專題03三角形及基本性質（分層訓練）

分層訓練

【基礎訓練】

一、單選題

1.（2023下?遼寧大連?七年級統考期末）在下列長度的三條線段中，能組成三角形的是（）

A.1,2,4B.2,3,4C.3,5,8D.8,4,4

【答案】B

【分析】根據三角形的三邊關系"任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”進行分析.

【詳解】/、1+2<4,不能組成三角形，故此選項錯誤；

8、2+3>4,能組成三角形，故此選項正確；

C、3+5=8,不能夠組成三角形，故此選項錯誤；

D、4+4=8,不能組成三角形，故此選項錯誤.

故選：B.

【點睛】此題主要考查了三角形三邊關系，判斷能否組成三角形的簡便方法是看較小的兩個數的和是否大

于第三個數.

2.（2023?山東淄博?統考二模）已知平行四邊形ABCD的一邊長為5,則對角線AC,BD的長可取下列數據中

的（）

A.2和4B.3和4C.4和5D.5和6

【答案】D

【分析】由三角形三邊關系可得三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

【詳解】解：由于兩條對角線的一半與平行四邊形的一邊組成一個三角形，

所以;（AC-BD）<5<|（AC+BD）,

由題中數據可得，AC和BD的長可取5和6,

故選D.

【點睛】本題考查了平行四邊形對角線互相平分及三角形三邊關系問題，能夠熟練求解此類問題.

3.（2023下?河北保定?七年級統考期末）如圖，為估計池塘岸邊48兩點的距離，小方在池塘的一側選取

一點。，測得。A=7米，OB=5米，A,8間的距離不可能是（）

o

A.12米B.10米C.5米D.8米

【答案】A

【分析】根據三角形的三邊關系即可判斷結果.

【詳解】解：根據三角形三邊關系得：。4一OB<4B<+OB,

即：2<AB<12,

故選：A.

【點睛】本題考查三角形的三邊關系，熟記基本性質并靈活判斷是解題關鍵.

4.（2023?山東泰安?模擬預測）如圖，一副三角板疊在一起，最小銳角的頂點D恰好放在等腰直角三角板的

斜邊AB上，AC與DE交于點M,如果NBDF=105。，則乙的度數為（）

A.80°B.85°C.90°D.95°

【答案】C

【分析】先根據平角的概念求出乙40M的度數，然后利用三角形內角和定理即可得出答案.

【詳解】4BDF=105°,AEDF=30°

???/.ADM=180°-Z.EDF-乙BDF=180°-30°-105°=45°

???^CAB=45°

???^AMD=180°-ACAB-AADM=180°-45°-45°=90°

故選：C.

【點睛】本題主要考查三角形內角和定理及平角的概念，掌握三角形內角和定理是解題的關鍵.

5.（2023?河北秦皇島?統考一模）如圖，在中，AB=AC,點。為線段BC上一動點（不與點5,C重

合），連接4D,作NADE=NB=40°,DE交線段AC于點E.

下面是某學習小組根據題意得到的結論:

甲同學：4ABD?ADCE；

乙同學：若=則BD=CE；

丙同學：當DEL2C時，。為BC的中點.

則下列說法正確的是（）

A.只有甲同學正確B.乙和丙同學都正確

C.甲和丙同學正確D.三個同學都正確

【答案】D

【分析】在AABC中，依據三角形外角及已知可得N84D=NCOE,結合等腰三角形易證A4BD~AOCE；

結合an=DE,易證△ABDSADCE,得至=CE；當DE1AC時，結合已知求得NEDC=50°,易tiE4D1

BC,依據等腰三角形"三線合一"得BD=CD

【詳解】解：在AABC中，

???AB=AC,

Z-C=Z-B=40°,

vZ.B+Z-BAD=Z.CDE+Z-ADE,Z.ADE=z_B=40°,

???Z-BAD=乙CDE,

ABD—△DCE,

甲同學正確；

vZ-C=Z-B,乙BAD=Z.CDE,AD=DE,

ABD=△DCE,

BD=CE,

乙同學正確；

當。E1/C時，

???（DEC=90°,

???(EDC=90°-ZC=50°,

???^ADC=Z.ADE+乙EDC=90°,

???AD1BC,

vAB=AC,

BD=CD,

。為BC的中點，

丙同學正確；

綜上所述：三個同學都正確

故選：D.

【點睛】本題考查了二角形外角、相似二角形的判定、全等二角形的判定和性質、等腰二角形的性質；解

題的關鍵是通過"三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和"得到484。=MDE.

6.（2023?陜西西安?校考二模）如圖，已知直線a||b,與直線c分別交于/、8兩點，點C在直線6上，點。

在線段4B上，連接CD,若41=45。，42=70。，則NBDC的度數為（）

A.65°B.55°C.50°D.45°

【答案】A

【分析】由平行線的性質得到ADBC=42=70。，由三角形內角和定理即可求出NBDC的度數.

