園中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、

婆羅摩笈多（定理）模型

圓在中考數學幾何模塊中占據著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內容，本專題就圓形中的重要模

型（阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）進行梳理及對應試題分析，方

便掌握。

模型1.阿基米德折弦模型

【模型解讀】折弦:從圓周上任一點出發的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。

一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點。

如圖1所示，48和BC是。。的兩條弦（即42C是圓的一條折弦），BOAB,M是4BC的中點，則從M向

8C所作垂線之垂足。是折弦4BC的中點，即CD=AB+BD.

常見證明的方法:

1）補短法：如圖2,如圖，延長D2至尸，使BF=B4；

2）截長法：如圖3,在CD上截取DG=DB；

3）垂線法：如圖4,作射線48,垂足為〃。

例1.（2023?廣東?統考一模）定義：圓中有公共端點的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦.阿基米德折弦

定理：如圖1,AB和BC組成圓的折弦，AB>BC,M是弧ABC的中點，MF1AB于F,則AF=FB+BC.

如圖2,AABC中，NABC=60。，AB=8,BC=6,D是AB上一點，BD=1,作DE1AB交AABC的外接圓于E,

連接EA,則4EAC=°.

國132

例2.（2023?浙江溫州?九年級校考階段練習）阿基米德是古希臘最偉大的數學家之一，他曾用圖1發現了阿

基米德折弦定理.如圖2,已知8c為的直徑，月B為一條弦點M是48C上的點，MD1BC

于點D,延長"D交弦48于點E,連接若BM=&,AB=4,則/￡的長為（）

例3.（2023上?河南周口?九年級校考期末）問題呈現：阿基米德折弦定理：如圖1,N8和3c是。。的兩條

弦（即折線/5C是弦。。的一條折弦），BOAB,M是弧/3C的中點，則從M向所作垂線的垂足。

是折弦A8C的中點，即。。=/8+衣0,下面是運用"截長法"證明CD=AB+AD的部分證明過程-

證明：如圖2,在C2上截取CG=/5,連接MB,MC和MG.

是弧/5C的中點，

MA=MC,

圖4

⑵實踐應用：如圖3,“8C內接于。（9,BC>AB>AC,。是弧的中點，DELBC于點、E,依據阿

基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關系為.

⑶如圖4,等腰”8C內接于。。，AB=AC,。為弧上一點，連接D5,ZACD=45a,AC=6,BC=4,

求△ADC的周長.

例4.（2023?江蘇?九年級假期作業）問題呈現：阿基米德折弦定理：如圖1,和8c是。。的兩條弦（即

折線是圓的一條折弦），BC>AB,M是Z5C的中點，則從“向8C所作垂線的垂足。是折弦N3C的

是age的中點，：-MA=MC

請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分;

實踐應用：（2）如圖3,已知AZBC內接于。。，BC>AB>AC,。是/CS的中點，依據阿基米德折弦定

理可得圖中某三條線段的等量關系為.

（3）如圖4,已知等腰“8C內接于OO,AB=AC,D為4B上一點,連接。8,4CD=45。，于

點、E,ABZ）C的周長為4G+2，BC=2,請求出NC的長.

例5.（2023?河南商丘?統考二模）閱讀下面材料，完成相應的任務：

阿基米德是有史以來最偉大的數學家之一、《阿基米德全集》收集了已發現的阿基米德著作，它對于了解古

希臘數學，研究古希臘數學思想以及整個科技史都是十分寶貴的.其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周

上任一點出發的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦.一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的

折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點.

如圖1,48和2c是。。的兩條弦（即4BC是圓的一條折弦），8c是弧Z8C的中點，則從M向8c

所作垂線之垂足。是折弦/2C的中點，即CD=/B+B。.

小明認為可以利用“截長法"，如圖2：在線段C2上從C點截取一段線段CN=AB,連接.

小麗認為可以利用“垂線法"，如圖3：過點M作于點凡連接7k砥7k必gC

任務：(1)請你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續書寫出證明過程,

⑵就圖3證明：MC2-MB2=BC-AB.

模型2.婆羅摩笈多(定理)模型

【模型解讀】婆羅摩笈多(Brahmagupta)是七世紀時的印度數學家。

婆羅摩笈多定理：如果一個圓內接四邊形的對角線互相垂直相交,那么從交點向某一邊所引垂線的反向延

長線必經過這條邊對邊的中點。

如圖1,N5CD為圓內接四邊形，對角線/C和2D垂直相交，交點為過點E作2c的垂線所，延長EE

與4D交于點G；則點G是4D的中點。

如圖2,所示已知等腰Rt^ABC和等腰Rt^AED,作BHHAE交AG的延長線于點H,(1)(2)

若4F1CD,則G為2E中點。

2、如圖3,已知等腰用442。和等腰用A4ED,在4F的延長線取點〃，使得4F=FH；(1)SAACD=S^B￡；

(2)若尸為CD中點，則/GLBE。

例1.（2023?浙江?九年級專題練習）閱讀下列相關材料，并完成相應的任務.

