專題9-6圓錐曲線大題：非韋達定理形式歸類

目錄

熱點題型歸納...........................................................................1

【題型一】橢圓“點代入”型............................................................1

【題型二】雙曲線“點代入”型..........................................................3

【題型三】拋物線“點代入”型..........................................................4

【題型四】知道一根或者求根公式硬算....................................................6

【題型五】非對稱型：韋達定理代入消去..................................................8

【題型六】非對稱型：韋達定理線性“互函”.............................................10

【題型七】無韋達......................................................................11

真題再現..............................................................................13

模擬檢測..............................................................................19

熱點題型歸納

【題型一】橢圓“點代入”型

【典例分析】2z

已知橢圓C：||+g=l(a>b>0)的左焦點分別為Fl(-c,0),F2(C,0),過F2作垂直于x軸的直線1

交橢圓C于A、B兩點，滿足|AF2|=2C.

(1)橢圓C的離心率；

(2)M、N是橢圓C短軸的兩個端點，設點P是橢圓C上一點(異于橢圓C的頂點)，直線MP、NP分

別和x軸相交于R、Q兩點，0為坐標原點，若［0R|?|0Q|=4,求橢圓C的方程.

【答案】(I)e=逅；(II)-+y2=1.

24

【解析】

試題分析：(I)法一：把a點橫坐標代入橢圓求得|y|,從而得到a,c的關系式，進而求得離心率；法二：

直角/40尸2中，由勾股定理得到a,c的關系式，從而求得離心率；(II)設M(0,b),N(0,-6),P(%o，yo)，則

由MP、NP的方程中分別令y=0得到R與Q點橫坐標，從而由|。川?\OQ\=4求得a的值，進而求出c,b值,

得到橢圓方程.

試題解析：(I)法一必點橫坐標為代入橢圓需1,解得|y|=?=|伍I，?4=*.即/J=

—aCf設*=e,e2+—e—1=0,解得e=@.

6a62

法二：直角2M6F2中，l&BI=2c,/F2l=fc，?,?由勾股定理得I4F/2=±c2+4C2,即|2FI|=§C,

6126

?07V3.V34A/3,CV3日口V3

??2ci=—c4----c=—c,??一=—,R|Je=—

663a22

(ID設M(0,b),N(0,-b),P(x0,yo)，

則MP方程為y=^x+b,令丫=0得到R點橫坐標為患；

22匕2—yW

NP方程為y=Qx—b,令y=0得到Q點橫坐標為爭；|。印?|OQ|=|膏gI=I°|=a?=4,

xoD+y。°-yo°_y0

**.c2=3,b2=1,，橢圓，的方程為？+y2-1.

4

【變式演練】

已知橢圓C:￡+[=1（。＞b＞0）的一個焦點與拋物線y2=4瓜的焦點重合，且橢圓C的離心率為昱.

a'b~2

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）直線/交橢圓C于A、B兩點，線段A3的中點為直線機是線段A3的垂直平分線，求證：直

線加過定點，并求出該定點的坐標.

【答案】（1）y+/=l；（2）證明見解析，直線機過定點

【分析】

（1）由拋物線丁=4氐的焦點為（6,0）,求得C,再根據橢圓c的離心率6=￡=且求解.

a2

（2）設4周,%）,8（%，%），利用點差法結合線段A3的中點為/（：）,求得線段AB的垂直平分線的方

程即可.

【詳解】

（1）拋物線丁=4瓜的焦點為（省,0）,則0=五2-62=5

橢圓C的離心率6=￡=且，則。=24=/_/=1.

a2

故橢圓C的標準方程為三+y2=1.

4-

（2）顯然點MCU）在橢圓C內部，故一且＜”走，且直線/的斜率不為0.

22

22

當直線/的斜率存在且不為0時，設4演,為）,2（尤2，%），貝情?+犬=1，亭+￥=1，

兩式相減得、+%*/）+（%+%）以一%）=0.由線段A3的中點為M（L。，則為+%=2,X+%=2f,

故直線/的斜率左=入二^=-4.因為直線機是線段AB的垂直平分線，故直線my—=4f（x-l）,QP

為一X24r

y=t（4x-3）.

