模型13、子彈打木塊模型

【模型概述】

模型1?

M；：O

X*千

圖例S

模型(1)地面光滑，系統的動量守恒。

規律(2)系統的機械能有損失，一般應用能量守恒定律。

(1)子彈未穿出木塊：兩者最終速度相等，機械能損失最多

①動量守恒：mvo=(m+M)v

「1719

Q=f'X=—wv0—(M+m)v

②能量守恒：22

兩種(2)子彈穿出木塊：兩者速度不相等，機械能有損失

情況①動量守恒：mvo=mv\-]-Mv2

_0=/7=：加52_(:加y；+:.

②能量守恒：222

【模型解題】

動量守恒定律、機械能守恒定律、動能定理等

解決動力學問題的三大觀點：

力學觀點:牛頓運動定律、運動學公式

能量觀點:動能定理、機械能守恒定律、能量守恒定律、功能關系動量觀點:動量守恒定律

【模型訓練】

【例1】如圖所示，質量為加的木塊固定于輕桿的一端，輕桿的另一端固定在。點的光滑轉軸上，木塊可

在豎直平面內繞。點自由擺動。質量為m的子彈以某一初速度從右側水平擊中靜止于。點正下方的木塊且

未穿出，之后輕桿偏離豎直方向的最大偏角為6。以后的過程中，每當木塊向左擺至最低點時，都有一顆同

樣質量、同樣速度的子彈射入木塊并留在木塊中。已知木塊重心到。點的距離為L重力加速度大小為g。

若不計空氣阻力及子彈射入木塊的時間不考慮子彈射入后整體重心位置的改變，則當第n顆子彈擊中木塊

后，"顆子彈與木塊產生的總熱量為()

o

4nmgL（l-cos。）

A.4mgZ（l-cos^）B.----------------------

n+1

C2〃加￡g（l-cos。）D8〃冽g￡（l-cos。）

〃+1〃+1

【答案】B

【詳解】設子彈的初速度大小為%,對子彈射入木塊后的上升過程，由機械能守恒定律得

；（加+冽）片=（m+m）gZ（l-cos0）

解得

%=J2g￡（1-cos。）

由

mvQ=（加+加）巧

可知

%=2^2gZ（l-cos0）

對所有子彈及木塊，由動量守恒定律有

nmvQ=[m+nm）v2

解得

匕=旦

n+\

由能量守恒定律可知

Q=nmvl（冽+〃加）心

解得

4nmgL（1-cos3^

。-n+i

故選Bo

變式1.1如圖所示，用不可伸長的輕質細繩將木塊懸掛于一點。，開始木塊自由靜止在。點下方的尸點。質

量為機的彈丸水平向右射入質量為河=40機的木塊，第一次彈丸的速度為W=205m/s,打入木塊后二者共

同擺動的最大擺角為當其第一次返回P位置時，第二粒相同的彈丸以水平速度匕又擊中木塊，使木塊向

右擺動且最大擺角仍為a,彈丸均未射出木塊，木塊和彈丸形狀大小以及空氣阻力均忽略不計，則第二粒

彈丸水平速度丫2的大小為()

A.664m/sB.581m/sC.498m/sD.415m/s

【答案】D

【詳解】第一粒彈丸射入木塊中，根據動量守恒可得

mvx=(M+m)v

解得共同速度為

41

打入木塊后二者共同擺動的最大擺角為c,設繩子長度為根據機械能守恒可得

；(M+m)v2=(M+m)Z(l-cosa)

當其第一次返回P位置時，第二粒相同的彈丸以水平速度約又擊中木塊，使木塊向右擺動且最大擺角仍為a,

根據動量守恒可得

mv2-(M+m)v=(M+2m)v

根據機械能守恒可得

g(M+2m)v'2-(M+cosa)

聯立可得

8383

v=v——v,=——x205m/s=415m/s

41141

故選D。

變式1.2如圖所示為沖擊擺實驗裝置，一飛行子彈以速度v射入靜止沙箱后與沙箱合為一體，共同擺起一

定的高度。已知子彈和沙箱的質量分別為"，和M,輕繩長重力加速度大小為g,子彈和沙箱均看成質點,

射入時間極短且忽略空氣阻力。下列說法正確的是()

