2024-2025學(xué)年下學(xué)期江西省第一次學(xué)情聯(lián)合檢測高二數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．考查范圍：選擇性必修第一冊占，選擇性必修第二冊第一章占.2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡指定位置上.3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，請將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知數(shù)列的前4項依次為，則的一個通項公式為（）A. B. C. D.2.已知直線，若，則（）A. B. C.8 D.3.已知數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列，則（）A.12 B.4 C. D.4.已知數(shù)列滿足，則的前5項的乘積為（）A. B. C. D.5.若直線l一個方向向量為，平面的一個法向量為，則直線l與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.6.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則的最大值為（）A. B. C. D.17.若，且數(shù)列是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知為數(shù)列的前n項乘積，且，則滿足的n的最小值為（）A.21 B.49 C.50 D.51二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列是公比為q等比數(shù)列，前n項和為，則（）A. B.C.當(dāng)時， D.10.已知A，B，C，D是空間直角坐標(biāo)系中的四點，P是空間中任意一點，則（）A.若與關(guān)于平面對稱，則B.若，則A，B，C，D共面C.若，則A，B，C，D共面D.若三點共線，則11.已知數(shù)列是等差數(shù)列，公差，前n項和為，且，則（）A.時，最小 B.時，最小C.最小時，或9 D.最小時，或9三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某公園有4條同心圓環(huán)步道，其長度構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，若最長步道與最短步道之差為，則最長步道為__________．13.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則___________．14.若數(shù)列滿足，在中插入n個2，按照原有順序構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列的前480項和為___________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）已知數(shù)列，求的前10項和；（2）小明購買了價格分別為x元、y元的甲、乙兩種學(xué)習(xí)用品，若1，x，y成等比數(shù)列，x，y，成等差數(shù)列，求x，y．16.記2020~2024年的年份代碼依次為1，2，3，4，5，下表為2020~2024年中國出生人數(shù)y（單位：萬人）與年份代碼x的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份代碼x12345出生人數(shù)y12001062956902954（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為，求x與y的相關(guān)系數(shù)r，并判斷該經(jīng)驗回歸方程是否有價值：（若，則認(rèn)為經(jīng)驗回歸方程有價值）（2）從表中第2行的5個數(shù)據(jù)中任取3個數(shù)據(jù)，記取到大于1000的數(shù)據(jù)個數(shù)為X，求X的分布列與期望．參考數(shù)據(jù)與公式：回歸方程中，相關(guān)系數(shù)．17已知數(shù)列滿足．（1）證明：數(shù)列等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項和．18.已知雙曲線一條漸近線方程為，左、右頂點分別為，且．（1）求C的方程；（2）若動直線與C交于不同的兩點，直線交于點E，證明：點E恒在橢圓上；（3）若過點且斜率不為0的直線l與C的左、右支分別交于P，Q兩點，點P關(guān)于x軸的對稱點為R，判斷直線QR是否過定點，若是，求出該定點；若不是，請說明理由．19.已知數(shù)列滿足：,．（1）證明：；（2）設(shè)，求的值；（3）求的通項公式，并證明：能被3整除．

