第3章綜合素質評價

限時:120分鐘滿分:120分

一、選擇題(本題有10小題，每小題3分，共30分)

1.計算5T的結果為()

11

A.—B.5C.—5D.—

55

2.“桃花春色暖先開，明媚誰人不看來.”每年4月橘子洲的桃花競相開放，

燦若云霞，芳香四溢，吸引眾多市民和游客前來賞花踏春.桃花花粉直徑約為

0.00003米，其中0.00003用科學記數法表示為()

454

A.0.3x10B.3xIO-c0.3x10~D.3x10-

3.下列運算正確的是()

A.a2xa2—a4B.(a2)3=a5C.(ab)3=ab3D.a6a3—a2

4.已知3M=5,3"=4,則3加+正等于()

45

A.-B.9C.-D.20

54

5.已知%2-％=3,則代數式(3%+2)(3%-2)+%(%-10)的值為()

A.34B.14C.26D.7

6.已知(%-2025)2+(x-2027)2=34,則(％-2026/的值是()

A.4B.8C.12D.16

7.若4與—jab的積為—4a3/)3+5<22爐—jab,則4為()

A.—8a2b2+10ab—1B.—2a2b2H—ctbH—

24

C.8a2b2—Wab+1D.2a2b2--ab+1

2

8.已知多項式ax-3與2/+2%+3的乘積展開式中不含％的一次項，則a的值

為()

A.0B.-2C.2D.3

22

9.已知P=2/+4y+13,Q=%-y+6x-1,則代數式P,Q的大小關系是

()

A.PNQB.P<QC.P>QD.P<Q

10.現有一張邊長為a的大正方形卡片和三張邊長為b的小正方形卡片

(|a<b<a)如圖①，將三張小正方形卡片放入大正方形卡片內拼成的圖案如圖

②.再重新將兩張小正方形卡片放入大正方形卡片內拼成的圖案如圖③.已知圖②

中的陰影部分的面積比圖③中的陰影部分的面積大2ab-6,則小正方形卡片的

邊長是()

abbb

①②③

A.1B.V2C.2D.4

二、填空題(本題有6小題，每小題4分，共24分)

n.計算一%5.2的結果等于^___________

12.已知2m=a,32n=b,其中TH,n均為正整數，則23^+1。"=.

13.如果關于％的多項式9/—(^—1)%+4是完全平方式，那么m的值為

14.一塊長方形苗圃的面積是(3a2+6ab)m2,長為3am,則它的周長為

15.已知a>0,b>0,(3a+3b+l)(3a+3b—1)=899,則a+b=_.

16.已知長方形ABC。中,4。>AB,AD=1(\將兩張邊長分別為a和匕(a>b)的正

方形紙片按如圖①，②兩種方式放置(圖①，圖②中兩張正方形紙片均有部分重

疊)，長方形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設圖①中陰影部

分的面積為S1，圖②中陰影部分的面積為$2.當S2—Si=3b時，AB=.

三、解答題(本題有8小題，共66分)

17.(6分)計算：

(1)a3-a3+(a2)4+(2a4)2;

/1\-2/1\2026

(2)(-j)+(2025-TT)°+(-|)x(-3產26.

18.(6分)在計算(2%+a)(%+5)時，甲錯把a看成了一a,得到的結果是2/-

10%+12;乙由于漏抄了第一個多項式中力的系數，得到的結果是/+%-12.

(1)求出a力的值；

(2)在(1)的條件下，計算(2%+a)(%+5)的結果.

19.(6分)先化簡，再求值：

(1)|x(2x+y)—(%+之')(”—y)，其中久—2,y=-1;

(2)(x+2)(3%—1)—2x(x+2),其中%之+%—4—0.

20.(8分)點點同學在復習《整式的除法》時發現自己的課堂筆記中有一部

分被墨水弄污了.具體情況如下：(15久3y5一★—20久3y2)+(-5%3y2)=團

+24/2+4,被除式的第二項被墨水弄污成了★，商的第一項被墨水弄污成了回，請

你求出★和團這兩處被弄污了的內容.

21.(8分)某校為了改善校園環境，準備在長、寬如圖所示的長方形空地上,

修建橫、縱寬度均為a(a>0)m的兩條小路，其余部分修建花圃.

(1)用含a,b的代數式表示花圃的面積并化簡.

(2)記長方形空地的面積為Sim2,花圃的面積為S?m?,若5s2—3sl=lOa?,求

會的值.