令4x—3=0,止匕時x=：,y=0,于是直線機過定點g,o]

當直線/的斜率不存在時，易知f=0,此時直線機。=0,故直線機過定點1,o]

綜上所述，直線冽過定點(j,0

【題型二】雙曲線“點代入”型

【典例分析】

已知橢圓C:￡+［=1(。>b>0)的一個焦點與拋物線V=4瓜的焦點重合，且橢圓C的離心率為B.

ab~'2

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)直線/交橢圓C于4、8兩點，線段的中點為直線機是線段AB的垂直平分線，求證：直

線加過定點，并求出該定點的坐標.

【答案】(1)y+y2=l；(2)證明見解析，直線機過定點

【分析】_

(1)由拋物線產=4年的焦點為(6,0),求得c,再根據橢圓C的離心率6=￡=3求解.

a2

(2)設B(x2,y2),利用點差法結合線段A3的中點為MCU),求得線段AB的垂直平分線的方

程即可.

【詳解】

(1)拋物線>2=4瓜的焦點為(后,0),則0=行萬=6.

橢圓C的離心率e=￡=3,則。=2萬=/-2=1.

a2

故橢圓C的標準方程為上+V=1.

4-

(2)顯然點MCM)在橢圓C內部，故一立</<走，且直線/的斜率不為0.

22

當直線/的斜率存在且不為0時，設4(演,弘)，2(尤2，%)，貝U有?+犬=1，.+￡=1，

兩式相減得、+岑「々)+(%+%)(%_%)=0.由線段A3的中點為V(1,。，則%+%=2,%+%=21,

故直線/的斜率左="^=一'.因為直線加是線段45的垂直平分線，故直線-=今5-1),即

y=t(4x-3).

令4x—3=0,此時x=1,y=。，于是直線加過定點［jo:

當直線/的斜率不存在時，易知t=0,此時直線機：y=0,故直線機過定點g,o］.

綜上所述，直線加過定點

【變式演練】

已知雙曲線Q：￡-1=1(〃>0,6>0),4(2,0),，一一呼］,年］,￡)(-1,0),以4,0)五點

ab

中恰有三點在。上.

(1)求。的方程；

(2)設P是。上位于第一象限內的一動點，則是否存在定點。(孤0)(〃?<0),使得NPQA+g/P4E=；,

若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.一

2

【答案】(1)/-(=1(2)存在，定點。(TO)

【分析】

(1)、根據五點的坐標及雙曲線的對稱性和頂點的特征確定AGO都在。上，得到方程組，求得白,

即可得。的方程；

(2)、根據條件及補角的定義得到2/P0A=NPAQ,分外上了軸與必不與x軸垂直兩種情況分析求解.

(1)

若4(2,0),￡>(-1,0),E(4,0)在雙曲線Q上,則4(2,0),0(-1,0),E(4,0)只能是雙曲線Q的頂點,

(3后、

.?.A(2,0),D(-l,0),石(4,0)三點中只能有一點是頂點，.?出C都在雙曲線。上，Q3-于-三,

平J,兩點關于(0,。)上對稱，由雙曲線頂點的位置特征分析可知，。(-1,0)在。上，將

915

//-T、22------2-----------2-=]

0(-1,0),B代入雙曲線Q的方程與一斗=1中，貝步，得片=1,廿=3,故。的

22ab1

2

方程為f一匕=1.

3

1兀

(2)假設存在定點。滿足題意，QZPQA+-ZPAE=~,:.2ZPQA+ZPAE=it,2ZPQA=n-ZPAE,

:.2.ZPQA=ZPAQ.