布拉美古塔定理

婆羅摩笈多是古印度著名的數學家、天文學家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經提出了“婆羅摩笈多定

理"，也稱"布拉美古塔定理定理的內容是：若圓內接四邊形的對角線互相垂直，則垂直于一邊且過對角

線交點的直線平分對邊.

某數學興趣小組的同學寫出了這個定理的已知和求證.

己知：如圖，在圓內接四邊形/BCD中，對角線/C/AD,垂足為尸，過點尸作的垂線分別交DC

于點、H,M.求證：M是CD的中點.

任務：（1）請你完成這個定理的證明過程.（2）該數學興趣小組的同學在該定理的基礎上寫出了另外一個命題：

若圓內接四邊形的對角線互相垂直，則一邊中點與對角線交點的連線垂直于對邊請判斷此命題是—命

題.（填"真"或"假"）。⑶若尸。=2,HP=&BP=3,求MH的長.

例2.（2023?重慶?統考一模）閱讀下列相關材料，并完成相應的任務.婆羅摩笈多是古印度著名的數學家、

天文學家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經提出了"婆羅摩笈多定理"，也稱"布拉美古塔定理定理

的內容是："若圓內接四邊形的對角線互相垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線平分對邊

任務：（工）按圖（1）寫出了這個定理的已知和求證，并完成這個定理的證明過程；

已知：求證：證明：

（2）如圖（2）,在。O中，弦于連接尸分別是/C3C上的點，EM工BD

于G,于〃，當M是中點時，直接寫出四邊形ENFC是怎樣的特殊四邊形：.

圖⑴圖⑵

課后專項訓練

1.（2023,浙江溫州?校考三模）在幾何學發展的歷史長河中，人們發現了許多經久不衰的平面幾何定理，蘇

格蘭數學家羅伯特?西姆森（火。岳：岱儂。〃）發現從三角形外接圓上任意一點向三邊（或其延長線）所作垂線

的垂足共線，這三個垂足的連線后來被稱為著名的“西姆森線如圖，半徑為4的0。為“8C

的外接圓，C8過圓心。，那么過圓上一點尸作“8C三邊的垂線，垂足￡、尸、。所在直線即為西姆森線,

若ZFPB=ZC,EF=3,則——的值為（）

AB

2.（2023山東?校考二模）阿基米德折弦定理：如圖1,和8c是。。的兩條弦（即折線N3C是圓的一條

折弦），BOAB,M是弧/5C的中點，則從M向8c所作垂線的垂足。是折弦/3C的中點，即

CD=AB+&D.請應用阿基米德折弦定理解決問題：如圖2,已知等邊“8C內接于。。，AB=\Q,。為

。。上一點，ZABD=45°,AELBD^/^E,則ABDC的周長是

M

圖1

3.（2023春?山東威海?九年級校聯考期中）早在公元前古希臘數學家歐幾里得就發現了垂徑定理，即垂直于

弦的直徑平分弦.阿基米德從中看出了玄機并提出：如果條件中的弦變成折線段，仍然有類似的結論.

某數學興趣小組對此進行了探究，如圖1,/C和3c是。。的兩條弦（即折線段/CB是圓的一條折弦），

BC>AC,川是/C8的中點，過點胡作垂足為。，小明通過度量NC、CD、D3的長度，發

現點。平分折弦/CB,即8。=/。+。.小麗和小軍改變折弦的位置發現8O=/C+8仍然成立，于是

三位同學都嘗試進行了證明：

小軍采用了“截長法"（如圖2）,在3。上液取3E,使得3E=ZC,……

小麗則采用了“補短法"（如圖3）,延長8C至尸,使CF=4C,……

小明采用了“平行線法”（如圖4）,過M點作〃石過3C,交圓于點E,過點E作E尸15C,......

⑴請你任選一位同學的方法，并完成證明；

（2）如圖5,在網格圖中，每個小正方形邊長均為1,“8C內接于OO（/、B、C均是格點），點A、。關于

5c對稱，連接8D并延長交。。于點E,連接CE.

①請用無刻度的直尺作直線/,使得直線/平分ABCE的周長；②求ASCE的周長.