2024-2025學(xué)年下學(xué)期江西省第一次學(xué)情聯(lián)合檢測高二數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．考查范圍：選擇性必修第一冊占，選擇性必修第二冊第一章占.2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡指定位置上.3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，請將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知數(shù)列的前4項依次為，則的一個通項公式為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)規(guī)律，利用觀察法求出通項即可.【詳解】因為的前4項依次為，所以的一個通項公式為．故選：．2.已知直線，若，則（）A. B. C.8 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，，利用斜率相等即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以．驗證當(dāng)時，，兩條直線平行.故選：D．3.已知數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列，則（）A.12 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式計算可得結(jié)果.【詳解】由題意得，.故選：C.4.已知數(shù)列滿足，則的前5項的乘積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件可得數(shù)列是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式可得結(jié)果.【詳解】由得，∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，∴，∴的前5項的乘積為．故選：C．5.若直線l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則直線l與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】應(yīng)用向量法求線面角的正弦值，進(jìn)而求余弦值.【詳解】設(shè)直線l與平面所成的角為，則，所以．故選：A．6.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】設(shè)數(shù)列的公差為d，結(jié)合題設(shè)易得，進(jìn)而結(jié)合求解即可.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d，由，得，整理得，把該式看作關(guān)于d的一元二次方程，則，解得．故選：A．7.若，且數(shù)列是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】討論n為奇數(shù)和n為偶數(shù)，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得t的取值范圍.【詳解】∵數(shù)列是遞減數(shù)列，∴當(dāng)n為奇數(shù)時，，即，整理得，，∴，故，∵時，，∴，即.∵數(shù)列是遞增數(shù)列，∴當(dāng)n為偶數(shù)時，，即，整理得，，∴，故，∵時，，∴，即.綜上得，的取值范圍是．故選：C.8.已知為數(shù)列的前n項乘積，且，則滿足的n的最小值為（）A.21 B.49 C.50 D.51【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件，變形計算，得到，構(gòu)造等差數(shù)列，求出，再解不等式即可.【詳解】因為，所以，且，兩式相除得，所以，數(shù)列是首項為1、公差為1的等差數(shù)列，所以，所以令，得，所以滿足條件的n的最小值為51．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，前n項和為，則（）A. B.C.當(dāng)時， D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)判斷A；根據(jù)等比中項公式判斷B；根據(jù)等比數(shù)列求和公式，變形計算判斷CD.【詳解】，故A正確；，故B錯誤；由求和公式易得C正確；，故D正確．故選：ACD．10.已知A，B，C，D是空間直角坐標(biāo)系中的四點，P是空間中任意一點，則（）A.若與關(guān)于平面對稱，則B.若，則A，B，C，D共面C.若，則A，B，C，D共面D.若三點共線，則【答案】BD【解析】【分析】對于A：利用“關(guān)于誰對稱誰不變”即可求出B點坐標(biāo)即可判斷，對于B：利用共面向量定理可得B正確；對于C：利用共面向量定理的推論即可驗證；對于D：利用共線向量定理即可求得結(jié)果.【詳解】對于A，A與B關(guān)于平面對稱，則，故A錯誤；對于B，由共面向量定理易知得B正確；對于C，因為，故C錯誤；對于D，，因為A，B，C共線，所以共線，所以，所以，故D正確．故選：BD．11.已知數(shù)列是等差數(shù)列，公差，前n項和為，且，則（）A.時，最小 B.時，最小C.最小時，或9 D.最小時，或9【答案】ACD【解析】【分析】由條件推出，求得，根據(jù)各選項逐一判斷即得.詳解】由得，所以，對于A，因，由，，可得時最小，故A正確；對于B，由A可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，且，故時，最小，即B錯誤；對于C，因，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，所以最小時或9，故C正確；對于D，因，當(dāng)時因，當(dāng)時，且，所以最小時，或9，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某公園有4條同心圓環(huán)步道，其長度構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，若最長步道與最短步道之差為，則最長步道為__________．