31

22.(10分)在我國南宋數學家楊輝(約13世紀)所著的《詳解九章算術》

(1261年)一書中，用如圖所示的三角形解釋二項和的乘方規律，法國數學家

帕斯卡于1654年才發現此三角形，比中國晚了幾百年，楊輝在注釋中提到，在

他之前北宋數學家賈憲(1050年左右)也用過這種方法，因此我們稱這個三角

形為“楊輝三角”或“賈憲三角”.此圖揭示了(a+b)”("為非負整數)的展開

式的項數及各項系數的有關規律：

1

]].......(a+by=a+b

121.......(〃+6)2=〃2+2〃方+〃

1331.......(a+by=a3+3a2b+3ab2+b3

14()()1.......(〃+Z?)J〃4+4〃3b+6〃2匕2…

(1)補充完整(a+5)4的展開式及圖中“()”內的數，(a+

5)4=;

(2)(a+5)7的展開式中共有項，所有項的系數和為

(3)利用上面的規律計算：25—5x24+10x23—10x22+5x2—1.

23.(10分)先閱讀下面材料，再解決問題：

在求多項式的值時，有時可以通過“降次”的方法，把字母的次數從“高次”

降為“低次”.一般有“逐步降次法”和“整體代入法”兩種做法.

例如：已知％2+2%_1=0,求多項式2/+4%+2023的值.

方法一：因為/+2%—1=0,所以為2=—2x+1.

所以原式=2(-2%+1)+4%+2023=-4x+2+4%+2023=2025.

方法二：因為%2+2%-1=0,

所以％2+2%=1.

所以原式=2(/+2久)+2023=2+2023=2025.

(1)應用：已知2/+6%-3=0,求多項式一3/-9%+4的值(只需用一種

方法求解即可)；

(2)拓展：已知/+3%—2=0,求多項式3/+12/+3/—6%+5的值

(只需用一種方法求解即可).

24.(12分)定義：將二次三項式為2+5%+C變形為(久+771)2+71的形式，我

們稱為配方，然后由平方具有非負性，即(久+m)220就可以解決很多問題，

例如：把多項式％2—2x+3配方為：%2—2x+3=%2—2?%-1+I2—I2+

3=(%—1)2+2.

(1)把多項式X2+4%+5配方成(％+771)2+71的形式，則

m=,n=;

(2)若多項式4—x2+4x+5,B—x2+6x.

①試說明：無論%取任何實數，多項式a的值一定恒為正數；

②求多項式24-B的最小值；

(3)已知正整數a,b,c滿足不等式a?+b2+c2+36<ab+6b+10c,求a+

b-c的值.

第3章綜合素質評價

限時:120分鐘滿分:120分

一、選擇題(本題有10小題，每小題3分，共30分)

1.計算5T的結果為()

11

A.—B.5C.—5D.—

55

【答案】A

2.“桃花春色暖先開，明媚誰人不看來.”每年4月橘子洲的桃花競相開放,

燦若云霞，芳香四溢，吸引眾多市民和游客前來賞花踏春.桃花花粉直徑約為

0.00003米，其中0.00003用科學記數法表示為()

A.0.3x104B.3x10-5C.0.3xIO_5D.3x10-4

【答案】B

3.下列運算正確的是()

A.a2xa2—a4B.(a2)3=a5C.(ab)3=ab3D.a6a3—a2

【答案】A

4.已知3m=5,3n=4,則3加+陞等于()

4弓

A.-B.9C.-D.20

54

【答案】D

5.已知％2一%=3,則代數式(3%+2)(3%—2)+%(％—10)的值為()

A.34B.14C.26D.7

【答案】C

6.已知-2025。+(%-2027)2=34,則(％-2026)2的值是()

A.4B.8C.12D.16

【答案】D

【點撥】(%—2025)2+(%-2027)2=(K一2026+I)2+(%-2026-I)2

(%-2026)2+2(久一2026)+1+(%-2026)2-2(%-2026)+1=

2(%-2026)2+2=34,所以(%-2026)2=16.故選D.