4.（2023,浙江嘉興?九年級校聯考期中）阿基米德折弦定理：如圖1,和2C是OO的兩條弦（即折線Z8C

是圓的一條折弦），BC>AB,M是/5C的中點，則從初向所作垂線的垂足。是折弦28C的中點，即

CD=AB+BD.下面是運用"截長法"證明CD=AB+BD的部分證明過程.

證明：如圖2,在C8上截取CG=/8,連接俏沖食70c和MG.???〃■是48C的中點，：-M4=MC

任務：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分;

（2）填空：如圖（3）,已知等邊“3C內接于OO,AB=2,。為OO上一點，NABD=45°,AE工BD與

點瓦則A8Z）C的周長是.

圖⑴圖⑵圖⑶

5.（2023秋?山西陽泉?九年級統考期末）請閱讀下列材料，并完成相應的任務:

阿基米德折弦定理

阿基米德（Archimedes,公元前287?公元前212年，

古希臘）是有史以來最偉大的數學家之一，他與牛頓、

高斯并稱為三大數學王子.

阿拉伯//-瓦n/M（973年?1050年）的譯文中保存了

阿基米德折弦定理的內容，蘇聯在1964年根據

//-瓦加就譯本出版了像文版《阿基米德全集》，第一題

就是阿基米德的折弦定理.

阿基米德折弦定理：S

如圖1,48和2C是O。的兩條弦（即折線/5C是

固的一條折弦），BOAB,M是弧/8C的中點，

則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中

（圖1）

點，即=+

這個定理有根多證明方法，下面是運用"垂線法"證

M

明CD=的部分證明過程.

證明：如圖2.作Affl?，射線A8,垂足為連接

MA,MB,MC.

???川是弧43C的中點，

（圖2）

.-.MA=MC....

任務：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分;

⑵填空：如圖3,已知等邊“8C內接于。為NC上一點，N4BD=15°,CELBD于點E,48=2五，

則折弦/八8的長是.

（圖3）

6.(2023?山西?校聯考模擬預測)閱讀以下材料，并按要求完成相應任務：

婆羅摩笈多(Brahmagupta)是古代印度著名數學家、天文學家，他在三角形、四邊形、零和負數的算術運

算規則、二次方程等方面均有建樹.他曾經提出了“婆羅摩笈多定理”，該定理也稱為“古拉美古塔定理"，該

定理的內容及部分證明過程如下：

古拉美古塔定理：如圖1,四邊形/BCD內接于對角線/C/5D,垂足為點直線垂

足為點￡,并且交直線40于點b，則/b=ED.

證明：,.?/C/2D,MELBC,ABMC=AAMD=AMEC=90°

■.ZCME+ZECM=90°,NCBD+NECM=90°.NCBD=NCME.

'；CD=CD，；"CBD=NCAD-(依據)

又?；/CME=ZAMF,；.NAMF=NCAD.AF=FM.........

任務：(1)上述證明過程中的依據是;(2)將上述證明過程補充完整；

(3)古拉美古塔定理的逆命題：如圖，四邊形48CD內接于。。，對角線4。180,垂足為點〃，直線

交BC于點、E,交4D于點F.若4F=FD,則五EL3c.請證明該命題.

7.（2023?江蘇宿遷?統考二模）【閱讀】婆羅摩笈多是七世紀印度數學家，他曾提出一個定理：若圓內接四

邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線平分對邊.

證明：如圖1所示內接于圓的四邊形的對角線ZC,3D互相垂直，垂足為點G,過點G的直線垂直于

AD,垂足為點E,與邊2c交于點F,由垂直關系得/EGD+/FGC=90°，/EGD+/EDG=90°，所以

NEDG=NFGC,由同弧所對的圓周角相等得N/O3=N/C3,所以NFGC=NFCG,則尸G=RT,同理,

FG=FB,故BF=FC；

【思考】命題"若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則平分對邊且過對角線交點的直線垂直于另一邊“為

（填"真命題"，"假命題"）;

【探究】（1）如圖2,A4G3和ADGC為共頂點的等腰直角三角形，ZAGB=ZDGC=90°^過點G的直線

垂直于4D,垂足為點E,與邊BC交于點F.證明：點F是8c的中點;

（2）如圖3,AAGB和NDGC為共頂點的等腰直角三角形乙1GB=ZDGC=90。，點廠是8C的中點，連接尸G

交40于點￡,若G尸=2,求4D的長.