【詳解】解：圈allb,

S/.DBC=42=70°,

0Z1+Z.DBC+Z.BDC=180°,Z1=45°,

0ZBDC=65°.

故選：A.

【點睛】本題考查平行線的性質，三角形內角和定理，掌握平行線的性質，三角形內角和定理是解題的關

鍵.

7.（2023?北京?校考一模）如圖，C表示燈塔，輪船從A處出發以每時30海里的速度向正北（AN）方向航

行，2小時后到達B處，測得C在A的北偏東30。方向，并在B的北偏東60。方向，那么B處與燈塔C之間

的距離為（）海里.

A.60B.80C.100D.120

【答案】A

【分析】將方位表示的角度轉化為題目中對應角的度數，由三角形外角的性質可求出回C=30。，再根據等腰

三角形的性質即可得到答案.

【詳解】解：00NBC=[3A+0C,0NBC=60°,HA=30°

03C=3O°.

EEABC為等腰三角形.

船從A到B以每小時30海里的速度走了2小時，

0AB=BC=6O海里.

故答案選A.

【點睛】本題考查了方向角的定義，等腰三角形的判定與性質，三角形外角的性質，熟練掌握各知識點是

解答本題的關鍵..

8.（2023?北京豐臺?二模）如圖，在A/BC中，05=60°,13c=50。，如果平分皿C,那么EL4D8的度數

是（）

A

BDC

A.35°B.70°C.85°D.95°

【答案】c

【分析】先據三角形內角和定理求出回BAC的度數,再據角平分線定義求得朋AD的度數，最后求得回ADB度

數.

【詳解】在E1ABC中：

fflB+ElC+0BAC=18Oo,ES=60°,fflC=50°

0EBAC=18O°-60°-50°=70°；

又HAD平分aa4c

11

m^BAD=-Z.BAC=±x70°=35°

22

在IBBAD中：

00B+0ADC+0BAD=18O°

EEADB=180°-60°-35°=85°.

故選：C.

【點睛】本題考查三角形內角和定理、角平分線意義.靈活運用三角形內角和定理、角平分線意義進行角

的計算是解題關鍵.

9.（2023?安徽淮南?校聯考二模）已知三角形紙片4BC,其中NB=45。，將這個角剪去后得到四邊形4DEC,

則這個四邊形的兩個內角乙4DE與NCED的和等于（）

A.235°B.225°C.215°D.135°

【答案】B

【分析】先由三角形內角和定理結合回B的度數即可得出EIBDE+EIBED的度數，再根據（3BDE與國ADE互補、回BED

與IBDEF互補，即I3BDE+EIADE+13BED+EIDEF=36O°,即可求得NZDE+NCED的大小.

【詳解】解：EZB=45°

00BDE+0BED=18O°-45°=135°

又REBDE與mADE互補、UIBED與I3DEF互補

EBBDE+回ADE+E1BED+EIDEF=36O°,即NADE+NCED=360°-135°=225°.

故答案為B.

【點睛】本題考查了三角形內角和定理以及補角的定義，根據三角形內角和定理求出回BDE+田BED的度數是

解答題本題的關鍵.

10.（2023?新疆烏魯木齊?烏魯木齊八一中學校考二模）如圖，在△ABC中，^BAC=108°,將AABC繞點2按

逆時針方向旋轉得到△44C，，若點夕恰好落在邊上，且a9=。9，則的大小為（）

c

B’

A.20°B.24°C.28°D.32°

【答案】B

【分析】根據圖形的旋轉性質，得454夕，已知/夕二。夕，結合等腰三角形的性質及三角形的外角性質，

得勖二的夕慶2回C,再根據三角形內角和定理即可求出回。度數，再由旋轉性質得出回C度數.

【詳解】解：四"二CQ,

團團C=。8',

回胤45'5=團。+團。5'=2回C,

團將445。繞點4按逆時針方向旋轉得到夕C,

團團CMEC,AB=AB,,

團勖二回國C,

團財+回C+團C45=180°,

團3團。=180°-108°,

團團。二24°,

團團C=回。=24°,

故選：B.

【點睛】題主要考查了等腰三角形的性質，三角形外角的性質，圖形的旋轉性質.根據等腰三角形的性質

及三角形的外角性質，得魴、回。的關系為解決問題的關鍵.

11.（2023?山東濟南,統考二模）如圖，/施CD,EF分別與AB,CD交于點5,F.若姐=20。，團￡尸C=130。，

則的的度數是（）

E

A--------------------7B

CFD

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】B

【分析】直接利用平行線的性質得出助39=50。，進而利用三角形外角的性質得出答案.

【詳解】解：EL4施CO,

EB48尸+EI￡FC=180°,

HIE產C=130°,

EBA89=50°,

0EL4+0￡=EL45F=5O°,05=20°,

0EL4=3O°.

故選:B.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質以及三角形的外角性質，正確得出回ABF=50。是解題的關鍵.

