PAGE1-三、創新性——立足求變變中出新遷移與交匯開放與探究新立意與常規求解高考數學試題的創新性是數學試題具有較高生命力和價值的體現，每年的高考試題的特點都呈現穩中求新，具有開放性、新奇性、敏捷性等特點，“年年考題都相像，考題年年有創新”，解決創新性問題注意以下三點：(1)學問的遷移與交匯，將學問的遷移與交匯有機結合．(2)做好“翻譯”工作，將創新點“翻譯”為數學基礎學問．(3)將開放性、探究性問題轉化為常規性問題．創新性命題目標真題回顧素養清單遷移與交匯(函數)創新點：函數的奇偶性與導數、切線交匯函數的奇偶性與導數的幾何意義，函數方程思想，轉化化歸思想及運算求解實力1.[2024·全國卷Ⅰ]設函數f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)為奇函數，則曲線y＝f(x)在點(0,0)處的切線方程為()A.y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x解析：解法一因為函數f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax為奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因為x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲線y＝f(x)在點(0,0)處的切線方程為y＝x.故選D.解法二因為函數f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax為奇函數，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲線y＝f(x)在點(0,0)處的切線方程為y＝x.故選D.答案：D[數學建模][數學運算][邏輯推理]創新點：二倍角公式、導數與最值問題交匯或柯西不等式做敏捷運用二倍角公式與三角函數的最值，導數及其應用，轉化化歸思想，函數方程思想與運算求解實力2.[2024·全國卷Ⅰ]已知函數f(x)＝2sinx＋sin2x，則f(x)的最小值是________．解析：解法一因為f(x)＝2sinx＋sin2x，所以f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝4cos2x＋2cosx－2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－\f(1,2)))(cosx＋1)，由f′(x)≥0得eq\f(1,2)≤cosx≤1，即2kπ－eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，由f′(x)≤0得－1≤cosx≤eq\f(1,2)，即2kπ＋π≥x≥2kπ＋eq\f(π,3)或2kπ－π≤x≤2kπ－eq\f(π,3)，k∈Z，所以當x＝2kπ－eq\f(π,3)(k∈Z)時，f(x)取得最小值，且f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)))＝－eq\f(3\r(3),2).解法二：因為f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)＝4sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)·2cos2eq\f(x,2)＝8sineq\f(x,2)cos3eq\f(x,2)＝eq\f(8,\r(3))eq\r(3sin2\f(x,2)cos6\f(x,2))，所以[f(x)]2＝eq\f(64,3)×3sin2eq\f(x,2)cos6eq\f(x,2)≤eq\f(64,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3sin2\f(x,2)＋cos2\f(x,2)＋cos2\f(x,2)＋cos2\f(x,2),4)))4＝eq\f(27,4)，當且僅當3sin2eq\f(x,2)＝cos2eq\f(x,2)，即sin2eq\f(x,2)＝eq\f(1,4)時取等號，所以0≤[f(x)]2≤eq\f(27,4)，所以－eq\f(3\r(3),2)≤f(x)≤eq\f(3\r(3),2)，所以f(x)的最小值為－eq\f(3\r(3),2).答案：－eq\f(3\r(3),2)[數學建模][數學運算][邏輯推理]開放與探究(立體幾何)創新點：由靜變動、由特別到一般、由平面到空間，由形到數的遷移的開放線面角與平面圖形的推斷與面積，轉化化歸和數形結合實力，空間想象與運算求解實力3.[2024·全國卷Ⅰ]已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為()A.eq\f(3\r(3),4)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(3\r(2),4)D.eq\f(\r(3),2)解析：如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1D1與棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方體的其余棱都分別與A1A，A1B1，A1D1平行，故正方體ABCD-A1B1C1D1的每條棱所在直線與平面如圖所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中點E，F，G，H，M，N，則正六邊形EFGHMN所在平面與平面AB1D1平行且面積最大，此截面面積為S正六邊形EFGHMN＝6×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)sin60°＝eq\f(3\r(3),4).故選A.答案：A[數學建模][數學抽象][數學運算]創新點：再現了學生到工廠勞動實踐的場景，引導學生關注勞動長方體及棱錐的體積公式4.