8.（2023?山西太原?九年級校考階段練習）閱讀下列材料，完成相應的任務

婆羅摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名數學家、天文學家，他在三角形、四邊形、零和負數的算術運算

規則、二次方程等方面均有建樹，特別是在研究一階和二階不定方程方面作出了巨大貢獻.他曾經提出了“婆

羅摩笈多定理"，該定理也稱為“古拉美古塔定理該定理的內容及部分證明過程如下：

古拉美古塔定理：已知：如圖，四邊形ABCD內接于。。，對角線垂足為直線MKL8C,垂

足為E,并且交直線4D于點尸，則

證明："ACLBD,MELBC.?.zCAffi'+zC=90°,zCSZ）+zC=90°

:.ACBD=ACME,ACME=AAMF:./.CAD=AAMF:.AF=MF...

任務：（1）材料中劃橫線部分短缺的條件為：;

（2）請用符號語言將下面"布拉美古塔定理"的逆命題補充完整，并證明該逆命題的正確性:

已知：如圖，四邊形/BCD內接于O。，對角線ZCLB。，垂足為尸為/。上一點，直線交于點

E,①.求證：②.證明:

D

8.(2023?廣東佛山?統考三模)探索應用

材料一：如圖1,在A/BC中，AB=c,BC=a,乙8=6,用c和9表示2C邊上的高為,用a.c和

e表小AABC的面積為.

材料二：如圖2,已知乙。=乙巴求證：CF?BF=QF?PF.

圖4

材料三：蝴蝶定理(ButterflyTheorem)是古代歐氏平面幾何中最精彩的結果之一，最早出現在1815年，由

W.G.霍納提出證明，定理的圖形象一只蝴蝶.

定理：如圖3,〃為弦尸。的中點，過"作弦45和CD,連結/。和8C交P。分別于點￡和尸，則以石=

MF.

證明：設乙4=z_C=a,乙5=乙。=0,

(DMP=LCMQ=Y,￡AMP—Z.BMQ—p,PM=MQ=a,ME—x,MF—y

S^FCMAM*AE*sinaFM*CM?sinvED?MD?sin0MF?MB^m8

二L即------------?------------?------------?------------=1.1

S^EDMMC?CF?sinaEM^MD^myFB?BM?sin/3

MF2_CF-FB

化簡得：MF??AE?ED=ME??CF?FB則有:

ME1~AE-ED

又?:CF?FB=QF?FP,AE?ED^PE?EQ,

MF2QF-FPMF2_(fl-y)(a+y)_a2-y222_2

即4=\一)；,從而x=y,ME=MF.

"ME2~PE?EQ'ME2~{a-x\a+x)~a2-x1xa-x

請運用蝴蝶定理的證明方法解決下面的問題：

如圖4,B、C為線段尸0上的兩點，且AP=C0,/為P0外一動點，且滿足乙84P=4。。，判斷AR。的

形狀，并證明你的結論.

9.（2022?河南駐馬店,統考三模）閱讀以下材料，并完成相應的任務:

西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延

長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）.數學興趣小組的同學們嘗試證明該定理.如圖1,已

知。2C內接于OO,點P在。。上（不與點/、B、C重合），過點P分別作BC,NC的垂線，垂足分

別為AE,尸求證：點。，E,尸在同一條直線上

以下是他們的證明過程:

圖1圖2

如圖1,連接尸瓦PC,DE,EF,取尸C的中點。，連接。E,QF,

則尸0=CQ=gpC=EQ=FQ（依據1）,

：.E,F,P,C四點共圓./CP+NFEP=180。（依據2）.

又???ZACP+ZABP=180°,NFEP=NABP.

???ZBDP=ZBEP=90°,.-.B,D,P,E四點共圓..?./。3尸=/。￡尸（依據3）.

■■ZABP+ZDBP=U0°,:.NFEP+NDEP=18。。（依據4）.

:.點D,E,尸在同一條直線上.

任務：⑴填空：①依據1指的的是中點的定義及;②依據2指的是:

③依據3指的是；④依據4指的是.

（2）善于思考的小英發現當點尸是8C的中點時，8。=CF.請你利用圖2證明該結論的正確性.

10.（2022?河南安陽?統考一模）閱讀下列材料，并完成相應的任務.

西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延

長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）.某數學興趣小組的同學們嘗試證明該定理.

如圖（1）,已知“3C內接于。O,點尸在。。上（不與點B,C重合），過點尸分別作BC,AC

的垂線，垂足分別為?點。，E,尸求證：點。，E,尸在同一條直線上.

如下是他們的證明過程（不完整）：

圖⑴

如圖（1）,連接P8,PC,DE,EF,取PC的中點。，連接。E,QF,則E。==；尸。=尸。=CQ,

（依據工）

.?點E,F,P,C四點共圓，.?./尸CP+NFE尸=180。.（依據2）

又；ZACP+NABP=180°,ZFEP=NABP.