12.（2023上?遼寧盤錦?八年級校考階段練習）如圖所示，在13ABe中，回ABC的平分線與回ACB的外角平分線

【答案】D

【分析】根據已知得出NDBC=|-1BC,Z.DCE=^ACE,根據三角形的外角等于不相鄰的兩內角的和得

出NDCE=/.DBC++/.ABC=NACE,進而得出［/ABC+z_0=+zXBC）,即可求得NA的值.

【詳解】解：???NZBC的平分線與41cB的外角平分線交于D,

11

???乙DBC=-￡.ABC,乙DCE=-/.ACE,

22

vZ-DCE=Z-DBC+乙D,Z-A+Z-ABC=Z-ACE,

ii

???-^ABC+Z.D=-￡.ACE,

22

BP|Z.ABC+40=（（NA+/.ABC},

解得：［乙4=30。，

Z-A=60°,

故選：D.

【點睛】本題考查了三角形的外角的性質，角平分線的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵.

13.（2022?廣東中山?統考三模）如圖，在中，乙4=40。，以點C為圓心，任意長度為半徑畫弧，交

AC的延長線和BC于點D、E,分別以￡為圓心，大于］DE的長為半徑畫弧交于點F,連接CF,若加,

則NB的度數是（）

A.25°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【分析】由題意得c尸是asco的角平分線，結合平行線、三角形外角可得的與魴的關系，即可得到答案.

【詳解】解：由題意得Cb是勖CD的角平分線，

^\BCF=^DCF,

又回CFII4B,

^B\B=^BCF=BDCF,

又EEL4+E15=a8CD

即財+05=205

甌8=40°.

故選：C.

【點睛】本題考查三角形外角，角平分線、平行線的性質，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵.

（2X+3

14.（2022下?陜西西安,八年級統考期中）等腰△ABC中一邊長為3,另外兩邊長為不等式組=二“一的

13%+2>11

兩個不同整數解，則△ABC的周長為（）

A.10或11B.10或12C.n或12D.10或13

【答案】A

【分析】先求不等式組的解集，確定正整數范圍；根據等腰M8C中一邊長為3,另外兩邊長為其中兩個不

同整數解求出邊長即可求解.

'^1>x—3①

【詳解】解：5-％3°

3x+2>11（2）

由①得x<6

由②得3Wx

團不等式組得解集是3<%<6

回在這個范圍內的正整數解是：3、4、5、6

回等腰中一邊長為3,另外兩邊長為其中兩個不同整數解

國兩邊長可能是3、4；3、5；

周長是：10或者11

故選：A.

【點睛】此題考查不等式組的解集和三角形邊長性質，解題的關鍵是正確求出不等式組的解集和利用三角

形三邊之間的關系確定邊長.

15.（2022?廣東深圳?統考模擬預測）如圖,在矩形ABCD中,AD=V2AB,^BAD的平分線交BC于點、E.DHS^LE

于點H,連接并延長交CD于點R連接DE交昉于點O,下列結論：①AD=AE；②HAEDRCED；

③OE=OD；④BH=HF；⑤BC-CF=2HE,其中正確的有（）

AD

BEC

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】D

【分析】根據角平分線的定義可得加E=ED4B=45。，然后求出姐BE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角

形的性質可得從而得到即可判斷①；由得到0AE7AEL4OE,再由NOE13C,即

可得到EL4DE=I3CED,即可判斷②；證明/AEBMffl)即可推出由三角形內角和定理

得到明。￡=明班=，180°—0￡>/￡)=67.5°,^ADH=SDAH=^5°,SCED=SAED=67.5°,EL4H5=EL4SH=|(180°

SBAH)=67.5°,從而推出配歸E=67.5°=EL4E。，得至lj0￡=0H,再由皿/。=皿花-0。//￡=22.5°,SODH

=SADE-^ADH=22.5°,推出。打=。。，即可判斷③；再證明勖￡7型Effl才得到9即可判

斷④；再由HE=AE-AH=BC-CD,得到8C-CF=8C—QCD—DFb=BC~(CD—HE)=(BC-CD)

+HE=HE+HE=2HE即可判斷⑤.

【詳解】解：回四邊形/BCD是矩形，

EESAD=EL43E=90°,ADSBC

EL4E平分的ID,

^BAE=WAE=^BAD^^°,

2

^ADUBC,

釀。/￡*=的砂=45°,

^AEB=^BAE=^°,

^\AB=BE,

^AE=7AB2+BE2=&AB,

刻。=42AB

^AD=AE,故①正確；

mAED=^\ADEf

^AD^BC,

^ADE^CED.