設尸(x。,%),貝-巾=3,tanNPQ4=3p

尤0十_1

2%(%+1)2%(%+1)二%

tan2ZPQA=又tanZPAQ=%

(%+1廣-￥(%+1)-3片+32-%2_%o

.?.tan2NPQA=tanNPAQ,即2NPQA=NPAQ,所以假設成立.故存在定點。(-1,0),使得

171

ZPQA+-ZPAE=-

【題型三】拋物線“點代入”型

【典例分析】

已知拋物線G：f=丫，圓。2：/+（廠4）2=1的圓心為點M.

（1）求點”到拋物線G的準線的距離;

（2）已知點P是拋物線C|上一點（異于原點），過點尸作圓的兩條切線，交拋物線G于A,B兩點,

若過M,P兩點的直線/垂直于AB,求直線/的方程.

【答案】（1）—；（2）y=土乳叵+4.

4115

【分析】

（1）求出拋物線的準線方程以及圓心坐標，利用點到直線的距離公式即可求出結果；

（1）設點P（%,君），4（占，才），BQ2,只），進而表示出PAP8的斜率，由于M到直線PAP3的距離相

等，因此可得出關系式，根據韋達定理得到表達式，然后再結合/與垂直即可求出點尸的坐標，進而得

出結果.

（1）

由于拋物線G：/=y準線方程為：y=-;，圓J/+（>-4）2=1的圓心"（0,4）,

利用點到直線的距離公式可以得到距離〃=4-（-；）=?.

（2）設點尸（%0，*），4%,才），B（X2,名）；由題意得：入0工±1,玉工工2，

設過點尸的圓的切線方程為：y-考=左（%-%）即>=丘-辰。+君①

則=1，即（片T）公+2豌（4-x；）左+（片-4）2-1=0

設K4,PB的斜率為左,質伏1中/2），則尤，僅應該為上述方程的兩個根，

…=2咚；4）,..右=（%2:4）;一\代入①得：/-點+國-君=0貝％應為此方程的兩個根，

[J,77c2%0（%。2_4）尤。2_4

故石=尢_/,x2=k2-xQo：.kAB=玉+%2=仁+&_2%o=---2~~；----2%o,4“p=------

尤o-1%

由于MP,AB,.=Tn%2=§。故p（土仁]）;.直線/的方程為：產土￥px+4.

【變式演練】

已知拋物線C的頂點為原點，其焦點尸（0,c）（c>0）到直線/：x-y-2=o的距離為舊1.

2

（1）求拋物線C的方程；

（2）設點P?,%）為直線/上一定點，過點P作拋物線C的兩條切線B4,PB,其中A,8為切點，求

直線A3的方程，并證明直線A3過定點。.

【答案】（1）x2=4y（2）直線AB的方程為無/-2y-2x°+4=0,證明見解析

【分析】（1）根據題意，由1°一12|二述求解;

V22

2X2

（2）設尸（毛，x0-2）,切點為（工二），求得y=；,利用切線斜率由1—5—2）X,得到

42--2

%2-2/x+4尤0-8=0,結合韋達定理表示直線方程即可.

(1)解：拋物線C的焦點F(0,c)(c>0)到直線/：丈->-2=0的距離為￡1,.?./一『=逆,

2V22

解得c=l或c=-5,(舍)，，拋物線C的方程為f=4y.

(2)設尸(毛，*-2),設切點為(x,q)，因為曲線C：y=《，所以曠=：,則切線的斜率為一壬

y

442x_Xg--2

化簡，得爐-2X0X+4X。-8=0,設4(不，予，B值,1-),則為,々是以上方程的兩根，

.?.占+%=2尤。，尤也=4尤。-8,=則直線A3方程為：l￥=與(尤_占)，化簡得:

2x0x+%,_2x0xl_4y=0,

因為號—2%0玉+4x0-8=0,所以工0%_2,_2%0+4=0,即X0（J；-2）+2（2-）；）=0,

所以直線AB過定點Q（2,2）.

【題型四】知道一根或者求根公式硬算

【典例分析】

已知拋物線方程外=軌，/為焦點，P為拋物線準線上一點，Q為線段PF與拋物線的交點，定義：d(P)=靄.

