與族轉(zhuǎn)市關(guān)的探究題（之毀制保）

I題自工（2023?北京?統(tǒng)考中考真題）在△ABC中、/B=/。=?（0°<?<45°）,AM±BC于點(diǎn)M,D是線段

MC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)加，。重合），將線段。河繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線段。E.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí),求證：。是MG的中點(diǎn)；

⑵如圖2,若在線段BA1上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B,M■重合）滿足DF=連接AE,EF,直接寫出AAEF的

大小，并證明.

題目囪（2022.重慶市B卷）在△ABC中,ABAC=90°,AB=AC=22,。為BC的中點(diǎn)，E,F分別為

AC,40上任意一點(diǎn)，連接EF,將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG,連接FG,AG.

（1）如圖1,點(diǎn)E與點(diǎn)。重合，且GF的延長線過點(diǎn)B,若點(diǎn)P為FG的中點(diǎn)，連接PD,求PD的長；

（2）如圖2,EF的延長線交于點(diǎn)加，點(diǎn)N在力。上，NAGN=/AEG且GN=MF,求證：AM+AF=

y/2AE；

（3）如圖3,F為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，連接BE,H為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接EH,將△BEH

沿EH翻折至△48。所在平面內(nèi)，得到八用由,連接?G,直接寫出線段0G的長度的最小值.

窺目區(qū)（2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）如圖1,一大一小兩個(gè)等腰直角三角形疊放在一起，N分別是斜邊

DE,AB的中點(diǎn)，DE=2,AB=4.

（1）將△CDE繞頂點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出點(diǎn)河，N距離的最大值和最小值;

（2）將△CDE繞頂點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°（如圖2）,求MN的長.

題目@（湖南省郴州市2021年中考數(shù)學(xué)試卷）如圖1,在等腰直角三角形ABC中，NBAC=90°.點(diǎn)、E,F分

別為AB,的中點(diǎn)，H為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E,F重合），將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得

到AG,連接

（1）證明：△AHB篤AAGC；

⑵如圖2,連接GF,HC,AF交AF于點(diǎn)Q.

①證明:在點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)過程中，總有AHFG=90°；

②若AB=AC=4,當(dāng)EH的長度為多少時(shí)，AAQG為等腰三角形？

???

題目回（2023?遼寧?統(tǒng)考中考真題）在RtAAB。中，乙4cB=90°,C4=CB,點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。在直線

AB上（不與點(diǎn)45重合），連接CD,線段CD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段CE,過點(diǎn)B作直線l±BC,

過點(diǎn)E作EF，Z,垂足為點(diǎn)F，直線EF交直線OC于點(diǎn)G.

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)。重合時(shí),請直接寫出線段人。與線段EF的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)。在線段AB上時(shí),求證：CG+BD=V2BC；

（3）連接DE,4CDE的面積記為&,/\ABC的面積記為S2,當(dāng)EF-.BC=1:3時(shí),請直接寫出年的值.

，題目回（2021.四川中考真題）在等腰△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)8、。重合），連結(jié)

AD.

（1）如圖1,若60°,點(diǎn)。關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,結(jié)AE,DE,則/BDE=；

（2）若=60°,將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE,連結(jié)BE.

①在圖2中補(bǔ)全圖形；

②探究CD與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明；

⑶如圖3,若袈=普=%，且/ADE=試探究BE、BD、AC之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明.

JDUUh/

???

【超目力（2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）在學(xué)習(xí)完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后,劉老師帶領(lǐng)學(xué)生開展了一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)

【問題情境】

劉老師先引導(dǎo)學(xué)生回顧了華東師大版教材七年級(jí)下冊第121頁“探索”部分內(nèi)容：

如圖，將一個(gè)三角形紙板△48。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9到達(dá)4APC的位置,那么可以得到：AB=AF,

=AO,BC=P。；ABAC=AB'AC，/ABC=AAB'C,AACB=AAC'B'（）

劉老師進(jìn)一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊(yùn)含于自然界的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律中，即“變”中蘊(yùn)含著“不變”，這是我們解決圖

形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵;故數(shù)學(xué)就是一門哲學(xué).

【問題解決】

（1）上述問題情境中“（）”處應(yīng)填理由：；

（2）如圖，小王將一個(gè)半徑為4cm，圓心角為60°的扇形紙板ABC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)扇形紙板AB1

。’的位置.