同上可得點2,D,P,E四點共圓，......

任務：（1）填空：①依據1指的是中點的定義及;②依據2指的是.

（2）請將證明過程補充完整.⑶善于思考的小虎發現當點尸是8c的中點時，BD=CF,請你利用圖（2）證

明該結論的正確性.

D

圖⑵

11.（2023?山東濟寧?統考二模）閱讀與思考；

婆羅摩笈多是一位印度數學家與天文學家，書寫了兩部關于數學與天文的書籍，他的一些數學成就在世界

數學史上有較高的地位，他的負數及加減法運算僅晚于中國九章算術而他的負數乘除法法則在全世界都是

領先的，他還提出了著名的婆羅摩笈多定理，該定理的內容及證明如下：已知：如圖，四邊形ABCD內接與

圓。對角線AC1BD于點M,ME1BC于點E,延長EM交CD于F,求證：MF=DF

證明TAUIBD,MEIBC.-.ZCBD=Z.CME

?-?ZCBD=ZCAD,Z.CME=ZAMF.-.ZCAD=ZAMF.-.AF=MF

?■?ZAMD=9O°,同時NMAD+NMDA=90°.-.ZFMD=ZFDM

.'.MF=DF,即F是AD中點.

（1）請你閱讀婆羅摩笈多定理的證明過程，完成婆羅摩笈多逆定■■理的證明：

已知：如圖1,四邊形ABCD內接與圓O,對角線AQBD于點M,F是AD中點，連接FM并延長交BC于點

E,求證:ME1BC

（2）已知如圖2,AABC內接于圓O,Z.B=302ACB=45。，AB=2,點D在圓。上，ZBCD=6O°,連接AD交BC

于點P,作0N_LCD于點N,延長NP交AB于點M,求證PM_LBA并求PN的長.

12.（2023?北京昌平?九年級統考期末）已知：對于平面直角坐標系中的點P和。。，的半徑為4,

交x軸于點4B,對于點尸給出如下定義：過點C的直線與。O交于點N,點尸為線段ACV的中點,

我們把這樣的點P叫做關于MN的"折弦點".

⑴若C（-2,0）,①點片（0,0）,^（-1,1）,6（2,2）中是關于〃N的"折弦點”的是；

②若直線了=h+6（左#0）上只存在一個關于的"折弦點"，求上的值；

⑵點C在線段28上，直線y=x+6上存在關于"N的"折弦點"，直接寫出6的取值范圍.

13.（2023?浙江?九年級專題練習）如圖中所示和3c組成圓的折弦,4B>8C,D是N3C的中點，。及L/3

垂足為E.連結/〃，AC,BD.（1）寫出所有與乙DA4相等的角（不添加任何線段）.

（2）判斷/E,BE,2c之間的數量關系并證明.（3）如圖，已知4D=7,BD=3,求4BBC的值.

14.(2023.浙江九年級期中)小明學習了垂徑定理，做了下面的探究，請根據題目要求幫小明完成探究.

(1)更換定理的題設和結論可以得到許多真命題.如圖1,在。。中，C是劣弧48的中點，直線

于點￡,則/E=請證明此結論；

(2)從圓上任意一點出發的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦.如圖2,PA,可組成0。的一

條折弦.C是劣弧的中點，直線于點￡,則/E=PE+P8.可以通過延長。8、/尸相交于點

F,再連接4。證明結論成立.請寫出證明過程；

(3)如圖3,PA.必組成0。的一條折弦，若C是優弧48的中點，直線于點￡,則NE,PE

與尸8之間存在怎樣的數量關系？寫出結論，不必證明.

15.(2023.重慶九年級期中)先閱讀命題及證明思路，再解答下列問題.

命題：如圖1,在正方形中，已知：ZEAF=45°,角的兩邊/E、/尸分別與8C、相交于點￡、

F,連接EV.求證：EF=BE+DF.

證明思路：如圖2,將AA8E繞點N逆時針旋轉90。至A4DEL-/AB=AD,ABAD=90°,;.4B與4D重

合.ZADC=ZB=90°,ZFDE'=180°,點、F、D、E是一條直線.

根據"S,得證AAEF=A4FE',得EF=E'F=E'D+DF=BE+DF.

圖1圖2圖3

（1）特例應用：如圖1,命題中，如果8E=2,DF=3,求正方形48cD的邊長.

（2）類比變式：如圖3,在正方形48c。中，已知/￡/尸=45。，角的兩邊/E、/尸分別與BC、CD的延

長線相交于點E、F,連接EF.寫出防、BE、。廠之間的關系式，并證明你的結論.