A.子彈射入沙箱的過程系統滿足動量守恒、機械能守恒

22

niV

B.子彈和沙箱合為一體的瞬間輕繩的拉力為b=(加+M)g+7—--

C.子彈和沙箱合為一體后一起上升的最大高度與輕繩的長度有關

m2v2

D.子彈和沙箱合為一體后一起上升的最大高度為九

g(m+M)2

【答案】B

【詳解】A.由于作用時間極短，外力的沖量忽略不計,所以過程滿足動量守恒。碰撞后二者粘在一起，發

生非彈性碰撞，機械能有損失，故A錯誤；

B.設碰撞后瞬間共同速度為v',取水平向右為正方向,由動量守恒定律得

mv=(m+M)v'

對48整體，有

,2

F—(m+M)g—(m+M)—

聯立解得

門,…m2v2

F=("?+M)g+]-----——

(zn+M)L

故B正確；

CD.子彈和沙箱合為一體后一起上升時根據機械能守恒得

1、，,，、，

—(m+M)v=(m+M)gh

結合

,mv

v=--------

m+M

解得

2g(ffl+Af)2

可知最大高度與繩長上無關，故CD錯誤。

故選B。

【例2】如圖所示，子彈水平射入放在光滑水平地面上靜止的木塊后不再穿出，此時木塊動能增加了10J,

已知木塊質量大于子彈質量，則此過程中產生的熱量不可能為（）

--------?

A.20JB.35JC.50JD.120J

【答案】A

【詳解】設子彈初速度為，打入木塊后速度v,根據動量守恒定律有

mv0+m)v

打入深度

=-t

2

根據功能關系有

△”=為木，Q=fd

-=20J

故選Ao

變式2.1如圖所示，質量為M的木塊放在光滑水平面上，一顆質量為小的子彈以一定速度水平擊中木塊后

留在木塊中，此過程木塊動能增加了8J,產生的內能可能為（）

czr>

m

【答案】A

【詳解】由動量守恒定律得

mv0=(M+m)V1

木塊獲得的動能

1,

E-Mv：

產生的熱量

22+M

2=-mv0-(m+A/)v1=—Ek>8J

2m

故選Ao

變式2.2如圖所示，質量為M=9kg的木塊靜止于光滑水平面上，一質量為〃?=1kg的子彈以水平速度

%=100m/s打入木塊并停在木塊中，下列說法正確的是()

