZB'FE+ZC1FH-ZBrFC'=x+y-ZBZFC',

：,ZB'FC'=x+y-ZEFH=180°-n°-n=180°-2n,

故答案為：180°-2〃°.

【題型5剪紙問題】

【例5】(2021?門頭溝區二模)有一正方形卡紙，如圖①，沿虛線向上翻折，得到圖②，再沿虛線向右翻

折得到圖③，沿虛線將一角剪掉后展開，得到的圖形是()

【分析】嚴格按照圖中的方法親自動手操作?下，即可很直觀地呈現出來.

【解答】解：圖①和圖②中的虛線折痕是正方形卡紙的兩條水平和鉛直的對稱軸，由圖3可知，正方形

卡紙被分成了4個大小相同的小正方形，沿虛線將一角剪掉，表面看是剪掉了一個直角三角形，實際是

剪掉了一個菱形.

故選：D.

【變式5-1]（2020秋?恩施市期末）將一張正方形按圖1,圖2方式折疊，然后用剪刀沿圖3中虛線剪掉

一角，再將紙片展開鋪平后得到的圖形是（）

【分析】可以動手具體操作一下看看，可以直觀形象的得到答案.

【解答】解：由于圖3的虛線平行于底邊，剪去的三角形后，展開的是矩形，

故選:B.

【變式5-2]（2020秋?石景山區期末）剪紙是我國傳統的民間藝術.如圖①，②將一張紙片進行兩次對折

后，再沿圖③中的虛線裁剪，最后將圖④中的紙片打開鋪平，所得圖案應該是（）

【分析】對于此類問題，只要依據翻折變換，將圖（4）中的紙片按順序打開鋪平，即可得到一個圖案.

【解答】解：按照圖中的順序，向右對折，向上對折，從斜邊處剪去一個直角三角形，從直角頂點處剪

去一個直角梯形，展開后實際是從原菱形的四邊處各剪去一個直角三角形，從菱形的中心剪去一個六邊

形，可得：

o

故選:故

【變式5-3］（2021?邢臺三模）一張正方形紙片按圖1、圖2箭頭方向依次對折后，再沿圖3虛線裁剪得到

圖4,把圖4展開鋪平的圖案應是（）

【分析】嚴格按照圖中的順序親自動手操作一下即可.

【解答】解：嚴格按照圖中的順序向右對折，向上對折，從下面中間剪去一個半圓，展開得到的圖形是

故選：D.

【題型6設計軸對稱圖案】

［例6］（2021?石城縣模擬）如圖是由三個全等的菱形拼接而成的圖形，若平移其中一個菱形，與其他兩

個菱形重新拼接（無覆蓋，有公共頂點），并使拼接成的圖形為軸對稱圖形，則平移的方式共有（）

A.5種B.6種C.7種D.8種

【分析】根據軸對稱圖形的定義判斷即可.

【解答】解：如圖，把菱形A平移到①或②或⑤或⑥的位置可得軸對稱圖形.

把菱形B平移到③或④或⑤或⑦的位置可得軸對稱圖形.共有8種方法.

②

故選：D.

【變式6-1】（2021?武漢模擬）如圖，在5X5的小正方形網格中有4個涂陰影的小正方形，它們組成一個

軸對稱圖形.現在移動其中一個小正方形到空白的小正方形處，使得新的4個陰影的小正方形組成一個

軸對稱圖形，不同的移法有（）

A.8種B.12種C.16種D.20種

【分析】根據對稱性判斷出（2,三）的運動方法，可得結論.

【解答】解：移劭（2,三）到（1,三），（3,三），（5,三），（5,一），（5,四）共5種不同

的方法，

故一共有4X5=20（種）不同的方法，

故選：D.

【變式6-2]（2021春?道縣期末〕在4X4的方格中有五個同樣大小的正方形（陰影）如圖擺放，移動標號

為①的正方形到空白方格中，使其與其余四個正方形組成的新圖形是一個軸對稱圖形，這樣的移法有一

種.

①

故答案為：3.

【變式6?3】（2021春?宛城區期末）如圖，已知點4、B、C都在方格紙的格點上.