^AED^CED,故②正確;

[2LD/7I2L4E,

皿加出290°

在的5￡和的加中，

(Z.BAE=Z.DAE

\^ABE=乙AHD，

(AE=AD

^\ABE^\AHD(44S),

^BE=DH,

^AB=BE=AH=HD,

。，

^\ADE=^AED=2-(180°—M4E)=67.5^ADH=^DAH=45°

團團CEZ)=西￡。=67.5°,

^\AB=AH,

mAHB=^ABH=^(180°—膽4")=67.5°,^\OHE=^AHB(對頂角相等),

團團O7ffi=67.5°=的助，

由OE=OH,

mDHO=BDHE-^\OHE=22.5°,^\ODH=^ADE-^ADH=22.5°,

mDHO^ODH,

團OH=OD,

國OE=OD=OH,故③正確；

------彳。

^\EBH=^\ABE-^ABH=22.5°,

^\EBH=^OHD,

在魴EH和團4Db中,

Z.EBH=乙OHD=22.5°

BE=DH

^LAEB=乙HDF=45°

^BEH^HDF(ASA),

^BH=HF,HE=DF,故④正確；

WE=AE-AH=BC-CD,

WC-CF=BC~(CD-DF)=BC~(CD-HE)=(BC-CD)+HE=HE+HE=2HE.故⑤正確；

故選D.

【點睛】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質，

熟記各性質并仔細分析題目條件，根據相等的度數求出相等的角，從而得到三角形全等的條件或判斷出等

腰三角形是解題的關鍵，也是本題的難點.

二、填空題

16.(2023下?陜西西安?七年級高新一中校考階段練習)在4ABC中，乙4+NB=115°,則NC=.

【答案】65。/65度

【分析】根據三角形內角和為180。，可得N4+ZB+ZC=180°,再結合44+48=115。即可求出NC的度

數.

【詳解】解：?；乙4+乙8+乙。=180。，

???ZC=180°-+乙B)=65°,

故答案為：65°.

【點睛】本題考查了三角形內角和的度數，掌握三角形內角和定理是解答本題的關鍵.

17.(2023下?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市第六十九中學校校考期中)如圖，在4ABC^ABCC中，N4=80°,

4ABD=55°,^ACD=20°,則4。=°,

【答案】115

【分析】根據外角的性質進行求解即可.

【詳解】解：設交于點E,

D

BC

則：乙BEC=乙4+/.ABD=z_0+AACD,

0ZX=80°,乙ABD=55°,^ACD=20°,

KIND=80°+55°-20°=115°；

故答案為：115.

【點睛】本題考查外角的性質.熟練掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和，是解題的關鍵.

18.（2023?浙江杭州?模擬預測）如圖是一副三角尺拼成四邊形22C。，E為斜邊BD的中點，貝此4。￡"=.

【答案】15。

【分析】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可求得4E=DE=BE=CE=\BD,從而由含30。、

45。角的直角三角形的性質以及等邊三角形的判定和性質可得到N4ED=60。、同時由等腰三角形的三線合一

可得到4CED=90。，進而由角的和差可求得乙4EC=150。，然后由等腰三角形的等邊對等角以及三角形的

內角和定理即可求得答案.

【詳解】解：團在中，/.BAD=90°,E為斜邊8。的中點；

在RtABCD中，L.BCD=90°,E為斜邊BQ的中點

1

^AE=DE=BE=CE=-BD

2

國乙ADB=60°；BC=DC

回△40E是等邊三角形；CE1BD

^AED=60°；乙CED=90°

^AEC=Z.AED+乙CED=150°

團在等腰△/CE中，乙4。￡=竺亭空=15。.

故答案是:15。

【點睛】本題考查了含30。、45。角的直角三角形的性質、等邊三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、

角的和差、三角形內角和定理等，靈活運用相關知識點是解題的關鍵.

19.（2023上?江蘇鎮江?八年級校考期中）如圖，AB^CD,團C42和a4co的平分線相交于8點，￡為ZC的

中點，若EH=4.則/C=_.

【分析】根據平行線和角平分線的性質可得，^AHC=90°,再利用直角三角形的性質即可求解.

【詳解】解：HABIICD

0ZBXC+/-DCA=180°

由題意可得：4H平分ABAC,CH平分ADC4

0ZW4C=-ABAC,乙HCA=-ADCA

22

11

^HAC+^HCA=-Z,DCA+-^BAC=90°

22

團乙AHC=90°

又蛇為4C的中點

-i

SEH=jXC,即AC=2EH=8

故答案為8

【點睛】此題考查了直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質，涉及了平行線和角平分線的性質，解題的

關鍵是靈活利用相關性質進行求解.

20.（2022下?貴州畢節?八年級統考期中）如圖，將A48C繞點C順時針旋轉至ZkOEC,使點。落在8C的延

長線上，已知&4=26°,05=40°,則GL4CE=.

D

【答案】48。/48度

【分析】先根據三角形外角的性質求出EUCD=67。，再由A/BC繞點C按順時針方向旋轉至△DEC,得到

LABC^&DEC,證明aBCE=EL4CD,利用平角為180。即可解答.

【詳解】解：0EL4=26°,05=40°,

0EL4CD=EL4+E3=26°+4O°=66°,

fflABC繞點C按順時針方向旋轉至△￡>口?,

0EL45C00Z）￡C,

SBACB=mDCE,

^\BCE=SACD,

EIEBCE=66°,

00^^=180°-a40）-05^=1800-660-660=480.