(1)當p(—L—9時，求d(P)；

(2)證明：存在常數a,使得2d(P)=|PF|+a；

(3)Pi，P2/3為拋物線準線上三點，且回221=四2P31判斷d(Pj+d(P3)與2d(P2)的關系.

【答案】(1)/(2)2；(3)見解析

【分析】

(1)求解出Q點坐標，然后得到|PF|和|FQ|,從而求得d(P)；(2)通過假設P點坐標得到直線PF方程，

與拋物線聯立后得到y(2，代入2d(P)—|PF|,整理得到結果；(3)由IP/2I=|P2P31可知「2為P1J3中點，

假設三點坐標，代入2[d(Pj+d(P3)]-4d伊2),將式子整理為yi和為的形式，然后通過平方運算可得到

2[d(Pj+岫)]一4d。2)>O從而得到結論：d(Pi)+d(P3)>2d(P2).

【詳解】

由題意可知：F(l,0),準線方程為：x=-1

(1)因為七尸=+=：今y=―1)聯立方程3("1)=>XQ=

Iy2=4%4

則[|PF|=J(-l-l)2+(-|-0)2=?=以咫=￡

I\QF\=XQ+1=^

(2)當P(—1,0)時，易得a=2d(P)-|P尸|=2

設P(-l,yp),yP>0,直線PF:%=my+1,則myp=-2

聯立y2nJ1，y?—4my—4=0=4瓶+"霆士^—27n+2Vm2+12d(P)—\PF\=2y--

222

G~~;--7--2,2yjl+moy/m+l-m,2Vl+mo

△+n=2，“⑵”2丫/+1)+=一2—^―+=2

由對稱性可知yp<。亦成立。綜上所述，存在a=2,使得2d(P)=\PF\+a

(3)由IP1P2I=IP2P3I可知「2為七，23中點

設PI(一1,丫1)/2(—1,%)/3(—1，乃)，則2[d(P[)+d(P3)]-4d(P2)=|P/|+\P3F\-2\P2F\=依+4+

依+4-2。資+4=J資+4+依+4-+;=，比+4+依+4-+為乃+16

因為“比+4+收+4)2-[(yi+內尸+16]=2依+4依+4-2yly2-8

又因(資+4)(泊+4)-(y，3+4尸=4(yf+謁)-8yly3>°。所以d(Pj+d(P)>2Mp

3。

【變式演練】

如圖所示，橢圓C:二+]=1(。>6>0)的離心率為其右準線方程為x=4,A、8分別為橢圓的左、右

頂點，過點A、B作斜率分別為a、k2,直線AM和直線2N分別與橢圓C交于點M,N(其中M在無軸

(2)若直線恒過橢圓的左焦點耳，求證：，為定值.

22

【答案】(1)土+工=1；(2)證明見解析.

43

(1)由題可得￡=」,且=4,求出G。，再利用a2=〃+c2,即可求出橢圓C的方程;

a2c

丫2v2甌2+612匕、

(2)設的方程為>=左(》+2),聯立土+二=1,利用韋達定理求得點M,同理求

433+44，3+4婷)

UUUUUUL1Uk.

-6-12右t

出N,再利用向量共線/片//NT；,求出尢-3&=0,即證7為定值.

色之‘3+4左2?/vn

【詳解】(1)由題可得￡=工,土=4,解得C=1,“=2

a2c

22

又/=廿+片，可得廿=3,所以橢圓C的方程為：土+匕=1

43

（2）A（-2,0）,設4M的方程為y=K（x+2）,設加（4乂），

y=K（x+2）

由<彳2丫2,消去y整理得（3+4左j）/+16Al-尤+16Al~-12=0,A>0,

—+—=1

16婷

x-2=--------H-

3+4/一8%，+612k,

由韋達定理可得：“2；0，解得見=三六二，代入y=4（x+2），求得M,即

16k]-123+4/C]