（1）若把線段8c平移后，對應線段恰好為4M,請畫出線段AM：

（2）請你再找一個格點。，使點A、8、C、。組成一個軸對稱圖形，并畫出對稱軸.（請分別在下圖及

【分析】（1）利用平移變換的性質作出圖形即可.

（2）根據軸對稱圖形的性質解決問題即可.

圖1圖2圖3圖4

專題2.3線段垂直平分線的性質和判定.重難點題型

【蘇科版】

》孫必I先力

*呼1交三

【知識點1線段垂直平分線的性質】

線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這

條線段的垂直平分線上.

【題型1利用線段垂直平分線的性質求線段】

【例1】（2021春?萊陽市期末）如圖，△A8C中，EO垂直平分A8,交A8于點D,交AC于點R交.BC

的延長線于點E,若BF=6,CF=2,則AC的長為.

【變式1-1]（2020秋?長寧區期末）如圖，在△居（2中，48的垂直平分線交44于點。，交BC于點、E.△

A8C的周長為19,△ACE的周長為13,則A8的長為（）

A.3B.6C.12D.16

【變式1-2]（2021春?高新區期末）如圖，在△ABC中，ZBA0900,A8的垂直平分線交BC于點￡

4c的垂直平分線交8c于點凡連接4七、AF,若△4EF的周長為2,則8c的長是（)