（3）拓展深入：如圖4,在。。中，AB、4。是。。的弦，SLAB=AD,M、N是。。上的兩點,

AMAN=-ABAD.①如圖5,連接跖V、MD,求證：MH=BM+DH,DMVAN-,

2

②若點C在（點C不與點”、D、N、M重合）上，連接C8、CD分別交線段AM、/N或其延

16.（2023?江蘇鹽城?九年級統考期中）【了解概念】

我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點的線段組成的圖形.如圖1,線段MQ、0N組成

折線段MQN.若點尸在折線段上，MP=PQ+QN,則稱點尸是折線段的中點.

【理解應用】（1）如圖2,。。的半徑為2,尸/是。。的切線，A為切點，點3是折線段PQ4的中點.若

ZAPO=30°,則尸8=；

【定理證明】（2）阿基米德折弦定理：如圖3,和2C是。。的兩條弦（即折線段/3C是圓的一條折弦），

BC>AB,點M是age的中點，從〃向5c作垂線，垂足為。，求證：。是折弦A8C的中點;

【變式探究】(3)如圖4,若點M是/C的中點，【定理證明】中的其他條件不變，則⑺、DB、氏4之間

存在怎樣的數量關系？請直接寫出結論.

【靈活應用】(4)如圖5,2C是OO的直徑,點A為。。上一定點，點。為上一動點,且滿足/D4B=45°，

若48=8,3c=10,則/￡>=

圖3圖4圖5

17.（2023?福建泉州?九年級校考期中）材料：如圖1,和2c是。。的兩條弦（即折線Z8C是圓的一條

折弦），BC>AB,M是Z5C的中點，則從初向2。所作垂線的垂足。是折弦Z3C的中點，即

CD=AB+BD.下面是運用"截長法"證明CD=AB+BD的部分證明過程.

圖4

證明：如圖2,在C8上截取CG=/3,連接和MG,是45。的中點，.?.M4=MC,……

⑴請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）如圖3,已知“8C內接于。QBC>/8>/C,D

是/法的中點，依據（1）中的結論可得圖中某三條線段的等量關系為；

（3）如圖4,已知等腰。3C內接于。O,/3=/C,。為力3上一點，連接。B,44CD=45°,4ELCD于點瓦

△BCD的周長為40+2,BC=2，請求出NC的長.

18.（2023?山西?九年級專題練習）閱讀與思考請閱讀下列材料，并按要求完成相應的任務.

阿基米德是偉大的古希臘數學家、哲學家物理學家，他與牛頓、高斯并稱為三大數學王子.他的著作《阿

基米德全集》的《引理集》中記述了有關圓的15個引理，其中第三個引理是：如圖1,N5是O。的弦，點

尸在。。上，尸CJ_/8于點C,點。在弦48上且NC=C。，在心上取一點。，使尸0=打，連接80,

貝I]80=BD.小明思考后，給出如下證明：如圖2,連接4P、PD、PQ、BP-

???AC=CD,PCLAB■-PA=PD（依據1）ZPAD=ZPDA

■-PQ=PAAQBP=ZABP（依據2）...

任務：⑴寫出小明證明過程中的依據：依據1：依據2：

⑵請你將小明的證明過程補充完整；（3）小亮想到了不同的證明方法：如圖3,連接/P、PD、PQ、.請

你按照小亮的證明思路，寫出證明過程；⑷結論應用：如圖4,將材料中的“弦改為"直徑48”,作直線

/與相切于點。，過點3作于點M,其余條件不變，若=4,且。是0/的中點，則加=.

因中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、

婆羅摩笈多（定理）模型

圓在中考數學幾何模塊中占據著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內容，本專題就圓形中的重要模

型（阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）進行梳理及對應試題分析，方

便掌握。

模型1.阿基米德折弦模型

【模型解讀】折弦:從圓周上任一點出發的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。

一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點。

如圖1所示，48和BC是。。的兩條弦（即42C是圓的一條折弦），BOAB,M是4BC的中點，則從M向

8C所作垂線之垂足。是折弦4BC的中點，即CD=AB+BD.

常見證明的方法:

1）補短法：如圖2,如圖，延長。2至尸，使AF=A4；

2）截長法：如圖3,在CD上截取DG=DB；

3）垂線法：如圖4,作射線48,垂足為〃。

例1.（2023?廣東?統考一模）定義：圓中有公共端點的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦.阿基米德折弦

定理：如圖1,AB和BC組成圓的折弦，AB>BC,M是弧ABC的中點，MF1AB于F,則AF=FB+BC.