3+4婷

-8彳+6

M

3+4短

5（2,0）,設8N的方程為、=右（彳一2）,設N（%,%），

y=/（x-2）

由2,消去y整理得（3+4公2）/一16鼠，+16鼠2-12=0,A>0,

——+—=1

143

c16匕2

無2+2=——

-3+4《2一612k,

由韋達定理可得：，解得X,=。2.，，代入y=%（x—2）,求得%詬，即

16&2_123+4左2

3+4始

8左；—6-12k、

13+的2，3+的「

UULUUL1LUL

又直線MN恒過橢圓的左焦點耳，則M片〃N豈

UUUITf-4k；+9辟（12&。3-12%、

又〃耳=[3+4/21（3+牝2,3+40

4：+9-12&12勺12^-3

3+4婷,3+4始-3+4婷*3+4修,即（4自e+3）（左一3七）=0

&=3

Q勺，女2>。/.4^^2+3>0勺一3左2=。即左2

【題型五】非對稱型：韋達定理代入消去

【典例分析】

22

已知P點坐標為（0,2）,點A8分別為橢圓￡言+3=1（。>"0）的左、右頂點，直線轉交E于點Q/ABP

-3f

是等腰直角三角形，且2。=5。4

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點M（l,0）的直線/交橢圓E于C,O兩點，其中點C在x軸上方.設直線AD的斜率為勺，直線BC的

斜率為心，探究?是否為定值，若為定值，求出定值；若不是定值，說明理由.

【答案】（1）橢圓E的方程為：—+/=1；（2）曾是定值為

4/23

【分析】（1）根據題意可知。=2,A（-2,0）,設。（毛，％）,由向量等式可得。的坐標，代入橢圓方程求

出b的值，從而得到橢圓E的方程；

(2)設出CO方程，與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系即斜率公式即可求得%為定值.

k2

【詳解】(1)ABP是等腰直角三角形，，。=？，A(-2,0),已知尸(。,2),

6

-3，3%=一3

設。(%,%),由PQ=jQA,得(％,y0-2)=-(-2-x0-y0),貝叫，代入橢圓方程得〃=1,

2，4

2

，橢圓E的方程為：3r+

y=k（x-I）

(2)當直線/的斜率存在時,設直線I的方程為y=k(x-l),聯立/，得（4公+1）/-8%—+4%2-4=0.

——+y2=1

14/

8k24k2-4

設CO,%）,（X%），則%+%=k

D2,,Xi1Xy2-zi=f

4/+14F+1x2+2x1-2

貝心二%（-）=無區-1）（占-2）芭％2-2々-Xj+2_2（百+/）+玉+2—2—4k2+百￡

—

」k2yx（%+2）（玉-1）（%2+2）西％2+2%一%2—2%工2—（玉+/）+3%一26—12k之+3%3

當直線/的斜率不存在時，C、。分別與A、B重合，不符合C在X軸上方，舍去.

十是定值為(

【變式演練】

已知橢圓C：工+y2=i3>1)的離心率為諉.

a2-3

(I)求橢圓C的方程；

(II)設直線/過點M(l,0)且與橢圓C相交于兩點.過點A作直線x=3的垂線，垂足為。.證明直線3。

過x軸上的定點.

【答案】(1)三+丁2=1;(2)見解析.

【分析】(1)由離心率列方程可求得橢圓方程；

(2)當直線AB的斜率不存在時，直線BD過點(2,0).當直線AB的斜率存在時，設直線AB為y=k

(x-1),聯立方程組，消去y整理得：(l+3k2)x2-6k2x+3k2-3-0.利用韋達定理、直線方程，結合已知條

件求出直線BD過x軸上的定點.

b=l

【詳解】(1)解：由題意可得$=￡，解得。=石，b=l,所以橢圓C的方程為江+產=1.

a33

a2=b2+c2

(2)直線8。恒過x軸上的定點N(2,0).證明如下

(a)當直線/斜率不存在時，直線/的方程為尸1,不妨設A(1,亂，B(1,一耳，D⑶立).此

333

時，直線2。的方程為：y=^~(x-2),所以直線8。過點(2,0).