【變式1-3]（2U21春?乾縣期水）如圖，在△AAC中，AA邊的中垂線。田分別與人從AC'邊交于點/人

E兩點，邊的中垂線/G,分別與8C、AC邊交于點F、G兩點，連接BE、BG.若△8EG的周長為

16,GE=\.則AC的長為（）

A.13B.14C.15D.16

【題型2利用線段垂直平分線的性質求角度】

【例2】（2021?越秀區模擬）如圖，在RtZ\/WC中，ZC=90°,人8邊的垂直平分線。七交8C于點。，

交AB于點E,連接AO,AQ將NCW分成兩個角，且/CAO：ZBAD=2：5,則NAQC的度數是（）

A.70°B.75°C.80°D.85°

【變式2-1]（2021春?建平縣期末）如圖，已知△八8c1中，N'B=50°,產為△ABC?內一點，過點尸的直

線MN分別交A/3,BC于點M、N.若M在外的中垂線上,N在PC的中垂線上，則NAPC的度數為（）

BNC

A.100°B.105°C.115°D.120°

【變式2-2]（2021?市南區一模）如圖，在△ABC中，點。是邊A4和AC的垂直平分線。。、的交點,

若N30C=100°,則這兩條垂直平分線相交所成銳角a的度數為（）

C.50°D.80°

【變式2-3]（2021春?安國市期末）如圖，在△A4C中，/是三角形角平分線的交點，。是三邊垂直平分

線的交點，連接A/，Bl,AO,BO,若NAO8=140°,則NA/B的大小為（）

A.160°B.140°C.130°D.125°

【題型3線段垂直平分線的性質的應用】

【例3】（2020秋?甘井子區期末）如圖，電信部門要在公路/旁修建一座移動信號發射塔.按照設計要求,

發射塔到兩個城鎮M,N的距離必須相等，則發射塔應該建在（）

B\D

A.A處B.3處C.。處D.。處

【變式3?1】（2020秋?偃師市期末）元旦聯歡會上，同學們玩搶凳子游戲，在與A、8、。三名同學距離相

等的位置放一個凳子，誰先搶到凳子誰獲勝.如果將4、B、C三名同學所在位置看作△A8C的三個頂點,

那么凳子應該放在△ABC的（）

A.三邊中線的交點B.三條角平分線的交點

C.三邊上高的交點D.三邊垂直平分線的交點

【變式3-2］（2021春?寧陽縣期末）如圖，若記北京為A地，莫斯科為8地，雅典為C地，若想建立一個

貨物中轉倉，使其到4、B、。三地的距離相等，則中轉倉的位置應選在（）

A.三邊垂直平分線的交點B.三邊中線的交點

C.三條角平分線的交點D.三邊上高的交點

【變式3-3］（2021春?惠來縣期末）《中共中央國務院關于促進農民,增加收入若「政策的意見》中提出“進

一步精簡鄉鎮機構和財政供養人員，積極穩妥地調整鄉鎮建制，有條件的可實行并村”.《中共中央國

務院關于積極發展現代農業扎實推進社會主義新農村建設的若干意見》中明確提出“治理農村人居環境,

搞好村莊治理規劃和試點，節約農村建設用地”.以上兩個政策出臺后，山東陸陸續續開展了村莊合并

某地興建的幸福小區的三個出口人、8、C的位置如圖所示，物業公司計劃在不妨礙小區規劃的建設下，

想在小區內修建一個電動車充電樁，以方便業主，要求到三個出口的距離都相等，則充電樁應該在（）

A.三條邊的垂直平分線的交點處

B.三個角的平分線的交點處

C.三角形三條高線的交點處

D.三角形三條中線的交點處

【題型4線段垂直平分線的性質綜合】

【例4】（2021春?平頂山期中）如圖，在△A3C中，AE_L8c于點E,N8=22.5°,43的垂直平分線ON

交8C于點。，交A8于點N,_LAC于點八交A￡于點求證：

(1)AE=DE,

(2)EM=EC.

A

【變式4-1](2021春?高州市期末)如圖，在四邊形A8CZ)中，8。所在的直線垂直平分線段AC,過點A

作的平行線人尸交。。于尸，延長人8、DC交于點E.

求證：(l)AC平分NEAF；

(2)ZMD=Z￡.

【變式4-2](2021春?蓮湖區期末)如圖，在△ABC中，點石是BC邊上的一點，連接AE,B。垂直平分

AE,垂足為F,交AC于點，連接。E.

(1)若△八BC的周長為18,△OEC的周長為6,求的長.

(2)若NABC=30°,NC=45°,求NCQE的度數.

【變式4-3](2020秋?港池縣期末)在△43C中，AB的垂直平分線h交BC于點D,AC的垂直平分線h

交8c于點￡,A與/2相交于點G△AOE的周長為6.

(I)AD與BD的數量關系為.

(2)求6c的長.

(3)分別連接04,OB,OC,若△OBC的周長為16,求。4的長.

/1A

BD

【知識點2線段垂直平分線的判定】

到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上，（這樣的點需要找兩個）

【題型5線段垂直平分線的判定】

【例5】（2021秋?儀征市月考）如圖.AB=AC,MB=MC.求證：直線4M是線段的垂直平分線.

【變式5-1］（2021?沐陽縣校級開學）如圖.△ABC中，N8=NC,點尸、Q、R分別在AB、BC、4c上,

且PB=QC,QB=RC.

求證：點Q在尸扭的垂直平分線上.

A

【變式5-2］（2021秋?博白縣期末）如圖，△ABC中，NAC8=90°,AO平分N8AC,DE1ABfE.

（1）若N8AC=50°,求NEDA的度數；

（2）求證：直線入。是線段CE的垂直平分線.

BD

【變式5-3]（2020秋?雁塔區校級期末）如圖，在△A3C中，NZMC=90°,BE平分NABC,AM_L4c于

點、M交BE于點、G,A。平分NMAC,交8C于點O,交BE于點F.求證：線段垂直平分線段AD

【題型6線段垂直平分線的作法】

【例6】（2020秋?盤龍區期末）如圖，在△A8C中，分別以點A和點8為圓心，以相同的長（大于，4）

為半徑作弧，兩弧相交于點M和點M作直線MN交A8于點。，交AC于點￡,連接CQ.己知△CQE

為面積比△CD"的面積小5,則△AOE的面積為（）

【變式6-1]（2021春?碑林區校級期中）在△48C中，NONB、請用尺規作圖法，在4B上找一點P,

使NPCB=NB.（保留作圖痕跡，不寫作法.）

B

【變式6-2］（2021?碑林區校級模擬）尺規作圖：如圖，己知△A4C.請在AC邊上找一點。，使△A3。的

周長等于A3+AC（保留作圖痕跡，不寫作法）

【變式6-3】（2021春?長安區期末）尺規作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：