故答案為：48。.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，三角形外角的性質，解決本題的關鍵是由旋轉得到△43C13m）EC.

21.（2022下?北京?七年級北京市第十三中學分校校考期中）如圖1,為響應國家新能源建設，某市公交站

亭裝上了太陽能電池板.當地某一季節的太陽光（平行光線）與水平線最大夾角為62。，如圖2,電池板

與最大夾角時刻的太陽光線相垂直，此時電池板CD與水平線夾角為48°,要使48||CD,需將電池板CD

逆時針旋轉a度，貝以為____.（0<a<90°）

\48

（圖1）（圖2）

【答案】20。/20度

【分析】求出蛇。尸的度數，根據平行線的性質得出四缶0￡>=始。尸=28。,再求出答案即可.

AC

。工k

【詳解】BD

品歷產。=90°,

aaoE/=62°,

EEEO=180°-90°-62°=28°,

EL450CZ),

EEA@）=EI￡O尸=28°,

團要使48團CD,需將電池板CD逆時針旋轉a度，

回a°=48°-28°=20°

故答案為：20.

【點睛】本題考查了平行線的性質，旋轉的性質，三角形內角和定理，垂直的定義等知識點，能求出必0D

的度數是解此題的關鍵.

22.（2023?遼寧沈陽?統考模擬預測）如圖，小正方形邊長為1,則西3c中/C邊上的高等于—.

【答案】詈

【分析】用大正方形面積減去外面三個小三角形的面積就是S"BC，再用勾股定理算出AC的長，即可算出B

到AC邊上的距離.

【詳解】解：過2作水泡4。，交NC于點G,

在RtEL4CF中，AF=2,CF=1,

根據勾股定理得：AC=y/CF2+AF2=V5,

113

回SMBC=S正方形AFED-SABCE-SAABD-S^ACF—^--xlxl-2x-x2xl=",

S^ABC=^AC?BG,

星XV5BGT

22

則8G耆.

故答案為：手.

DA

止

Ec.F

【點睛】本題考查了三角形的勾股定理及三角形面積相關的知識點，考生應熟練掌握.

23.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市蕭紅中學校考一模）如圖，在AdBC中，NC=90。，點。為4C上一點,

/.ABD=45°,2.ABD=2ABAC,若4D=4,則BC的長為.

【答案】2

【分析】如圖，作DE1BD交48于E,可知=90°,^BED=1800-A.ABD-乙BDE=45。,貝=DE,

BE=-^―=近BD,由題意得N84C=22.5°,由ZBEO=N2+/.ADE,可求ZJ1DE=22.5°,則4E=DE,

cos45°

AB=BE+AE=V2BD+BD=(y/2+i)BD,證明△ABCBDC,則些=—=—,即些=—=^+1)BD,

整理得BC=(迎+1)CD,4+CD=(V2+1)BC,貝=(魚+1)[(&+1)BC-4],計算求解即可.

【詳解】解：如圖，作0E_LBD交4B于E,

SZ.BDE=90°,

^Z.ABD=45°,

fflzSED=180°-2LABD-乙BDE=45°,

0BD=DE,BE=-^-=&BD,

cos45°

包乙ABD=2/-BAC,

^BAC=22.5°,

^BED=^A+AADE,即45。=22.50+/4OE,

解得“OE=22.5°,

^AE=DE=BD,

^AB=BE+AE=V2BD+BP=(V2+1)BO,

^ABC=180°-ABAC-Z-C=67.5°,乙DBC=/-ABC一乙ABD=22.5°,

^BAC=Z-DBC,

^\Z-BAC=乙DBC,乙ACB=Z-BCD,

ISAABCfBDC,

「8cACAB口BC4+CD_(V2+1)BD

團1一=—=—,即n一=---

CDBCBDCDBCBD

整理得BC=(V2+1)CD,4+CD=(V2+1)BC,

則BC=(V2+1)[(V2+1)BC-4],

解得BC=2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質，三角形的外角，余弦，相似三角形的判定與性質等知識.解

題的關鍵在于正確的添加輔助線.

24.（2022,山東聊城,統考一模）如圖，在4/臺。中，^CAB=70°,在同一平面內，將A/BC繞點/逆時針

旋轉到的位置,使CC1I4B,作夕DIIAC交3C于點D,則乙4B'C=

【答案】30。/30度

【分析】利用旋轉的性質可求得/CMC',SCAB=SC'AB',由平行線性質和三角形內角和定理可求得回C/C；

進而求得回C4夕即可解答;

【詳解】解：BCCWAB,

^C'CA=SCAB=70°,

由旋轉的性質可得：AC=AC',BCAB^BC'AB'=70°,

ffiL4CC'=EL4C'C=70°,

00C,^C=18O°-7OO-7O°=4O°,

EBCAB'=國C'A8'-E1C'/C=7OJ4O°=3O°,

SB'DWAC,

^B'D=SCAB'=30°,

故答案為：30。.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，平行線的性質；掌握旋轉的性

質是解題關鍵.