3

(b)當直線/的斜率存在時，設A5,〃)，B(X2,y2),直線A8為產上Cx-1),D(3,yi).

'，尸6H3左2一3

由■{+3y~=3得：(1+3F)x2-6Fx+3F-3=0.所以尤/+芯=-,xiX2=—；.........(*)

3k2+\3k-+\

直線BD:y-y尸上?(X-3),只需證明直線8。過點(2,0)即可.

%2-3

得片3=」"…3y2—3，i一+3,13y2一，1犬24X-3-xx

令,所以二2x2

y=0,x%一%~-%一%

必一M

4x-3-X.X三/、

即證0[79=2,即證2(尤2+%)_玉/=3.

12k23k2-39k2+3

將（*）代入可得2（%+工1）一%入2=

3V+13k2+13V+1

所以直線8。過點（2,0）o綜上所述，直線8。恒過工軸上的定點（2,0）.

【題型六】非對稱型：韋達定理線性“互函”

【典例分析】

設橢圓C的左、右頂點為48（。刀），過右焦點尸（1,。）作非水平直線/與橢圓C交于P,。兩點，記直線

AP,8Q的斜率分別為尤，k2,試證：，為定值，并求此定值（用a的函數表示）

22

【詳解】證明：設/：下。+1,代入橢圓方程.+工=1得（（/-1）/+。2）/+2（/_］）日_（/一1）2=0

2（a2-l）z

設尸（藥,％）,。伍M，則%+%=一行_1）入/

兩式相除得答=/‘,少/=?5+%）-

由題意知心出k2=—^—%

tyx+a+\x2-a—〃+1

%(92—。+1)_(/-1)(%+%)/2—a％+%_2cl+1)M+(a?_])%

從而4=

左2%(供+〃+1)(6—1)(%+%)/2+曬+%_1)必+(/+2a+])%

rmAL/—2a+1廿z7_i二二/72_i所以亡k.百a-\

因為一S-------

a2-}

【變式演練】

22

已知橢圓c：=+當=l（a>6>0）的離心率為:，其短軸長為2百，設直線/:x=4,過橢圓右焦點廠的直

ab/

線（不與X軸重合）與橢圓C相交于A、B兩點,過點A作AD_U,垂足為。.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）求證：直線8。過定點E,并求出定點E的坐標.

【答案】（1）—+^=1;（2）證明見解析,定點E佶,。］.

43U）

【分析】（1）根據已知條件可得出關于。、6、c的方程組，解出這三個量，即可得出橢圓C的標準方程;

（2）設直線A5的方程為》=沖+1,設點4&,乂）、儀9,％）、。（4,另），將直線AB的方程與橢圓C的

方程聯立，列出韋達定理，求出直線即并化簡，由此可得出直線所過定點E的坐標.

c1

a2a=2

22

【詳解】（1）由題意可得26=2?,解得,b=B故橢圓C的方程為土+匕=1；

a2=b2+c2143

（2）證明：由題得尸（1,0）,設直線AB:x=my+l（加eR）,

設4（%,%）、8（%,%）、。（4,%）,

x=my+1

聯立方程//，^（3m2+4）y+6mj-9=0,①

143

所以有％+,y=-,且2〃%%=3（%+%），

3m6,+4yi23mf+4

因為8（々,%）、。（4,%）,所以直線3。的方程為y-X=±^（x-4）,

得看上Q3L.4+「上蟲口S3

由％=my+1,②

my2-3my2-3my2-3my2-3

將2切=3（X+%）代入②，則直線BD的方程為V=比苫1--

故直線3D過定點||,oj,即定點E為

【題型七】無韋達

【典例分析】

已知C過點A（0,l）,圓心。在拋物線爐=2'上運動，若為：C在x軸上截得的弦，設|40|=小

\AN\=t2.

（1）當。運動時，|MN|是否變化？證明你的結論.