①請?jiān)趫D中作出點(diǎn)O；

②如果6cm,則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)8經(jīng)過的路徑長為；

【問題拓展】

小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個(gè)扇形紙板重疊，一個(gè)固定在墻上，使得一邊位于水平位置,另一個(gè)

在弧的中點(diǎn)處固定,然后放開紙板，使其擺動(dòng)到豎直位置時(shí)靜止,此時(shí)，兩個(gè)紙板重疊部分的面積是多少呢？

如圖所示，請你幫助小李解決這個(gè)問題.

???

1題目瓦（2021?浙江嘉興市?中考真題）小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁例2后,進(jìn)一步開展探究活動(dòng):將一

個(gè)矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°Va<90°）,得到矩形AB'C'D'

［探究1］如圖1,當(dāng)a=90°時(shí)，點(diǎn)。恰好在DB延長線上.若48=1,求8。的長.

［探究2］如圖2,連結(jié)AC,過點(diǎn)。作。“〃AU交BD于點(diǎn)河.線段。河與ZW相等嗎？請說明理由.

［探究3］在探究2的條件下，射線DB分別交AD，，人。于點(diǎn)P,N（如圖3）,MN,PN存在一定的數(shù)量關(guān)系,

并加以證明.

???

題目回（2023?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題）在平行四邊形ABCD中（頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列），AB=

（1）如圖1,求AB邊上的高S的長.

（2）P是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。，。同時(shí)繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。'落在射線CA上時(shí)，求的長.

②當(dāng)△AC'。'是直角三角形時(shí)，求BP的長.

遮目叵（2021.浙江中考真題）如圖,在菱形ABCD中,乙4BC是銳角，E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),將射線AE繞

點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),交直線CD于點(diǎn)F.

（1）當(dāng)AE_LBC,AEAF=NABC時(shí)，

①求證：AE—AF\

②連結(jié)若普=?,求j?的的值;

bD5b菱形權(quán)為

⑵當(dāng)AEAF=yZBAD時(shí)，延長6。交射線AF于點(diǎn)加■，延長。。交射線AE于點(diǎn)N,連結(jié)AC,MN,若

4B=4,AC=2,則當(dāng)CE為何值時(shí)，△力上W是等腰三角形.

???

題目R（2023?四川南充?統(tǒng)考中考真題）如圖,正方形ABCD中，點(diǎn)M在邊BC上，點(diǎn)E是AM的中點(diǎn),連接

ED,EC.

（1）求證：ED=EC；

（2）將BE繞點(diǎn)、E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在力。上，連接MB'.當(dāng)點(diǎn)加在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)M

不與C重合），判斷的形狀，并說明理由.

（3）在（2）的條件下，已知48=1,當(dāng)=45°時(shí)，求的長.

題目回在等腰△ABC中，人。=3。，人4。后是直角三角形，ADAE=90°,/ADE=:乙4。8,連接BD,

BE,點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，連接CF.

（1）當(dāng)/G4B=45°時(shí).

①如圖1,當(dāng)頂點(diǎn)D在邊力。上時(shí),請直接寫出NEAB與ACBA的數(shù)量關(guān)系是.線段BE與線段

CF的數(shù)量關(guān)系是:

②如圖2,當(dāng)頂點(diǎn)。在邊上時(shí)，（1）中線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請給予證

明，若不成立,請說明理由；

學(xué)生經(jīng)過討論，探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：

思路一:作等腰△ABC底邊上的高CM,并取BE的中點(diǎn)N,再利用三角形全等或相似有關(guān)知識(shí)來解決問題;

思路二:取OE的中點(diǎn)G,連接AG,CG,并把△CAG繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形全等

或相似有關(guān)知識(shí)來解快問題.

（2）當(dāng)/CAB=30°時(shí)，如圖3,當(dāng)頂點(diǎn)。在邊AC上時(shí),寫出線段跳;與線段CF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

圖1圖2圖3

???

【題目叵（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考中考真題）【問題情境】

在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含30°的三角板開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，兩塊三角板

分別記作4ADB和AHDCZADB=90°,=/C=30°,設(shè)AB=2.

【操作探究】

如圖1,先將△4DB和的邊40、AD重合，再將繞著點(diǎn)人按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為

&（0°WaW360°），旋轉(zhuǎn)過程中AADB保持不動(dòng)，連接BC.

（1）當(dāng)a=60°時(shí)，BC=；當(dāng)BC=2^/2時(shí)，a=°；

（2）當(dāng)a=90°時(shí)，畫出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；

（3）如圖2,取BC的中點(diǎn)F,將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長為

遮目回（2021.江蘇中考真題）已知正方形ABCD與正方形AEFG,正方形力EFG繞點(diǎn)人旋轉(zhuǎn)一周.