25.（2023上?重慶?八年級重慶市大學城第一中學校校聯考期中）如圖，在△ABC中，E是BC上一點，3EC=

5BE,點尸是4C的中點，若S-BC=12,貝IJS-BD的值為

【答案】」/3V

【分析】過點尸作FGIIBC交BC于點G,根據點F是4C的中點，求出治人砰=S.CF=（S^ABC=6,設BE為

3%,則CE為5x,根據FGWBC,得到△CFG-△CAE,△BDE-△BGF,由相似三角形的性質可得段=蕓=[

CECA2

器=隈,進而表示出BG的長，求出翌的值，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點尸作FGIIBC交BC于點G,

A

團點尸是ac的中點,

回=S^BCF~2=6,

團3EC=5BE,

「BE3

設BE為3x,貝！|CE為5尤,

EIFGWBC,

CFG-△CAE,△BDE—△BGF,

CG__1BE_BD

CE~CA~2fBG~BF

15

^G=-CE=-x,

511

團=-x+3%=—%

22

「BD_BE_3x_6

BF~BG~—x~11

2

回SMBD=五S—BF=~,

故答案為停.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，等高的三角形的面積比等于底邊的比，解題的關鍵是利用

相似三角形的性質求出器的值.

BF

三、解答題

26.（2023?山西太原?統考一模）如圖，回。是AABC的外接圓，EL405=96°,EO8=60。，點。是廢的中點.求

EL4SD的度數.

A

【答案】SABD=W2°.

【分析】根據團C48=60。，可得比經120。，再由點。是此的中點可得6260。，由圓周角定理可知回CBD

=30°,由此即可求出EMAD的度數.

【詳解】解：m。3=96。，

EEL4c8=48°,

B3C48=60°,

m

0EL4SC=180°-BACB-SCAB=72°,廢=120°,

又回點。是此的中點，

0CS=60°,

00C5Z）=30°,

0EL4SD=SABC+BCBD=102°.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，找準同弧所對圓周角和圓心角是解題關鍵.

27.（2023下?河北唐山?七年級統考期末）如果一個三角形的一邊長為5cm,另一邊長為2cm,若第三邊長

為xcm.

⑴第三邊x的范圍為.

⑵當第三邊長為奇數時，求出這個三角形的周長，并指出它是什么三角形（按邊分類）.

【答案】（1）3<x<7

（2）12cm底邊和腰不相等的等腰三角形

【分析】（1）三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊，據此可求得答案.

（2）先求得第三邊的長度，然后計算三角形的周長并按邊的相等關系分類即可.

【詳解】（1）根據三角形兩邊的和大于第三邊，則

%<5+2.

即％<7.

根據三角形兩邊的差小于第三邊，則

5—2<%.

即3Vx.

綜上所述

3<%<7.

故答案為：3<x<7.

(2)回第二邊的長為奇數，

回第三邊的長為5cm.

回三角形的周長=5+5+2=12(cm).

回兩條邊的長為5cm,另外一條邊的長為2cm,

國這個三角形是底邊和腰不相等的等腰三角形.

【點睛】本題主要考查三角形三邊之間的大小關系以及三角形按邊的相等關系分類，牢記三角形三邊之間

的大小關系(三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊)和三角形按邊的相等關系分類是

解題的關鍵.

28.(2023上?福建廈門?八年級校考期中)如圖，在A4BC中，

(1)CE是A4BC的外角N4CD的平分線，且交B4的延長線于點E(依題意補出圖形).

(2)NB=40°,AAEC=30°,求ABAC的度數.

【答案】⑴見解析

(2)100°

【分析】(1)根據題意作圖即可；

(2)根據三角形外角性質求出4EC。，根據角平分線定義求出乙4CD,根據三角形外角性質求出即可.

【詳解】(1)如圖所示：

E

(2)ZF=40°,/.AEC=30°,

???4DCE=NB+乙AEC=40°+30°=70°,

vCE平分"CD,

.-.Z.ACD=2Z.DCE=140°,

ABAC=AACD-乙B=140°-40°=100°.

【點睛】本題的關鍵是掌握三角形外角性質，并能靈活運用定理進行推理.

29.(2023?江蘇蘇州?統考中考真題)如圖，在AABC中，AB=aC,4￡＞為△ABC的角平分線.以點2圓心，

長為半徑畫弧，與4B,AC分別交于點E,F,連接DE,DF.

⑴求證：△4DE三AADF；

(2)若ABAC=80°,求NBDE的度數.

【答案】⑴見解析

⑵乙BDE=20°

【分析】(1)根據角平分線的定義得出NB40=NC4D,由作圖可得4E=aF,即可證明△4DE三AAD尸；

(2)根據角平分線的定義得出4E4D=40。，由作圖得出AE=AD,則根據三角形內角和定理以及等腰三角

形的性質得出乙4DE=70°,AD1BC,進而即可求解.