7.若2與—gab的積為—4。3匕3+502廬—(ab,則4為()

A.—8a2b2+10ab—1B.—2a2b?—abH—

24

C.8a2匕2_10ab+1D.2a2b2—~ab+l

2

【答案】c

8.已知多項式ax—3與2/+2%+3的乘積展開式中不含％的一次項，則a的值

為()

A.0B.-2C.2D.3

【答案】C

9.已知P=2/+4y+13,Q=%2-y2+6%-1,則代數式P,Q的大小關系是

()

A.P>QB.P<QC.P>QD.P<Q

【答案】C

10.現有一張邊長為a的大正方形卡片和三張邊長為b的小正方形卡片

Qa<b<a)如圖①，將三張小正方形卡片放入大正方形卡片內拼成的圖案如圖

②.再重新將兩張小正方形卡片放入大正方形卡片內拼成的圖案如圖③.已知圖②

中的陰影部分的面積比圖③中的陰影部分的面積大2ab-6,則小正方形卡片的

邊長是()

abbb

①②③

A.1B.V2C.2D.4

【答案】B

【點撥】題圖②中陰影部分的面積為(a-5)2,題圖③中陰影部分的面積為

(2b—a)?.由題意得(a—b)2—(2b—a)2=2ab—6.整理，得b?=2.則小正方形

卡片的面積是2,邊長是四.故選B.

二、填空題(本題有6小題，每小題4分，共24分)

n.計算一為5.2的結果等于^___________

【答案】——

12.已知2m=a,32n=5,其中均為正整數，則23^+I。"=.

【答案】a3b2

13.如果關于久的多項式9/一(血一1)%+4是完全平方式，那么加的值為

【答案】13或一11

14.一塊長方形苗圃的面積是(3a2+6ab)m2,長為3am,則它的周長為

____________m.

【答案】8a+45

15.已知a>0,b>0,(3a+3b+l)(3a+3Z?-1)=899,則a+b=_.

【答案】10

16.已知長方形ABC。中,4。>AB,AD=10,將兩張邊長分別為a和匕(a>b)的正

方形紙片按如圖①，②兩種方式放置(圖①，圖②中兩張正方形紙片均有部分重

疊)，長方形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設圖①中陰影部

分的面積為S1，圖②中陰影部分的面積為S2.當S2—Si=3b時，AB=.

【答案】7

【點撥】S]—(4B—a),a+(CD-b^AD—a)

—(^AB—a),a+(4B—b)(^AD—a),

S2-AB?(^AD—CL)+(4B—a)(a—b),

所以S2-S]=AB?QAD—CL)+(AB-a)(a—b)—[(71B—CL),a+(AB—

b^(AD—a)]

—ABQAD—CL)+(^AB—a)(a—匕)—(AB-ct)?a—(AB-b)(<AD-CL)

—(^AD—ct)—AB+b)+(AB—a)(a—b—CL)

—(^AD—ct)b—(AB-cC)b

={AD-AB)b.

因為S2—Si=3b,AD=10,所以(10-AB)b=3b.

所以ZB=7.

三、解答題(本題有8小題，共66分)

17.(6分)計算：

(1)a3-a3+(a2)4+(2a4)2;

/1\—2/1\2026

(2)+(2025-ir)°+(-1)x(-3)2026.

【答案】(1)【解】a3.a3+(Q2)4+(2a4)2=Q6+a8+4a8=a6+5a8

/-i\-2z1\2026

(2)(-0+(2025-TT)°+(-|)x(—3)23

=4+l+[(_fX(—3)]2。26

=4+1+12026

=4+1+1

=6.

18.(6分)在計算(2%+a)(%+匕)時，甲錯把a看成了-a,得到的結果是2久2一

10%+12;乙由于漏抄了第一個多項式中％的系數，得到的結果是,+x-12.

(1)求出a力的值；

(2)在(1)的條件下，計算(2%+a)(%+5)的結果.

【答案】

(1)【解】根據題意可得:

(2%—a)(x+b)=2x2+(2b—a)x—ab=2x2—lOx+12,

(%+a)(%+b)=/+(a+b)x+ab=x2+x—12.

所以]2b-a=-10'解得｛a=4,

a+b=1,b=-3

所以。=4,b=-3.

(2)由(1)知，a=4,b=-3,

所以(2%+a)(%+b)

=(2x+4)(%—3)

=2x2—6%+4%—12

=2x2-2x-12.

19.(6分)先化簡，再求值：

(1)|x(2x+y)—(%+,y)(——y),其中%=2,y=-1;

(2)(%+2)(3%—1)—2x(%+2),其中—+%—4=0.

【答案】

(1)【解】|x(2x+y)—(%+}y)(%—y)

=xz2+.-1xy—/Ix2z+I-1xy—xy—~y]

2?121I112z

=+-xy—x乙一-xy+xy+-y

=xy+,1-y2z.

當％=2,y=—1時,

原式=2X(-1)+-x(—1)2

=-2+-2

3

-2,

(2)(%+2)(3x-l)-2%(%+2)

=3%2—%+6%—2—2%2—4%

=%2+%—2.

因為/+%—4=0,

所以久2+%=4.

所以原式=4—2=2.