⑴如圖①，連接BG、CF,求黑的值；

JDCT

（2）當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，連接CF、BE,分別去CF、BE的中點(diǎn)M、N,連接7W、試探究:

與BE的關(guān)系，并說明理由；

（3）連接BE、BF，分別取BE、BF的中點(diǎn)N、Q,連接QN,AE=6,請直接寫出線段QN掃過的面積.

;遨目3（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）（1）［問題探究］

如圖1,在正方形ABCD中，對(duì)角線AC.BD相交于點(diǎn)O.在線段AO上任取一點(diǎn)P（端點(diǎn)除外），連接PD、

①求證：PD=PB；

②將線段DP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BA的延長線上的點(diǎn)Q處.當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上的位置發(fā)生

變化時(shí)，/DPQ的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；

③探究AQ與OP的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

（2）［遷移探究］

如圖2,將正方形ABCD換成菱形ABCD,且AABC=60°,其他條件不變.試探究AQ與CP的數(shù)量關(guān)系，

題目,如圖,正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連結(jié)BP,將BP繞點(diǎn)B順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BQ,連結(jié)QP交BC于點(diǎn)、E,QP延長線與邊AD交于點(diǎn)F.

（1）連結(jié)CQ,求證：AP^CQ-,

⑵若AP=?力。，求CE：的值；

（3）求證：=

B

???

;題目5（2023?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題:給定不在同一

條直線上的三個(gè)點(diǎn)求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托

里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

（1）下面是該問題的一種常見的解決方法,請補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，

②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù),④處填寫該三

角形的某個(gè)頂點(diǎn)）

當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，

如圖1,將△4PC繞,點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△APC,連接PP,

由PC=PC,4PCP=60°,可知△PCP為______三角形,故PP=PC,又P'A=PA,故PA+PB+PC

^PA+PB+PP>AB,

由可知，當(dāng)B,P,P,A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，如圖2,最小值為AB,此時(shí)

的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有乙4PC=2BPC=NAPB=；

已知當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn).如圖3,若/BAC>120°,

則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn).

⑵如圖4,在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120°,且AC=3,及7=4,乙4cB=30°,已知點(diǎn)P為△ABC的“費(fèi)

馬點(diǎn)”，求PA++PC的值；

CBCB

（3）如圖5,設(shè)村莊A,3,C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形,且已知AC=4km,BC=2V3km,AACB=60°.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A,三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A,的鋪設(shè)成本分別為a

元/km,a元/km,元/km,選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.（結(jié)果用含a

的式子表示）

???

題目區(qū)|如圖1,在等腰直角三角形ADC中，乙4。。=90°,AD=4.點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，以O(shè)E為邊作正方

形。EFG,連接AG,CE.將正方形DEFG繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為N（O°V&V9O°）.

（1）如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，

①判斷4AGD與△CED是否全等,并說明理由；

②當(dāng)CE=CD時(shí)，AG與EF交于點(diǎn)H,求GH的長.

（2）如圖3,延長CE交直線AG于點(diǎn)P.

①求證：AG_LCP；

②在旋轉(zhuǎn)過程中，線段PC的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值;若不存在,請說明理由.

題目畫（2023?湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題）【問題呈現(xiàn)】

△CAB和4CDE都是直角三角形，NACB=4DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD,連接AD,BE,探究

AD,BE的位置關(guān)系.

⑴如圖1,當(dāng)館=1時(shí),直接寫出AD,BE的位置關(guān)系：；

（2）如圖2,當(dāng)巾A1時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由.

【拓展應(yīng)用】

⑶當(dāng)m=73,AB=4?DE=4時(shí)，將△CDE繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn),使ARE三點(diǎn)恰好在同一直線上,求跳;的長.

:題目組（2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形.如圖①，把一個(gè)含有45°角

的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)。重合，繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，45°角

的兩邊CM，CN始終與正方形的邊AD,AB所在直線分別相交于點(diǎn)Al,N,連接AW,可得4CMN.

【探究一】如圖②，把△CDM■繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CB",同時(shí)得到點(diǎn)H在直線AB±..求證:

ZC7W=ZCW；

【探究二】在圖②中，連接BD,分別交CH,CN于點(diǎn)、E,F.求證：△CEF?△C7W；

【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線與三角尺45°角兩邊。N,CN分別交于點(diǎn)E,F.連接

AC交BD于點(diǎn)O,求曷的值.

???