[2024·全國卷Ⅲ]學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD－A1B1C1D1挖去四棱錐O－EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F，G，H分別為所在棱的中點，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3解析：由題易得長方體ABCD－A1B1C1D1的體積為6×6×4＝144(cm3)，四邊形EFGH為平行四邊形，如圖所示，連接GE，HF，易知四邊形EFGH的面積為矩形BCC1B1面積的一半，即eq\f(1,2)×6×4＝12(cm2)，所以V四棱錐O－EFGH＝eq\f(1,3)×3×12＝12(cm3)，所以該模型的體積為144－12＝132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質量為132×0.9＝118.8(g)．答案：118.8[數學建模][數學抽象][數學運算][數據分析]

高考小題集訓(三)1．[2024·河北九校其次次聯考]已知集合M＝{x|x<2}，N＝{x|x2－x<0}，則下列選項正確的是()A．M∪N＝RB．M∪?RN＝RC．N∪?RM＝RD．M∩N＝M解析：因為N＝{x|x2－x<0}＝{x|0<x<1}，所以?RN＝{x|x≤0或x≥1}，所以M∪?RN＝R.故選B.答案：B2．[2024·廣東汕頭金山中學期中]設復數z1，z2在復平面內對應的點關于實軸對稱，若z1＝eq\f(1＋3i,1－i)，則z1＋z2等于()A．4iB．－4iC．2D．－2解析：z1＝eq\f(1＋3i,1－i)＝eq\f(1＋3i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(－2＋4i,2)＝－1＋2i，∵復數z1，z2在復平面內對應的點關于實軸對稱，∴z2＝－1－2i，則z1＋z2＝－2，故選D.答案：D3．[2024·黑龍江大慶模擬]若一系列函數的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數為“同族函數”，則函數解析式為y＝x2＋1，值域為{1,3}的同族函數有()A．1個B．2個C．3個D．4個解析：由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±eq\r(2)，所以函數的定義域可以是{0，eq\r(2)}，{0，－eq\r(2)}，{0，eq\r(2)，－eq\r(2)}，故值域為{1,3}的同族函數共有3個．故選C.答案：C4．[2024·廣東佛山一中期中]已知命題p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0＋1≥0；命題q：若a2<b2，則a<b.下列命題為真命題的是()A．p∧qB．p∧綈qC．綈p∧qD．綈p∧綈q解析：?x0＝0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0＋1≥0，故命題p為真命題；當a＝1，b＝－2時，a2<b2成立，但a<b不成立，故命題q為假命題．所以命題p∧q，綈p∧q，綈p∧綈q均為假命題，命題p∧綈q為真命題．故選B.答案：B5．[2024·五省六校(K12聯盟)聯考]某中學有中學生960人，初中生480人，為了了解學生的身體狀況，采納分層抽樣的方法，從該校學生中抽取容量為n的樣本，其中中學生有24人，那么n＝()A．12B．18C．24D．36解析：由分層抽樣知eq\f(n,960＋480)＝eq\f(24,960)，解得n＝36，故選D.答案：D6．[2024·河北保定摸底]已知數列{an}的通項公式為an＝nsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,2)π))＋1，前n項和為Sn，則S2017＝()A．1232B．3019C．3025D．4321解析：∵an＝nsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,2)π))＋1，∴a1＝1×0＋1，a2＝2×(－1)＋1，a3＝3×0＋1，a4＝4×1＋1，…，a2017＝2017×0＋1，∴S2017＝2017×1＋(－2＋4－6＋8＋…＋2016)＝2017＋504×2＝3025.故選C.答案：C7．[2024·浙江杭州一中月考]若α是第四象限角，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝－eq\f(5,12)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝()A.eq\f(1,5)B．±eq\f(5,13)C.eq\f(5,13)D．－eq\f(5,13)解析：∵α是第四象限角，∴2kπ－eq\f(π,2)<α<2kπ(k∈Z)，∴2kπ－eq\f(π,6)<eq\f(π,3)＋α<2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝－eq\f(5,12)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))為第四象限角，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(5,13)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(5,13)，故選D.答案：D8．[2024·北京八十中學月考]不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－2y≤4))的解集記為D，若?(x，y)∈D，則()A．x＋2y≥－2B．x＋2y≥2C．x－2y≥－2D．x－2y≥2解析：作出不等式組表示的平面區域如圖中陰影部分所示．設z＝x＋2y，作直線l0：x＋2y＝0，易知z的最小值為0，無最大值．所以依據題意知，?(x，y)∈D，x＋2y≥0恒成立，故x＋2y≥－2恒成立．故選A.答案：A9．[2024·湖南五市十校聯考]已知E，F分別是三棱錐P－ABC的棱AP，BC的中點，AB＝6，PC＝6，EF＝3eq\r(3)，則異面直線AB與PC所成的角為()A．120°B．45°C．