A.子彈打入木塊后子彈和木塊的共同速度為v=8m/s

B.子彈對木塊做的功〃=500J

C.木塊對子彈做正功

D.子彈打入木塊過程中產生的熱量。=4500J

【答案】D

【詳解】A.根據動量守恒

mv0=(m+M)v

子彈打入木塊后子彈和木塊的共同速度為

v==1Om/s

m+M

故A錯誤；

B.根據動能定理，子彈對木塊做的功

1,

W=-Mv2=450J

2

故B錯誤；

C.子彈動能減小，木塊對子彈做負功，故C錯誤；

D.根據能量守恒，子彈打入木塊過程中產生的熱量

1,1,

2=-mv?--(m+A/)v2=4500J

故D正確。

故選D。

【例3】如圖所示，靜止在光滑水平桌面上的物塊A和B用輕質彈簧栓接在一起，彈簧處于原長。一顆子

彈沿彈簧軸線方向射入物塊A并留在其中，射入時間極短。下列說法正確的是（）

%

6IA|JML|B

7777777777777777/777777777777777Z

A.子彈射入物塊A的過程中，兩物塊的動量守恒

B.子彈射入物塊A的過程中，子彈對物塊A的沖量大小大于物塊A對子彈的沖量大小

C.子彈射入物塊A的過程中，子彈和物塊B的機械能守恒

D.兩物塊運動過程中，彈簧最短時的彈性勢能等于彈簧最長時的彈性勢能

【答案】D

【詳解】A.子彈射入物塊A的過程中，物塊A受到子彈的摩擦力作用，A的動量增大，所以兩物塊的動

量不守恒，故A錯誤；

B.子彈射入物塊A的過程中，子彈對物塊A的作用力與物塊A對子彈的作用力是一對相互作用力，等大

反向，所以子彈對物塊A的沖量大小等于物塊A對子彈的沖量大小，故B錯誤；

C.子彈射入物塊A的過程中，有摩擦生熱，子彈和物塊B的機械能不守恒，故C錯誤；

D.兩物塊運動過程中，彈簧最短時與彈簧最長時都是兩物體具有共同速度時，有

(加A+mi)Vl=(機A+m\+%

1/

妝Ar+n\+〃％)%

所以彈簧最短時的彈性勢能等于彈簧最長時的彈性勢能，故D正確。

故選D。

變式3.1如圖，水平彈簧右端固定在豎直墻壁上，左端固連在物塊上，水平面光滑。開始時物塊靜止，彈

簧處于原長。一顆子彈以水平速度vo射入物塊，并留在物塊中。若子彈和物塊作用時間極短，下列有關說

法中正確的是（）

%

-----?____

okAAAAAAAAAA

A.子彈開始打物塊到與物塊共速，子彈、物塊組成的系統動量守恒

B.子彈開始打物塊到彈簧壓縮至最短，子彈、物塊、彈簧組成的系統機械能守恒

C.子彈開始打物塊到彈簧壓縮至最短，子彈、物塊、彈簧組成的系統動量守恒

D.子彈物塊以相同速度壓彈簧的過程中，物塊、子彈、彈簧組成的系統動量守恒

【答案】A

【詳解】A.由于子彈和物塊作用時間極短，則在打擊過程中，內力遠遠大于外力，可知子彈開始打物塊到

與物塊共速，子彈、物塊組成的系統動量守恒，A正確；

B.根據上述，子彈開始打物塊到與物塊共速過程類似完全非彈性碰撞，該過程有一部分動能轉化為內能，

則子彈開始打物塊到彈簧壓縮至最短，子彈、物塊、彈簧組成的系統機械能減小，不守恒，B錯誤；

C.打擊過程子彈與物塊動量守恒，打擊完成后，子彈與木塊向右壓縮彈簧，系統所受外力的合力不為0,

該過程動量不守恒，可知子彈開始打物塊到彈簧壓縮至最短，子彈、物塊、彈簧組成的系統動量不守恒，C

錯誤；

D.根據上述可知，子彈物塊以相同速度壓彈簧的過程中，物塊、子彈、彈簧組成的系統動量不守恒，D錯

誤。

故選Ao

變式3.2如圖，水平彈簧右端固定在豎直墻壁上，左端連接在物塊上，水平面光滑.開始時物塊靜止，彈簧

處于原長。一顆子彈以水平速度%射入物塊，并留在物塊中。若子彈和物塊作用時間極短，下列有關說法

中正確的是（）

、

、

、

、

、

、

、

--%-?_____、

、

、

p、

、

|pwwww-、

、

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\'

A.從子彈開始打物塊到彈簧壓縮至最短，子彈、物塊、彈簧組成的系統動量守恒

B.從子彈開始打物塊到彈簧壓縮至最短，子彈、物塊、彈簧組成的系統機械能守恒

C.從子彈開始打物塊到與物塊共速，子彈、物塊組成的系統動量守恒

D.子彈和物塊一起壓縮彈簧的過程中，物塊、子彈、彈簧組成的系統動量守恒

【答案】C

【詳解】A.從子彈開始打物塊到彈簧壓縮至最短，子彈、物塊、彈簧組成的系統所受合外力不為零，所以

動量不守恒，故A錯誤;

B.一顆子彈以水平速度%射入物塊，并留在物塊中，子彈、物塊、彈簧組成的機械能損失最多，故B錯誤;