與族轉(zhuǎn)嘴屬的探究觀（考?xì)е萍冢?/p>

I題自工（2023?北京?統(tǒng)考中考真題）在△ABC中、/B=/。=?（0°<?<45°）,AM1.BC于點(diǎn)M,D是線段

MC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)加，。重合），將線段。河繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線段。E.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí),求證：。是MG的中點(diǎn)；

⑵如圖2,若在線段上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B,“重合）滿足DF=連接AE,EF,直接寫出AAEF的

大小，并證明.

【答案】（1）見解析

⑵NAEF=90°,證明見解析

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得/MDE=2a,利用三角形外角的性質(zhì)求出/DEC=a=NC,可得

=等量代換得到即可；

（2）延長FE到X使迎=EH,連接S,_，可得_DE是4FCH的中位線，然后求出,設(shè)DM

=DE=m,CD=n,錄出BF=2m=CH,證明AABFxLACH（SAS）,得至［AF=AH,再根據(jù)等腰三角形

三線合一證明AE_LPH即可.

【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DM=DE,NMDE=2a,

?：AC=a,

：.NDEC=AMDE-/C=a,

:"C=2DEC,

：.DE=DC,

：.DM=DC,即。是MC的中點(diǎn)；

（2）ZASF=90°;

證明：如圖2，延長FE到H使FE=EH,連接CH,AH,

?：DF=DC,

DE是△FS的中位線，

：.DE//CH,CH=2DE,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：。AMDE=2a,

：.NFCH=2a,

?：/B=/C=a,

ANACH=a,△ABC是等腰三角形，

NB=ZACH,AB^AC,

設(shè)DM=DE=m,CD=n，則CH=2m,CM=m+n,

/.DF—CD—n,

：.FM—DF—DM—n—m,

?.?AM±BC,

BM=CM=m+n,

/.BF—BM—FM—m+n—（n—m）=2m,

:,CH=BF,

（AB=AC

在AABF和/XACH中，（=ZACH,

[BF=CH

/\ABF=4ACH（SAS）,

AF=AH,

?：FE=EH,

：.AE_LFH,^NAEF=90°.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形中位線定理以及全等

三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

I題目區(qū)（2022?重慶市B卷）在△ABC中,ZBAC=90°,4B=AC=2四，。為BC的中點(diǎn)，E,F分別為

AC,AD上任意一點(diǎn)，連接EF,將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG,連接FG,AG.

⑴如圖1,點(diǎn)E與點(diǎn)。重合，且GF的延長線過點(diǎn)B,若點(diǎn)P為FG的中點(diǎn)，連接PD,求PD的長；

⑵如圖2,EP的延長線交AB于點(diǎn)加，點(diǎn)N在AC上，乙4GN=/AEG且GN=MR,求證：AM+AF=

y/2AE；

（3）如圖3,F為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，石為人。的中點(diǎn)，連接BE,H為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接,將/XBEH

沿EH翻折至△48。所在平面內(nèi)，得到連接EG,直接寫出線段B'G的長度的最小值.

【答案】（1）解:如圖1,連接CP,

由旋轉(zhuǎn)知,CF=CG,4FCG=90°,

△?加為等腰直角三角形,

?.?點(diǎn)P是FG的中點(diǎn)，

:.CP±FG,

?.?點(diǎn)。是的中點(diǎn)，

:.DP=[BC,

在Rt^ABC中，AB=AC=2A/2,

：.BC=V2AB=4：,

：.DP=2-

（2）證明：如圖2,

過點(diǎn)E作EH_LAE交AD的延長線于H,

/AEH=90°,

由旋轉(zhuǎn)知，EG=EF,/FEG=90°,???

??.NFEG=/AEH,

???/AEG=NHEF,

???AB=4C,點(diǎn)。是的中點(diǎn)，

???ABAD=ACAD=?|■Za4。=45°,

??.ZH=90°-ACAD=45°=/CAD,

：,AE=HE,

???/^EGA空/XEFH(SAS),

:?AG=FH,44G=/H=45°,

??.NEAG=NBAD=45°,

???ZAMF=180°-ZBAD-ZAFM=135°-Z.AFM,

???AAFM=4EFH,

：.AAMF=135°-ZEFH,

???/HEF=180°-AEFH-ZH=135°一/EFH,H

：./AMF=AHEF,

???/\EGAm4EFH,

：./AEG=/HEF,

???ZAGN=4AEG,

??.AAGN=4HEF,

??.AAGN=AAMF,

?：GN=MF,

???/\AGN咨^AMF(AAS),

??.AG=AM,

???AG=FH,

：.AM=FH,

：.AFA-AM=AF+FH=AH=V2AE;