【詳解】(1)證明：刻。為△ABC的角平分線，

回4=Z.CAD,

由作圖可得AE=4F,

在AADE和AADF中，

'AE=AF

/.BAD=Z.CAD，

.AD=AD

[3AADE=△ADF(SAS)；

(2)0Z5XC=80°,4。為△ABC的角平分線，

SZ.EAD=40°

由作圖可得AE=ZD,

ELG4DE=70°,

EL4B=AC,4。為AZBC的角平分線，

EL4D1BC,

^Z.BDE=20°

【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，角平分線的定義，熟練掌握等

腰三角形的性質與判定是解題的關鍵.

30.(2023?山西?統考一模)如圖，在13ABe中，AD0BC于點D,點E為BD邊上一點，過點E作EG0AD,

分別交AB和CA的延長線于點F,G,0AFG=0G.

(1)證明：0ABD00ACD

(2)若回B=40°,直接寫出E1FAG=:

【答案】(工)詳見解析；(2)80

【分析】(1)由已知條件可直接得到AD為公共邊,0ADB=I3ADC=9O。,據兩直線平行間接可得到E1CAD=EIBAD,

即可判定tSABDEHACD(ASA)；

(2)利用(1)中結論易求得此度數，根據三角形外角的性質即可得4凡4G的度數.

【詳解】解:(1)SAD1BC,

國乙4DB=Z4PC=90°

SGE//AD,

=NG,乙4FG=/.BAD.

^Z-AFG—z_G,

0zCi4D=4BAD.

在448。和44。。中，

(ABDA=Z.CDA

AD=AD

{/.BAD=7.CAD

^AABD^AACD(.ASA)

(2)解：由(1)44BDE1ZMCD可得：NB=4

03B=4O",

EEC=40°,

E1ZF4G=ZB+NC=40°+40°=80°,

故答案為：80°.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定及三角形外角的性質，利用平行線的性質證明/以。=NB4D是

解題的關鍵.

31.（2023?山西?校聯考模擬預測）如圖，BD是448c的角平分線，AE1BD,垂足為F.若N28C=36°,ZC=

44°,求NE4C的度數.

【答案】/-EAC=28°.

【分析】先根據三角形的內角和定理求得ABAC的度數，再根據角平分線的定義求得N4BD的度數，由4E_L

BD得到NB4F=72°,即可求解.

【詳解】解：^ABC=36°,ZC=44°,

EZBXC=180°-36°-44°=100°.

I3BD平分2BC,

^ABD=LBC=18°.

2

^\AE1BD,

^BFA=90°,

SABAF=90°-18°=72°,

SZ.EAC=4BAC-^BAF=100°-72°=28°.

【點睛】本題考查角平分線的定義、三角形內角和定理等內容，靈活利用三角形內角和定理求角度是解題

的關鍵.

32.（2023廣東汕頭?統考一模）問題發現：如圖1,在AOAB和AOCD中，OA=OB,OC=OD,0AOB=fflCOD=4O",

連接AC,BD交于點M,

c

c

圖2

0AMB的度數為.

(2)類比探究，如圖2,在AOAB和AOCD中，0AOB=0COD=9O0,0OAB=0OCD=3O°,連接AC交BD的延長

線于點M,請判斷黑的值及回AMB的度數，并說明理由:

BD

【答案】（1）1；40°；（2）黑的值為舊，NAMB的度數為90。，理由見解析.

BD

【分析】（］）利用S4S定理證出ACOAMADOB,根根三角形全等的性質可得堂的值；再由三角形全等的性

BD

質得NC4。=408。，然后根據三角形的內角和定理即可得;

（2）先利用相似三角形的判定定理推出A40C?ABOD,再根據相似三角形的性質得黨的值；與（1）的解

BD

法類似，先由相似三角形的性質得NC4。=NDB。，然后根據三角形的內角和定理即可得.

【詳解】解：(1)/.AOB=乙COD=40°

/.COD+/.AOD=AAOB+乙400,即“。4=乙DOB

0A=OB,OC=OD

???/^COA=△00B(S4S)

AAC=BD,Z-CAO=Z-DBO

AC

???—=1

BD

在A(MB中，^0AB+AOBA=180°-AAOB=140°

在AABM中，

"MB=180°-(^CAO+乙OAB+^DBA)

=180°-⑷)BO+40AB+ADBA)

=180°-{/.OBA+Z.OAB}=180°-140°=40°

故答案為：1；40°；

(2)—=V3,ZXMB=30°,理由如下：

BD

在RtACOD中，ACOD=90°,ZOCD=30°

ODA/3

???——?=tanZ,OCD=tan30°=—

OC3

同理可得：*=日

OCOAL

???一=—=V3

ODOB

又???LAOB=匕COD=90°

???乙COD+AAOD=乙AOB+/-AOD,^Z,COA=乙DOB

.??^AOC?ABOO(兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似)

ACOC「

.??麗=麗=鹵皿。=皿。

在AOA*,Z.OAB+乙OBA=180°-Z.AOB=90°

在A4BM中，Z.AMB=180°-(zCXO+/.OAB+/.DBA)

=180°-QDBO+AOAB+/.DBA)

=180°-^OBA+AOAB)=180°-90°=90°

故黑的值為百，乙4MB的度數為90。.