C.子彈開始打物塊到與物塊共速，子彈和物塊作用時間極短，內力遠大于外力，子彈、物塊組成的系統動

量守恒，故C正確；

D.子彈和物塊一起壓縮彈簧的過程中，物塊、子彈、彈簧組成的系統合外力不為零，動量不守恒，故D

錯誤。

故選C。

【例4】如圖所示，木塊靜止在光滑水平面上，兩顆不同的子彈A、B從木塊兩側同時射入木塊，最終都停

在木塊內，這一過程中木塊始終保持靜止。若子彈A射入的深度大于子彈B射入的深度，則（）

AB

r-T—T—R

11)<I1

口L.一▲一、▲一J

A.子彈A的質量一定比子彈B的質量大

B.入射過程中子彈A受到的阻力比子彈B受到的阻力大

C.子彈A在木塊中運動的時間比子彈B在木塊中運動的時間長

D.子彈A射入木塊時的初動能一定比子彈B射入木塊時的初動能大

【答案】D

【詳解】BD.由于木塊始終保持靜止狀態，則兩子彈對木塊的推力大小相等，則兩子彈所受的阻力大小相

等。設為/根據動能定理得對A子彈

得

際A=4A

對B子彈

-fdB=Q-EkB

得

/B=%

由于

"A>"B

則子彈入射時的初動能

，A>GCB

故B錯誤，D正確；

A.對兩子彈和木塊組成的系統動量守恒，則有

則得

mA<me

故A錯誤；

C.子彈A、B從木塊兩側同時射入木塊，木塊始終保持靜止，分析得知，兩子彈在木塊中運動時間必定相

等，否則木塊就會運動，故C錯誤。

故選D。

變式4.1如圖所示，木塊靜止在光滑水平面上，子彈A、B從兩側同時水平射入木塊，木塊始終保持靜止,

子彈A射入木塊的深度是B的3倍。假設木塊對子彈阻力大小恒定，A、B做直線運動且不會相遇，則A、

B運動的過程中，下列說法正確的是（）

AB

口=gXJ

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\w

A.木塊和子彈A、B系統動量不守恒

B.子彈B的初速度大小是子彈A的初速度大小的3倍

C.子彈B的質量是子彈A的質量的3倍

D.若子彈A向右射入木塊，與木塊相對靜止后，子彈B再向左射入木塊，最終A進入的深度仍是B

的3倍

【答案】C

【詳解】A.以木塊和子彈A、B組成的系統為研究對象，系統受合外力是零，則有系統的動量守恒，A錯

誤；

BC.以木塊和子彈A、B組成的系統為研究對象，取水平向右為正方向，由動量守恒定律可得

mAvA-mBvB=0

則有

%VA=mBVB

即子彈A的初動量與子彈B的初動量大小相等，由于木塊始終保持靜止，木塊受合力是零，可知兩子彈對

木塊的作用力大小相等，由牛頓第三定律可知，兩子彈受木塊的阻力大小相等，設為母子彈射入木塊的

深度為d,由動能定理，對子彈A有

//A=0-%

可得

4/A=%

對子彈B有

0-

—FfdB=￡砥

可得

4dB=凡8

由于

服=3%

則有兩子彈初動能的關系為

ERA=3EkB

由動能公式可得

22

□EkA-c

2mA

F-

?kB=-------

2mB

解得

"B=3〃7A

即子彈B的質量是子彈A的質量的3倍；由于

7"AVA=mBVB

可得

VA=3VB

即子彈A的初速度大小是子彈B的初速度大小的3倍，B錯誤，C正確;

D.若子彈A向右射入木塊，子彈A與木塊組成的系統動量守恒，子彈A與木塊相對靜止時有共同的速度,

由能量守恒定律可知，系統減少的機械能

△E="人<

可得

"x<“A

子彈B再向左射入木塊，由于子彈A、B與木塊組成的系統動量守恒，由以上分析可知

mAVA=mBVB

則有系統的初動量是零，由動量守恒定律可知，最后A、B與木塊都靜止，子彈B射入木塊運動中，由能

量守恒定律可知，系統減少的機械能

?'=Ffd;>E皿

可得

d；>dB

由以上分析可知

D錯誤。

故選C。

變式4.2如圖所示，木塊在光滑水平面上，子彈A、B從木塊兩側同時射入木塊，最終都停在木塊中，這一

過程中木塊向右運動，最后靜止在水平面匕設子彈A、B的初動量大小分別為PA、PB，相對木塊運動時,

受到木塊的恒定阻力，大小分別為〃、人，由此可判斷（）

3

□

ZZZ/Z

A</B

A.PA=PBB.PA>PBC.fA>fBD.

【答案】AC

【詳解】AB.對A、B以及木塊組成的系統動量守恒，有

PA-PB=0

則有

PA=PB

A正確，B錯誤;