(3)解：??,點(diǎn)石是4。的中點(diǎn)，

AE—~^-AC—A/2,

根據(jù)勾股定理得，BE=^JAE^AB1=V10,

由折疊直，BE=B'E=6個(gè),

?,?點(diǎn)是以點(diǎn)E為圓心，視為半徑的圓上，

由旋轉(zhuǎn)知，EF=EG,

???點(diǎn)G是以點(diǎn)石為圓心，EG為半徑的圓上，

???HG的最小值為BE-EG,

要BG最小，則EG最大，即EF最大，

??,點(diǎn)F在4D上，

???點(diǎn)在點(diǎn)4或點(diǎn)。時(shí)，石F最大，最大值為血，

???線段BG的長度的最小值何一方.

￥1區(qū)（2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）如圖1,一大一小兩個(gè)等腰直角三角形疊放在一起，M,N分別是斜邊

DE,AB的中點(diǎn)，DE=2,AB=4.???

（1）將△CDE繞頂點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周,請直接寫出點(diǎn)“，N距離的最大值和最小值；

（2）將△CDE繞頂點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°（如圖2）,求的長.

【答案】（1）最大值為3,最小值為1

⑵。

【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線，得出CM,CW的值,進(jìn)而根據(jù)題意求得最大值與最小值即可求

解；

（2）過點(diǎn)N作NP_L,交7WC的延長線于點(diǎn)P,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得ZMCN=120°,進(jìn)而得出ANCP=

60°,進(jìn)而可得CP=1,勾股定理解Rt^NCP,RtAMCP，即可求解.

【詳解】⑴解:依題意，CM=3DE=1,CN=^AB=2,

當(dāng)M■在M7的延長線上時(shí)，M,N的距離最大，最大值為CM+CN^l+2=3,

當(dāng)M在線段CN上時(shí)，的距離最小，最小值為CN—CN=2—1=\;

（2）解:如圖所示，過點(diǎn)N作。，交的延長線于點(diǎn)P,

???/XCDE繞頂點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,

ZBCE=120°,

?/NBCN=AECM=45°,

NMCN=ABCM-2ECM=NBCE=120°,

ZNCP=60°,

：.ZCNP=30°,

在Rt/\CNP中，NP=NNd—CP。=瓜,

在AtAMMP中，MP=MC+CP=1+1=2,

MN=^NP'2+MP2=V3+4=V7.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角

形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

題目@（湖南省郴州市2021年中考數(shù)學(xué)試卷）如圖1,在等腰直角三角形ABC中，/B4C=90°.點(diǎn)E,F分

?

別為AB,AC的中點(diǎn)，H為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E,F重合），將線段AH■繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得

到AG,連接

（1）證明：AAHB篤AAGC；

⑵如圖2,連接GF,HC,AF交AF于點(diǎn)Q.

①證明:在點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)過程中，總有AHFG=90°；

②若AB=AC=4,當(dāng)EH的長度為多少時(shí)，AAQG為等腰三角形？

【答案】（1）見詳解；（2）①見詳解;②當(dāng)EH的長度為2或2時(shí)，為等腰三角形

【分析】

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得4^=HG,〃MG=90°,從而得/B4H=/C4G,進(jìn)而即可得到結(jié)論；

（2）①由AAHB咨AAGC,得AH=AG,再證明AAEH%/XAFG,進(jìn)而即可得到結(jié)論;②△AQG為等腰三

角形，分3種情況：（a）當(dāng)/Q4G=/QG4=45°時(shí)，（b）當(dāng)/G4Q=/GQA=67.5°時(shí)，（c）當(dāng)AAQG=

乙4GQ=45°時(shí)，分別畫出圖形求解，即可.

【詳解】

解：（1）???線段■繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得至「JAG,

：.AH=AG,/HAG=90°,

?.?在等腰直角三角形ABC中，/區(qū)4。=90°,AB=AC,

ZBAH=90°-ACAH=ACAG,

：.4AHB咨/\AGC;

（2）①?.?在等腰直角三角形ABC中，AB=AC,點(diǎn)E,F分別為AB,力。的中點(diǎn)，

AE^AF,^AEF是等腰直角三角形，

AH=AG,NBAH=ACAG,

△AEH第A4FG,

乙4EH=/4FG=45°,

AHFG=AAFG+NAFE=45°+45°=90°，即：AHFG=90°;

②AB=AC=4,點(diǎn)分別為AB,AC的中點(diǎn)，

AE-AF-2,

?：/AGH=45°,AAQG為等腰三角形，分3種情況：

（a）當(dāng)AQAG=AQGA=45°時(shí)，如圖，則NHAF=90°-45°=45°,

AH平分/EAF,

.,.點(diǎn)〃是EF的中點(diǎn)，

EH=^AE'2+AF2=JxV22+22=V2;???