BD

【點睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質、相似三角形的判定定理與性質、三角形的內角和定理，

根據已知條件推出兩個三角形全等或相似是解題關鍵.

33.(2023?山西太原?統考二模)如圖，在凹四邊形4BCD中，ZA=55°,ZB=30°,ZD=20°,求N8CD的

度數.

A

下面是學習小組的同學們交流時得到的解決問題的三種方法：

方法一：作射線/C；

方法二：延長8C交/。于點E；

方法三：連接2D

請選擇上述一種方法，求NBCD的度數.

【答案】乙BCD=105°,方法見解析

【分析】選擇方法一：作射線AC并在線段AC的延長線上任取一點E,根據外角的性質求出=+

NB4E即可解得；

選擇方法二：延長3c交4。于點E,根據外角的性質求出ABED=NB+N4即可解得；

選擇方法三：連接BD,根據三角形內角和求出乙4+乙48。+乙4。8=180。，在ABC。中，^BCD=180°-

乙CBD-MDB,再根據角之間的和差即可求出.

【詳解】解：選擇方法一：

如答圖1,作射線AC并在線段AC的延長線上任取一點E.

回NBCE是AaBC的外角，

=48+乙BAE.

同理可得NOCE=ND+Z.DAE.

⑦乙BCD=Z-B+Z-BAE+Z.D+Z-DAE.

回乙BCD=Z.B+乙BAD+乙D.

^BAD=55°,乙B=30°,乙D=20°,

^BCD=105°

A

選擇方法二：

如答圖2,延長交/。于點E.

團乙BEO是△ABE的外角，

國乙BED=Z-B+Z-A.

同理可得4BCO=乙BED+乙D.

國乙BCD=乙8+4/+40.

0ZX=55°,乙B=30°,乙D=20°,

團2BCD=105°

A

（答圖2）

選擇方法三：

如答圖3,連接5D

在△4BD中，Z,A+Z.ABD+Z.ADB=180°.

團乙/+/.ABC+乙CBD+/.ADC+乙CDB=180°

團乙A+Z.ABC+/.ADC=180°一乙CBD-乙CDB.

在△BCO中，乙BCD=180。一乙CBD一乙CDB.

國乙BCD=44+乙ABC+Z-ADC.

團乙/=55°,/.ABC=30°,乙ADC=20°,

回4BCD=105°

A

（答圖3）

【點睛】此題考查了三角形的外角性質、三角形內角和，解題的關鍵是構造輔助線，會用三角形的外角性

質、三角形內角和解題.

34.（2023?四川樂山?統考中考真題）如圖，在RtAABC中，NC=90。，點。為4B邊上任意一點（不與點/、

3重合），過點。作DEIIBC,DFWAC,分別交4C、BC于點E、F,連接EF.

⑴求證：四邊形ECFD是矩形；

⑵若CF=2,CE=4,求點C至!JEF的距離.

【答案】⑴見解析

（2）^75

【分析】（1）利用平行線的性質證明NCED=ACFD=90°,再利用四邊形內角和為360。，證明NEDF=90°,

即可由矩形判定定理得出結論；

（2）先由勾股定理求出EF=VCF2+CE2=2后再根據三角形面積公式求解即可.

【詳解】（1）證明：SDEIIBC,DFWAC,

國四邊形ECFO為平行四邊形，

回乙C=90°,

團四邊形是矩形.

(2)解：0ZC=90°,CF=2,CE=4,

0FF=7CF2+CE2=2A/5

設點C至1JEF的距離為人，

^S^CEF=\CE-CF=\EF-h

02x4=2V5/i

0h=—

5

答：點c至隨尸的距離為

【點睛】本題考查矩形的判定，平行線的性質，勾股定理.熟練掌握矩形的判定定理和利用面積法求線段

長是解題的關鍵.

35.（2023?遼寧?校考一模）如圖，△ABC是等腰直角三角形，^BAC=90°,AB=AC,^BDC=45°,E是BD

上的一點，S.^BAE=/.CBD,AE交BC于點M,將△CBD沿BC翻折得△8CF,BF交4E于G,交4c于H.

A

（2）探究BG與CD的數量關系，并證明；

（3）若4G=kGM,求案的值.

【答案】（1）45°；（2）CD=V2BG,見解析；（3）史尹

【分析】（1）證明=利用三角形的外角的性質解決問題即可.

（2）結論CD=&BG.作BT1BF交AE的延長線于T.證明BG=BT,推出AABT?△BCD,可得絲=