如圖2,AABC中，NABC=60。，AB=8,BC=6,D是AB上一點，BD=1,作DE1AB交AABC的外接圓于E,

連接EA,則4EAC=°.

S1圖2

【答案】600.

【分析】連接OA、OC、OE,由已知條件，根據阿基米德折弦定理，可得到點E為弧ABC的中點，即/石=。后,

進而推得NAOE=NCOE,已知NABC=60°,貝!UAOC=2NABC=2X60°=120°,可知NAOE=NCOE=120°,故NCAE

=2zCOE=60°.

【詳解】解：如圖2,連接OA、OC、OE,

?；AB=8,BC=6,BD=1,；.AD=7,BD+BC=7,；.AD=BD+BC,而EDIAB,

???點E為弧ABC的中點，即/E=CE,.?.NAOE=NCOE,

???ZAOC=2ZABC=2x60o=120o,.-?ZA0E=ZC0E=120o,

【點睛】本題是新定義型題，考查了圓周角定理及推論，解本題的關鍵是掌握題中給出的關于阿基米德折

弦定理的內容并進行應用.

例2.（2023?浙江溫州?九年級校考階段練習）阿基米德是古希臘最偉大的數學家之一，他曾用圖1發現了阿

基米德折弦定理.如圖2,已知2c為。。的直徑，4B為一條弦（BOAB）,點M是/臺。上的點，MD1BC

于點。，延長交弦于點瓦連接的/若BM=&,48=4,則4E的長為（）

【答案】A

【分析】延長ME,設交圓于點F,連接BF、AF,可得BF=BM,NBMF=NBFM=NFAB,從而可得ABFAsABEF,

利用相似三角形的性質列式可求BE的長度，從而可求得AE的長度.

【詳解】解：延長ME,設交圓于點F,連接BF、AF,如圖，

???BC為的直徑，MD_LBC于點D,，.MB=FB=",ZBMF=ZBFM

又NBMF=NFAB；ZBFM=NFAB.?.NBFE=NFAB

BF_BEBE335

?-?ZEBF=ZFBA.-.ABFA^ABEF.-.AB3尸即4逐,-.BE=2,-.AE=4-2=2

故選：A.

【點睛】本題考查垂徑定理及三角形相似的判定和性質，解題的關鍵是準確做出輔助線，得出三角形相似.

例3.（2023上?河南周口?九年級校考期末）問題呈現：阿基米德折弦定理：如圖1,和3C是。。的兩條

弦（即折線N8C是弦。。的一條折弦），BC>AB,M是弧43C的中點，則從M向2c所作垂線的垂足。

是折弦/2C的中點，即+下面是運用"截長法"證明CD=AB+AD的部分證明過程?

證明：如圖2,在C8上截取CG=/3,連接M4,MB,九Q和MG.

是弧43C的中點，

：.MA=MC,

t

AA~L

圖1圖2圖3圖4

⑴請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

⑵實踐應用：如圖3,"8C內接于。（9,BC>AB>AC,。是弧NC3的中點，DELBC于點、E,依據阿

基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關系為.

⑶如圖4,等腰”8C內接于。。，AB=AC,。為弧48上一點，連接D3,4CD=45。，AC=6,BC=4,

求ABOC的周長.

【答案】⑴見解析；（2）8E=CE+/C；⑶6立+4

【分析】（1）首先證明△Affl//"WGC（SAS）,進而得出八力=板，再利用等腰三角形的性質得出8。=GD,

即可證明結論；（2）直接根據阿基米德折弦定理，即可證明結論；

（3）過點A作/E，CD,根據阿基米德折弦定理，勾股定理求得CE,即可得出結論.

【詳解】（1）證明：如圖2,在C8上截取CG=4B,連接M4,MB,MC和MG.

A

圖2

是4BC的中點，:.MA=MC_

BA=GC

<NA=NC

在和NMGC中［MA=MC,

:.AMBA名AMGC（SAS）-MB=MG

又：MD工BC,BD=GD,DC=GC+GD=AB+BD_

（2）解：根據（1）中的結論可得圖中某三條線段的等量關系為BE=B+/C

故答案為：BE=CE+AC.

（3）解：如圖所示，過點A作/E'CD,

圖4

由阿基米德折弦定理得：CE=BD+DE,

CE=—AC=3y[2

...NACD=45。...ZEAC=45°...2

...△8。。的周長為5。+助+。。=5。+助+。￡'+￡'。=3。+2￡。=4+6公

【點睛】本題是圓的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識點，理解“截長法”

是解答本題的關鍵.