(b)當(dāng)AGAQ=AGQA=(180°-45°)-4-2=67.5°時(shí)，如圖，則/EAH=AGAQ=67.5°,

??.AEHA=180°-45°-67.5°=67.5°,

???/EHA=/EAH,

:,EH=EA=2;

（c）當(dāng)/4QG=N4GQ=45°時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)F重合，不符合題意，舍去,

綜上所述：當(dāng)?shù)拈L度為2或血時(shí)，AAQG為等腰三角形.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等腰直角三南形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角

形的判定定理，根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)行分類討論，是解題的關(guān)鍵.

痼目回（2023?遼寧?統(tǒng)考中考真題）在放AABC中，乙4cB=90°,C4=CB,點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。在直線

AB上（不與點(diǎn)4B重合）,連接CD，線段CD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段CE,過點(diǎn)8作直線I±BC,

過點(diǎn)E作EF_U，垂足為點(diǎn)F,直線EF交直線OC于點(diǎn)G.

???

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)O重合時(shí),請直接寫出線段AD與線段EF的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)。在線段AB上時(shí),求證:CG+BD=V2BC；

⑶連接DE,/\CDE的面積記為S、,/\ABC的面積記為S2,當(dāng)EF-.BC=1:3時(shí),請直接寫出獸的值.

【答案】（1）后尸=掾人。

（2）見解析

⑶（或與

【分析】⑴可先證△BCD空ABCE,得到BD=BE,根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得到BE和EF的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而

得到線段AD與線段EF的數(shù)量關(guān)系.

（2）可先證/\ACD豈/\GEC,得到D4=CG,進(jìn)而得到CG+BD=DA+BD=AB,題即可得證.

（3）分兩種情況：①點(diǎn)。在線段48上，過點(diǎn)。作CN垂直于FG,交FG于點(diǎn)N,過點(diǎn)E作垂直于BC,

交8。于點(diǎn)W，設(shè)EF=a,利用勾股定理，可用含a的代數(shù)式表示EC,根據(jù)三角形面積公式，即可得到答案.

②點(diǎn)D在線段R4的延長線上，過點(diǎn)E作E7垂直于BC,交BC延長線于點(diǎn)J,令EF交力。于點(diǎn)I,連接

BE,設(shè)EF=b,可證An△CEB，進(jìn)一步證得4EBJ是等腰直角三角形，利用勾股定理，可用

含6的代數(shù)式表示EC,根據(jù)三角形面積公式，即可得到答案

【詳解】（1）解：EF=^AD.

理由如下：

如圖，連接BE.

根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CD=CE.

由題意可知，△ABC為等腰直角三角形，

丁CD為等腰直角三角形ZVLBC斜邊AB上的中線,

：.ZBCD=45°,AD=BD

又/。CE=90°,

??.ZBCE=45°.

（CD=CE

在"CD和/\BCE中,1/BCD=/BCE

[BC^BC

注叢BCE.

:?BD=BE,/CBE=/CBD=450.

：./EBF=45°.

：.EF=BE-sinAEBF=%BE.

：.EF=^AD.

（2）解：?/CO為等腰直角三角形△ABC斜邊AB上的中線，???

:.AO—BO.

???Z.ACD+Z.DCB=/.BCE+ADCB=90°,

???AACD=ABCE.

?：BC±lfEF±l,

??.BC//EF.

??.NG=NOCB=45°,ZGEC=ABCE.

??.NG=N4AACD=AGEC.

（AACD=AGEC

在△4CD和△GE。中，（/A=/G

[CD=CE

：.^ACD^/\GEC.

:.DA=CG.

:,CG+BD=DA+BD=AB=4^BC.

⑶解：當(dāng)點(diǎn)。在線段48延長線上時(shí)，不滿足條件1:3,故分兩種情況：

①點(diǎn)。在線段4B上，如圖，過點(diǎn)C作CN垂直于FG,交FG于點(diǎn)N;過點(diǎn)E作垂直于BC,交于點(diǎn)

M.

設(shè)Eb=Q，則BC—AC—^a.

根據(jù)題意可知，四邊形BFEM和CMEN為矩形,△GCW為等腰直角三角形.

：.EF=BM=a,CM=NE=2a.

由（2）證明可知△AC。篤/XGEC,

AC—GE—3a.

:.NG—NC—a.