30°D．60°解析：設AC的中點為G，連接GF，EG，∵E，F分別是三棱錐P－ABC的棱AP，BC的中點，PC＝6，AB＝6，∴EG∥PC，GF∥AB，EG＝3，GF＝3.∴∠EGF為異面直線AB與PC所成的角(或其補角)．在△EFG中，EF＝3eq\r(3)，∴cos∠EGF＝eq\f(9＋9－27,2×3×3)＝－eq\f(1,2)，∴∠EGF＝120°，∴異面直線AB與PC所成的角均為60°.答案：D10．[2024·北京昌平區期末]《九章算術》是我國古代的數學著作，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：在屋內墻角處堆放米，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積及堆放的米各為多少？已知米堆所形成的幾何體的三視圖如圖所示，一斛米的體積約為1.62立方尺，由此估算出堆放的米約有()A．21斛B．34斛C．55斛D．63斛解析：設圓錐的底面eq\f(1,4)圓的半徑為r，則eq\f(π,2)r＝8，解得r＝eq\f(16,π)，故米堆的體積為eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,π)))2×5＝eq\f(320,3π)(立方尺)．∵1斛米的體積約為1.62立方尺，∴eq\f(320,3π)÷1.62≈21(斛)，故選A.答案：A11．[2024·山西太原期末]平面對量a，b，c不共線，且兩兩所成的角相等，若|a|＝|b|＝2，|c|＝1，則|a＋b＋c|＝()A．1B．2C.eq\r(5)D．5解析：∵a，b，c不共線且兩兩所成的角相等，∴a，b，c兩兩所成的角均為120°，又|a|＝|b|＝2，|c|＝1，∴a·b＝－2，b·c＝a·c＝－1，∴|a＋b＋c|2＝4＋4＋1－4－2－2＝1.∴|a＋b＋c|＝1.故選A.優解一設a＋b＝d，∵a，b，c不共線且兩兩所成的角相等，∴a，b，c兩兩所成的角均為120°，∴d＝λc(λ<0)．又|a|＝|b|＝2，∴|d|＝2，又|c|＝1，∴d＝－2c∴|a＋b＋c|＝|－c|＝1.故選A.優解二如圖，建立平面直角坐標系，∵a，b，c不共線且兩兩所成的角相等，∴a，b，c兩兩所成的角均為120°.又|a|＝|b|＝2，|c|＝1，∴a＝(－1，eq\r(3))，b＝(－1，－eq\r(3))，c＝(1,0)，∴a＋b＋c＝(－1,0)，∴|a＋b＋c|＝1.故選A.答案：A12．[2024·全國卷Ⅱ]設函數f(x)的定義域為R，滿意f(x＋1)＝2f(x)，且當x∈(0,1]時，f(x)＝x(x－1)．若對隨意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq\f(8,9)，則m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,4)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,3)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,2)))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(8,3)))解析：本題主要考查函數的解析式、函數的圖象、不等式恒成立問題，意在考查考生的邏輯思維實力、等價轉化實力、運算求解實力，考查分類探討思想、數形結合思想，考查的核心素養是數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算．當－1<x≤0時，0<x＋1≤1，則f(x)＝eq\f(1,2)f(x＋1)＝eq\f(1,2)(x＋1)x；當1<x≤2時，0<x－1≤1，則f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)；當2<x≤3時，0<x－2≤1，則f(x)＝2f(x－1)＝22f(x－2)＝22(x－2)(x－3)，……由此可得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(…,\f(1,2)x＋1x，－1<x≤0，,xx－1，0<x≤1，,2x－1x－2，1<x≤2，,22x－2x－3，2<x≤3，,…))由此作出函數f(x)的圖象，如圖所示．由圖可知當2<x≤3時，令22(x－2)(x－3)＝－eq\f(8,9)，整理，得(3x－7)(3x－8)＝0，解得x＝eq\f(7,3)或x＝eq\f(8,3)，將這兩個值標注在圖中．要使對隨意x∈(－∞，m]都有f(x)≥－eq\f(8,9)，必有m≤eq\f(7,3)，即實數m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,3)))，故選B.答案：B13．[2024·東北三省四市教研聯合體高考模擬試卷(一)]為了解天氣轉冷時期居民電量運用狀況，某調查人員由下表統計數據計算出的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－2.11x＋61.13，現表中一個數據被污損，則被污損的數據為________．(結果保留整數)氣溫x/℃181310－1用電量y/度2434·64解析：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(18＋13＋10－1,4)＝10，代入回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－2.11x＋61.13得eq\o(y,\s\up6(－))＝40.03，設污損的數據為a，則24＋34＋a＋64＝4×40.03，得a＝38.12≈38.答案：3814．[2024·山東夏津一中月考]過直線2x＋y－1＝0和直線x－2y＋2＝0的交點，且與直線3x＋y＋1＝0垂直的直線方程為________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－1＝0，,x－2y＋2＝0))得交點坐標為(0,1)．因為直線3x＋y＋1＝0的斜率為－3，所求直線與直線3x＋y