【答案】960【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式列出關(guān)于首項和公比的方程，進(jìn)而求出最長步道的長度.【詳解】設(shè)這條同心圓環(huán)步道的長度構(gòu)成的等比數(shù)列為，公比，首項為（），根據(jù)等比數(shù)列通項公式，可得.因為越大，的值越大，所以最短步道為，最長步道為.可得.已知最長步道與最短步道之差為，即，聯(lián)立解得，，即最長步道為.故答案為：960.13.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則___________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合前n項和計算得解.【詳解】等差數(shù)列中，，由，得，所以.故答案為：14.若數(shù)列滿足，在中插入n個2，按照原有順序構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列的前480項和為___________．【答案】1215【解析】【分析】由題意，根據(jù)等差數(shù)列前項和公式求出數(shù)列項數(shù)和前480項中2的個數(shù)，再求出數(shù)列的前30項和即可.【詳解】數(shù)列中從到的項數(shù)為：，令，得，且，所以數(shù)列的前480項中后面還有15項，則數(shù)列的前480項中2的個數(shù)為．由，得，故數(shù)列的前30項和是數(shù)列的前10項和，且和為，所以數(shù)列的前480項和為．故答案為：1215【點睛】難點點睛：本題的難點是推出數(shù)列的前480項中后面還有15項.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）已知數(shù)列，求的前10項和；（2）小明購買了價格分別為x元、y元的甲、乙兩種學(xué)習(xí)用品，若1，x，y成等比數(shù)列，x，y，成等差數(shù)列，求x，y．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式計算；（2）運用等比中項和等差中項聯(lián)立方程，計算即可.【詳解】（1）因為，則數(shù)列是首項為、公比為2的等比數(shù)列，所以的前10項和為．（2）因為1，x，y成等比數(shù)列，x，y，成等差數(shù)列，所以，且即解得．16.記2020~2024年的年份代碼依次為1，2，3，4，5，下表為2020~2024年中國出生人數(shù)y（單位：萬人）與年份代碼x的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份代碼x12345出生人數(shù)y12001062956902954（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為，求x與y的相關(guān)系數(shù)r，并判斷該經(jīng)驗回歸方程是否有價值：（若，則認(rèn)為經(jīng)驗回歸方程有價值）（2）從表中第2行的5個數(shù)據(jù)中任取3個數(shù)據(jù)，記取到大于1000的數(shù)據(jù)個數(shù)為X，求X的分布列與期望．參考數(shù)據(jù)與公式：回歸方程中，相關(guān)系數(shù)．【答案】（1），有價值（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題干中的條件和公式，將數(shù)值代入即可求得線性回歸方程與相關(guān)系數(shù)./（2）由表中第2行的5個數(shù)據(jù)中任取3個數(shù)據(jù)，且大于1000，故X的取值可為0，1，2，根據(jù)離散型隨機變量求出各個的概率，即可求出分布列和期望.【小問1詳解】由x的取值依次為1，2，3，4，5，得，因為經(jīng)驗回歸方程為，所以，所以，所以．因為，所以該經(jīng)驗回歸方程有價值．【小問2詳解】X的取值依次為0，1，2，，所以X的分布列為X012P所以．17.已知數(shù)列滿足．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義，結(jié)合已知條件即可證明；（2）利用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】因為，所以，且，所以數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列．【小問2詳解】由（1）知，，所以，所以，兩式相減得，所以．18.已知雙曲線的一條漸近線方程為，左、右頂點分別為，且．（1）求C的方程；（2）若動直線與C交于不同的兩點，直線交于點E，證明：點E恒在橢圓上；（3）若過點且斜率不為0的直線l與C的左、右支分別交于P，Q兩點，點P關(guān)于x軸的對稱點為R，判斷直線QR是否過定點，若是，求出該定點；若不是，請說明理由．【答案】（1）（2）證明見解析（3）是，【解析】【分析】（1）根據(jù)漸近線方程以及即可求解，（2）求解的直線方程，即可得交點E的坐標(biāo)滿足求解，（3）聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)對稱性得定點在x軸上，求解QR的方程為，令即可求解.【小問1詳解】因為，所以，因為C的一條漸近線方程為，所以，所以C的方程為．【小問2詳解】證明：由（1）知，設(shè)，則，且，直線的方程分別為，相乘得，即，因為點E既在直線上，又在直線上，所以點E的坐標(biāo)滿足，所以點E恒在橢圓上．【小問3詳解】設(shè)，則，設(shè)直線l的方程為，與聯(lián)立得，所以，所以，直