,-.NC=EM=a.

根據(jù)勾股定理可知

CE=y/EM2+CM2=V（2a）2+a2=V5a,

△CDE的面積&與△ABC的面積52之比

Sj=±CE'2=景島）2=2

52|（3a）29

②點(diǎn)。在線段BA的延長線上，過點(diǎn)E作E7垂直于,交BC延長線于點(diǎn)J,令E尸交AC于點(diǎn)I,連接

BE,由題意知，四邊形FB陽，F(xiàn)BC7是矩形，

NDCE=NACB=90°

：.ZDCE-NACE=AACB-ZACE

即ADCA=2ECB

—D=CE,CA=CB

△CEL4g△CEB

ANDAC=AEBC

而ADAC^180°—/CAB=180°-45°=135°

4EBC=135°

AEBJ=180°—NEBC=45°

AEBJ是等腰直角三角形，E7=BJ

設(shè)EF=b,則BC=IF=3b,EJ=BJ=CI=b

：.EI=EF+IF=4b

RtACIE中，CE=y/CI2+EI2=y/b2+（4fe）2=V17b???

△CDE的面積8與△ABC的面積52之比

8_W_17

S21BC2景3"9

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，靈活利用全等三角形的判

定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

痼目回（2021.四川中考真題）在等腰△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、。重合），連結(jié)

AD.

⑴如圖1,若60°,點(diǎn)。關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,結(jié)AE,DE,則4BDE=；

（2）若60°,將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE,連結(jié)BE.

①在圖2中補(bǔ)全圖形；

②探究CD與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）如圖3,若善■=需=鼠且NADE=/C,試探究BE、BD、AC之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明.

BQUh/

【答案】⑴30°;⑵①見解析;②CD=BE;見解析；（3）AC=k（BD+BE）,見解析

【分析】

（1）先根據(jù)題意得出△ABC是等邊三角形，再利用三角形的外角計(jì)算即可

（2）①按要求補(bǔ)全圖即可

②先根據(jù)已知條件證明△ABC是等邊三角形，再證明△AEBn△ADC,即可得出CD=BE

⑶先證明收=黑，再證明AACB?AADE,得出ABAC=/EAD,從而證明AAEB竺/\ADC,得出

ADUE）

BD+BE=BC,從而證明AC=k（BD+BE）

【詳解】

解：⑴?.?AB=AC,/。=60°

.?.△ABC是等邊三角形

ZB=60°

?.?點(diǎn)。關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E

：.AB±DE,

：./BDE=30°

故答案為：30°;

（2）①補(bǔ)全圖如圖2所示；

②CD與BE的數(shù)量關(guān)系為：CD=BE;

證明：?.?AB=AC,ABAC=60°.

.?.△ABC為正三角形，

又AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,???

AD^AE,NEAD=60°,

ABAD+NDAC=60°,ABAD+NBAE=60°,

NBAE=ADAC,

:.△AEBW&ADC,

:.CD=BE.

（3）連接AE.

-=kAB=AC?

'BCDE'BCDE

■AC=BC

"^D~^E

又：NADE=NC,

:.4ACB?4ADE,

：.ABAC=NEAD.-：AB^AC,：.AE^AD,

：.ABAD+NDAC=/BAD+/BAE,

ADAC^NBAE,

：./\AEB篤/XADC,CD=BE.

-：BD+DC^BC,

：.BD+BE=BC.

又?*=k

BC~,

：.AC=k(BD+BE).

【點(diǎn)睛】

本題考查相似三角形的證明及性質(zhì)、全等三角形的證明及性質(zhì)、三角形的外角、軸對(duì)稱，熟練進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換是

解題的關(guān)鍵，相似三角形的證明是重點(diǎn)

更目鼻（2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）在學(xué)習(xí)完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后,劉老師帶領(lǐng)學(xué)生開展了一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)

【問題情境】

劉老師先引導(dǎo)學(xué)生回顧了華東師大版教材七年級(jí)下冊第121頁“探索”部分內(nèi)容：

如圖，將一個(gè)三角形紙板AABC繞點(diǎn)、A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9到達(dá)的位置,那么可以得到：=AF,AC

=AC',BC=RC'；ABAC=ZB'AC,/ABC=ZAB'C,AACB=AACB'（）

劉老師進(jìn)一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊(yùn)含于自然界的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律中，即“變”中蘊(yùn)含著“不變”，這是我們解決圖

形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵;故數(shù)學(xué)就是一門哲學(xué).