20.(8分)點點同學在復習《整式的除法》時發現自己的課堂筆記中有一部

分被墨水弄污了,具體情況如下：(15/y5一★一20%3丫2)+(-5x3y2)=0

+2xy2+4,被除式的第二項被墨水弄污成了★，商的第一項被墨水弄污成了團，請

你求出★和團這兩處被弄污了的內容.

【解】因為(15%3ys—20x3y2)+(―5%3y2)=0+2xy2+4,所以★=2xy2x

5%3y2-I。%4y4,

0=15%3y5+(—5%3y2)——3y3

21.(8分)某校為了改善校園環境，準備在長、寬如圖所示的長方形空地上,

修建橫、縱寬度均為＞0)m的兩條小路，其余部分修建花圃.

(1)用含的代數式表示花圃的面積并化簡.

(2)記長方形空地的面積為Sim2,花圃的面積為$2m2,若5s2—3sl=lOM,求

沖值.

【答案】

(1)【解】花圃的面積=(2a+b-a)(3a+b-a)

=(a+b)(2a+b)

=2a2++2ab+b2

=(2a2+3ab+&2)m2.

(2)Si=(2a+b)(3a+b)=6a2+Sab+b2,

2

S2=2a2+3ab+b.

因為5s2-3sl=10a2,

所以5(2Q2+3ab+b2)—3(6a2+Sab+&2)=10a2,

所以廬=9a2

所以b=3a(負值已舍去).

2

所以Si=30a,S2=20G2.

所以包二竺二士

St30a23

22.(10分)在我國南宋數學家楊輝(約13世紀)所著的《詳解九章算術》

(1261年)一書中，用如圖所示的三角形解釋二項和的乘方規律，法國數學家

帕斯卡于1654年才發現此三角形，比中國晚了幾百年，楊輝在注釋中提到，在

他之前北宋數學家賈憲(1050年左右)也用過這種方法，因此我們稱這個三角

形為“楊輝三角”或“賈憲三角”.此圖揭示了+8尸(幾為非負整數)的展開

式的項數及各項系數的有關規律：

1

]].......(a+b)x=a+b

]21.......(a+b^*1=a2+2ab+b1

j331.......(6Z+fe)3=tz3+36z2/?+3di/?2+Z?3

14()()1.......(a+by=a4+4a3b+6a2b2…

(1)補充完整(a+b)4的展開式及圖中“()”內的數，(a+

bl=;

(2)(a+6)7的展開式中共有項，所有項的系數和為

(3)利用上面的規律計算：25—5x24+10x23—10x22+5x2—1.

【答案】

(1)a44-4a3b+6a2b2+4ab3+Z?4；如圖所示:

1

11

121

1331

14(6)(4)1

(2)8；27(或128)

【點撥】由題圖中信息可知,a+b的展開式中共有2項，所有項系數的和為1+

1=2=21;(a+5)2的展開式中共有3項，所有項系數的和為1+2+1=4=

22;(a+5)3的展開式中共有4項，所有項系數的和為1+3+3+1=8=

23；…(a+b)n的展開式中共有(n+1)項，所有項系數的和為2n.所以(a+辦了的

展開式中共有8項，所有項系數的和為27.

(3)【解】由題意可知25-5X24+10X23-10X22+5X2-1=25+

5x(-1)x24+10x(-1)2x23+10x(-1)3x22+5x(-1)4x2+(-1)5,

所以可取a=2,b=-1,

即原式=[2+(―I)]5=1.

23.(10分)先閱讀下面材料，再解決問題：

在求多項式的值時，有時可以通過“降次”的方法，把字母的次數從“高次”

降為“低次”.一般有“逐步降次法”和“整體代入法”兩種做法.

例如：已知為2+2%-1=0,求多項式2-+4x+2023的值.

方法一：因為％2+2x—1—0,所以為2=—2x+1.

所以原式=2(-2%+1)+4%+2023=-4x+2+4%+2023=2025.

方法二：因為/+2%-1=0,

所以％2+2%=1.

所以原式=2(/+2久)+2023=2+2023=2025.

(1)應用：已知2/+6%-3=0,求多項式一3/一9%+4的值(只需用一種

方法求解即可)；

(2)拓展：已知/+3%—2=0,求多項式3%4+12/+3/—6%+5的值

(只需用一種方法求解即可).

【答案】

(1)【解】因為2/+6%—3=0,所以/+3%=*

所以原式=-3(x2+3%)+4=—3x|+4=—去(也可用另一種方法求解)

(2)因為/+3%—2=0,所以％2=-3%+2,

所以原式=3x(—3%+2)2