CD.因為開始時木塊向右運動，知A對木塊的阻力大于B對木塊的阻力，即

fA>fB

C正確，D錯誤。

故選AC。

【例5】如圖所示，質量為機的長木板B放在光滑的水平面上，質量為9加的木塊A放在長木板的左端，

一顆質量為4機的子彈以速度V。射入木塊并留在木塊中，當木塊滑離木板時速度為小，木塊在木板上滑行

10o

的時間為t,則下列說法錯誤的是（）

7/////////////////////////////////////////A

A.木塊獲得的最大速度為方

B.木塊滑離木板時，木板獲得的速度大小為藜

O

C.木塊在木板上滑動時，木塊與木板之間的滑動摩擦力大小為普

12雙

D.因摩擦產生的熱量等于子彈射入木塊后子彈和木塊減少的動能與木板增加的動能之差

【答案】B

【詳解】A.對子彈和木塊A組成的系統，根據動量守恒定律

1,I1、

解得

此后木塊A與子彈一起做減速運動，則此時木塊的速度最大，選項A正確；

B.木塊滑離木板時，對木板和木塊（包括子彈）系統

mv.11.v

——-0=（—m+—mix—0+mv,

1616482

解得

_3%

v=---

22128

選項B錯誤；

C.對木板，由動量定理：

ft=mv2

解得

」一128f

選項C正確；

D.由能量守恒定律可知，木塊在木板上滑動時，因摩擦產生的熱量等于子彈射入木塊后子彈和木塊減少的

動能與木板增加的動能之差，選項D正確。

本題選錯誤的，故選B。

變式5.1如圖所示，質量機=245g的物塊（可視為質點）放在質量M=0.5kg的木板左端，木板靜止在光滑

水平面上，物塊與木板間的動摩擦因數〃=04,質量％=5g的子彈以速度%=300m/s沿水平方向射入物塊

并留在其中（時間極短），物塊最后恰好沒有滑離木板，取g=10m/s2,則在整個過程中（）

%m

A.物塊的最大速度為4m/sB.木板的最大速度為3m/s

C.木板的長度為2mD.木板的長度為3m

【答案】D

【詳解】A.子彈射入物塊并留在其中，根據動量守恒

movo=（加o+m）v

之后，在摩擦力的作用下，物塊做減速運動，則兩者共同的速度即物塊的最大速度，大小為

v=6m/s

故A錯誤；

B.物塊和子彈在木板上滑行時，木板做加速運動，物塊最后恰好沒有滑離木板，根據動量守恒

（“％+m^v=（^m0+m+M^v'

共同速度即木板的最大速度，大小為

v=2m/s

故B錯誤；

CD.由能量關系

22

+m0）gL-—（m+m0）v--（m+m0+M）v

得

L=3m

故C錯誤，D正確。

故選D。

變式5.2如圖所示，質量m=245g的物塊（可視為質點）放在質量M=0.5kg的木板左端，木板靜止在光滑

水平面上，物塊與木板間的動摩擦因數〃=0.4,質量%=5g的子彈以速度%=300m/s沿水平方向射入物塊

并留在其中（時間極短），物塊最后恰好沒有滑離木板，取g=10m/s2,則在整個過程中（）

/////////////////////////////////////

A.物塊的最大速度為4m/s

B.木板的最大速度為3m/s

C.物塊相對于木板滑行的時間為0.75s

D.木板的長度為3m

【答案】D

【詳解】A.子彈射入物塊并留在其中，根據動量守恒

movo=（加o+m）v

之后，在摩擦力的作用下，物塊做減速運動，則兩者共同的速度即物塊的最大速度，大小為

v=6m/s

故A錯誤；

B.物塊和子彈在木板上滑行時，木板做加速運動，物塊最后恰好沒有滑離木板，根據動量守恒

（m0+ni）v=^m0+m+M）V

共同速度即木板的最大速度，大小為

v=2m/s

故B錯誤；

C.物塊在木板上做勻減速直線運動，根據牛頓第二定律

ju[m0+m)g=(m0

物塊相對木板的滑行時間為

v-v

得

，=ls

故C錯誤；

D.木板做勻加速直線運動，根據牛頓第二定律

ju[m0+?7)g=Ma'

木板長度為物塊和木板的相對位移

丫2_/v，2

2a2a'

得

L=3m

故D正確。

故選D。

【例6】如圖所示，在光滑的水平地面上，質量為1.75kg的木板右端固定一光滑四分之一圓弧槽，木板長

2.5m,圓弧槽半徑為0.4m,木板左端靜置一個質量為0.25kg的小物塊8,小物塊與木板之間的動摩擦因數

〃=0.8。在木板的左端正上方，用長為1m的不可伸長的輕繩將質量為1kg的小球/懸于固定點。。現將小

球/拉至左下方，輕繩處于伸直狀態且與水平方向成0=30。角，小球以垂直繩向下的初速度V。釋放，到達

。點的正下方時以速度山=5m/s與物塊2發生彈性正碰。不計圓弧槽質量及空氣阻力，重力加速度g取10m/s2。

求：

（1）釋放小球/時速度的大小；

（2）物塊8上升的最大高度；

（3）物塊2與木板摩擦產生的總熱量。

77777777777777