【問題解決】

（1）上述問題情境中“（）”處應(yīng)填理由：；

（2）如圖，小王將一個(gè)半徑為4cm,圓心角為60°的扇形紙板ABC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)扇形紙板AB

。的位置.???

①請?jiān)趫D中作出點(diǎn)。；

②如果BB=6cm，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長為；

【問題拓展】

小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個(gè)扇形紙板重疊，一個(gè)固定在墻上,使得一邊位于水平位置,另一個(gè)

在弧的中點(diǎn)處固定，然后放開紙板,使其擺動(dòng)到豎直位置時(shí)靜止，此時(shí)，兩個(gè)紙板重疊部分的面積是多少呢?

如圖所示，請你幫助小李解決這個(gè)問題.

B

【答案】問題解決⑴旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等

（2）①見解析:②item

問題拓展：（-|-7t—）cm2

【分析】問題解決（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；

（2）①分別作BB：和AA的垂直平分線，兩垂直平分線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)O;②根據(jù)弧長公式求解即可；

問題拓展，連接P4',交AC于連接P4,PD,A4,由旋轉(zhuǎn)得30°,已4=。4'=4,在1?杈\24河

和中求出H河和ZW的長，可以求出S陰影部分他「=S扇形BA，p—S"DP，再證明△ADF空△HOP,即

可求出最后結(jié)果.

【詳解】解:【問題解決】（1）旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等

（2）①下圖中，點(diǎn)。為所求

C

②連接OB,OB,

?：扇形紙板ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)扇形紙板45。的位置,

???/BOP=90°,OB=OB,

VBB—6cm,

設(shè)OB=OB—xcm,

/./2=62,

:.OB—OB—3V2cm,

在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)石經(jīng)過的路徑長為以點(diǎn)O為圓心，圓心角為90°,為半徑的所對(duì)應(yīng)的弧長,

.?.點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長=9。*置3,=42代小；

lot)2

C

【問題拓展】解:連接PA,交4。于河,連接PA,PD,AA如圖所示

/PAC=[/RAC=30°.

由旋轉(zhuǎn)得APAB=30°,PA=PA=4.

在①AJXM中，

AM—PM—PA?sinZPAM=4xsin30°=2.

在中，

???/nw=30°,

:.AD=AM2=|V3,

cosZ.DAMcos30°o

DM=^-AD=Jx473=-1V3.

Zi/Jo

?*-S2尺DP=AP=x-1-V3x4=-^V3.

ZZDO

30x7：x42_4

S扇形F/p：―360——可膜

__44/-

?*,S陰影部分？￡)「二S扇形unp—SaH￡)p=-7i^"V3,

在AADP和△4DP中，

AD=AM-DM=2V3一飛瓜==AD,

oo

又/PAD=APAD=30°,PA=PA,

△ADPg△4DP.

又?*S扇形PAC~S扇形BAP,

?e,S陰影部分=2s陰影部分2x

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長公式,解直角三角形，三角形全等的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是抓住圖

形旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，正確作出輔助線構(gòu)造出直角三角形.

If回(2021?浙江嘉興市?中考真題)小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁例2后,進(jìn)一步開展探究活動(dòng):將一

個(gè)矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<aW90°),得到矩形AB'C'D'???

［探究1］如圖1,當(dāng)&=90°時(shí)，點(diǎn)。恰好在延長線上.若求BC的長.

［探究2］如圖2,連結(jié)AO,過點(diǎn)。作Ow〃人。交BD于點(diǎn)線段。河與。河相等嗎？請說明理由.

［探究3］在探究2的條件下，射線DB分別交AD'，力。于點(diǎn)P,N（如圖3）,MN,PN存在一定的數(shù)量關(guān)系,

并加以證明.

【答案】［探究1］BC=匕笈；［探究2］。河=。河,證明見解析；［探究3pW2=PN-DN,證明見解析

【分析】

［探究1］設(shè)根據(jù)旋轉(zhuǎn)和矩形的性質(zhì)得出〃D4,從而得出ADY7B?AADB,得出比例式

烏斗=察，列出方程解方程即可；

A.L）A.JD

［探究2］先利用SAS得出星ADR4,得出NDAC=NADB,乙4。6=乙4。及■，再結(jié)合已知條件

得出2MDD=,即可得出DM=DM;

［探究3］連結(jié)AW,先利用SSS得出△ADA/ZAADM,從而證得兒W=AN,再利用兩角對(duì)應(yīng)相等得出

^NPA?ANAD,得出嗎=祟即可得出結(jié)論.

ANDN

【詳解】

［探究1］如圖1,

設(shè)30=2.

矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形AB'C'D',???