例4.（2023?江蘇?九年級假期作業）問題呈現：阿基米德折弦定理：如圖1,28和8C是。。的兩條弦（即

折線43C是圓的一條折弦），M是N5C的中點，則從M向8C所作垂線的垂足。是折弦48c的

中點，即8=+下面是運用“截長法”證明CD=/3+5。的部分證明過程.

（1）證明：如圖2,在C2上截取CG=48,連接M4,MB,MC和MG.

是/Be的中點，

：.MA=MC...

請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

實踐應用：（2）如圖3,已知O5C內接于。。，BC>AB>AC,。是/C3的中點，依據阿基米德折弦定

理可得圖中某三條線段的等量關系為.

（3）如圖4,已知等腰“8C內接于。（9,AB=AC,D為AB上一點、,連接DB,乙4CD=45。,/ELCD于

點及ABDC的周長為40+2，BC=2,請求出/C的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）BE=CE+AC.（3）4

【分析】（1）首先證明△初3,/AMGC（SAS）,進而得出兒必=MG,再利用等腰三角形的性質得出BD=GD,

即可得出答案；（2）直接根據阿基米德折弦定理得出結論；

（3）根據阿基米德折弦定理得出°￡=。石，進而求出CE,最后用勾股定理即可得出結論.

【詳解】（1）證明：如圖2,在C8上截取CG=/8,連接"4MB,MC和MG.

圖2

rM是4BC的中點，.?.M4="C.

BA=GC

<NA=NC

在和VMGC中，［M4="C,

...AA?/9AMGC(SAS),.MB=MG,

處.MDLBC,...BD=GD,...DC=GC+GD=AB+BD；

(2)根據阿基米德折弦定理得，BE=CE+AC,答案為：BE=CE+AC;

(3)根據阿基米德折弦定理得，CE=BD+DE,

...△BCD的周長為40+2,.-,BD+CD+BC^4yf2+2,

BD+DE+CE+BC=2CE+BC=+2,

-：BC=1,,-.CE=2^2,在RM/CE中，NACD=45。，...AC=^CE=4.

【點睛】此題是圓的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質，理解和應用阿基米

德折弦定理解題關鍵.

例5.(2023?河南商丘?統考二模)閱讀下面材料，完成相應的任務：

阿基米德是有史以來最偉大的數學家之一、《阿基米德全集》收集了已發現的阿基米德著作，它對于了解古

希臘數學，研究古希臘數學思想以及整個科技史都是十分寶貴的.其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周

上任一點出發的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦.一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的

折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點.

如圖1,48和2C是。。的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，8cM是弧Z8C的中點，則從M向8c

所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點，即CD=.

小明認為可以利用“截長法"，如圖2：在線段C2上從C點截取一段線段CN=AB,連接.

小麗認為可以利用“垂線法"，如圖3：過點M作回耳，/8于點區連接7k砥7k必gC

任務：(1)請你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續書寫出證明過程，

(2)就圖3證明：MC2-MB2=BC-AB.

【答案】⑴見解析⑵見解析

【分析】(1)首先證明△加絲AMVC(SAS),進而可得力必=MN,即可得到解答；

(2)由(1)可知，AC=AM,BH=BD,AH=CD,整理等式即可得到結論.

【詳解】(工)證明：如圖2,在CB上截取CN=/8c,連接加&MB、MC、MN,

?.?M是Z5C的中點，...=

BA=NC

<ZA=ZC,

在△A?/和中，\MA=MC：.4MBAAMNCEAS),；.MB=MN

,.MD±BC,...BD=ND.,CD=NC+ND=AB+BD.

(2)證明：在中，AM2=AH2+MH2,

在RtZXBHM中，BM2=BH2+MH2,由(1)可知，AC=AM,BH=BD,AH=CD,

MC1-MB2=AM2-MB2=AH2+HM-BH2-HM2=AH2-BH1

=(AH+BH)\AH-BH)=(CD+BD)\AH-BH)=BC.AB

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，正確作出輔助線是解題的關鍵.

模型2.婆羅摩笈多(定理)模型

【模型解讀】婆羅摩笈多(Brahmagupta)是七世紀時的印度數學家。

婆羅摩笈多定理：如果一個圓內接四邊形的對角線互相垂直相交，那么從交點向某一邊所引垂線的反向延

長線必經過這條邊對邊的中點。

如圖1,4BCD為圓內接四邊形，對角線NC和3。垂直相交，交點、為E,過點E作的垂線即，延長山

與40交于點G；則點G是/。的中點。

如圖2,所示已知等腰必A4BC和等腰放△4ED,作交4G的延長線于點以，⑴