⑵求，+夕的最大值，并求出此時C方程.

hh

【答案】（1）不變，證明見解析；（2）2&，（x±6?+（y—1）2=2

【詳解】（1）設C（%，x）,C方程為（％—Xi『+（y—%）2=4。2,

.?.（X-X］『+（y-/=%；+（M—1）2與y=0聯立.得X2-2%逮+2%-1=0.

2

MN|=A/（2x1）-4（2y1-l）=-8^+4.。（%,必）在拋物線上，

X：=2%,代入|MN|,得|MN|==2為定值.BMN|不變.

（2）由（1）可設M（x—l,O）、N（x+l,O）,%='（x—iy+i,.=J（x+1）?+j,

「2X_2+「4_至±±L4封

=24^=21+二一不“2垃當且

7（x-i）2+i-7（^+i）2+i6+4Vx+4.

XH----亍

X

僅當x=±應時取等號，將％=土夜代入拋物線可得丁=1，即圓心為：(土夜」)，r=?，此時圓。方

程為(x±^2)2+(y-1)?=2.

【變式演練】

E:--+—\(a>b>Q\c(c\H~~

已知橢圓夕b-經過點J3力，離心率為2,0為坐標原點.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設A、3分別為橢圓E的左、右頂點，。為橢圓E上一點(不在坐標軸上)，直線CD交x軸于點P,

。為直線A。上一點，且OP?OQ=4,求證：C、B、。三點共線.

2

【答案】(1)—+y2=l；(2)證明見解析.

4'

0

【詳解】上二(1)將點。的坐標代入橢圓E的坐標可得6=1，由題意可得

cy/3

e=—=——

a2

a=2丫2

a2—c2=1,解得《廣，因此，橢圓￡的標準方程為二+9=1；

c=V34

c>0

(2)橢圓E的左、右頂點分別為4(—2,0)、5(2,0),

丫2

設點%)(%0%*。),則才+y；=1，則4-無；=4y；,

x

直線CZ)的斜率為七。=3—，則直線CD的方程為y=T—X+1,令y=0,可得X=丁0―，即點

/、1一%

P

/、.4(1-yn)7%

設點。(玉,x)，由0P0。=石M=4,可得再=—~—，直線AD的斜率為kAD，則直線AD

xo%+2

的方程為丁=一\(x+2),將X=40一為)代入直線AD的方程得y=2%(>-2與2)

%+2/％(5+2)

[4。-%)2%(x0—2%+2))直線5c的斜率為⑥c=E1

所以點。的坐標為

2

%(5+2)?

X_2%(%-2%+2)_-2yo+2%

直線3Q的斜率為原2=

石-22(x0+2)(2-2y0-x0)4-尤；-2%%-4yo

=-2y；+2%=_1=卜

4y；-2%%-4%2BC，

又BQ、5c有公共點3,因此，C、B、。三點共線.

出鼠真題再現

1.(四川高考理科21)橢圓有兩頂點4(—1,0)、5(1,0),過其焦點/(0,1)的直線/與橢圓交于C,。兩

點，并與x軸交于點尸.直線AC與直線交于點Q.

(I)當|8|=［血時，求直線/的方程；

(II)當點尸異于A,3兩點時，求證：OPOQ為定值。

解析：(I)由已知可得橢圓方程為］+M=1,設/的方程為y—1=攵(％—0)次為/的斜率，設。(尤］,弘)，

y=Ax+1

。(孫％)。則由八2得(2+左2)爐+2履—i=o,

------FX=1

可得,12：+」，所以,1+k2.'(苞+々)2_452=Jl+52J']；：)=3叵

X,X=------7-'一

[J22+k2

整理得，左2=2,所以左=±JJ,.?./的方程為y=±JLc+l

(II)由題可得，—±o],直線AC的方程為y=^^(x+l),直線30的方程為y=^^(x—1),

\k)Xj+1x2+1

>=含(》1)

可得三口=%'石+?=+3+石+1,(西，々的系數出現了不對稱)

x-1yjz+l)kxxx2-kx1+x2-l

2k-12k

由x+x,=------=-----------7，得M=-----T—X)，代入上式可得，

122+小勺22+4212