第3講全等三角形常見模型專題探究

模型一K型圖

【知識點睛】

?K型圖模型總結

圖形條件與結論輔助線注意事項

條件：AC=BC,AC±BC分別過點A、BK型圖可以和等腰直角三

結論：作AD_L),角板結合，也可以和正方

rLAADC^ACEB(AAS)BEU形結合

K型全等模型變形一一三垂定理：?///

如圖，亦有△ADCg^CEB(AAS)

總結：當一個直角放在一條直線上時，常通過構造K型全等來證明邊相等，或者邊之間的數量關系

【類題訓練】

1.(2021秋?九龍坡區校級期末)如圖，/4CB=90°,AC=BC,ADLCE,BE

±CE,垂足分別是點D、E,AD=7cm,BE=3cm,則DE的長是()

A.3cmB.35cmC.4cmD.4.5cm

【分析】根據同角的余角相等，得NC4D=NBCE,再利用44s證明烏△C3E,得CD=BE=

3cm,CE=AD=7cm,從而得出答案.

【解答】解：*.?/D_LC￡,BELCE,

:.NBEC=NCD4=90°,

：.ZCAD+ZACD=90°,

VZACB=90°,

：.ZACD+ZBCE=90°,

:.NCAD=NBCE,

在與△C8E中，

，ZCDA=ZBEC

'NCAD=NBCE，

,AC=CB

A/\ACD^/\CBE(AAS),

:.CD=BE=3cm,CE=AD=lcm,

：.DE=CE-CD=1-3=4。加，

故選：C.

第1頁共20頁

2.（2021秋?惠民縣月考）如圖，AELAB^.AE=AB,8C_LCD且3C=CD,請按照圖中所標注的數據,

計算圖中實線所圍成的圖形的面積S=98

【分析】由“44S”可證可得NG=EF=8,AF=BG=4,同理可得CG=D"=6,

BG—CH—4,由面積和差關系可求解.

【解答】解：-JAELAB,EFLAF,BGLAG,

；./EE4=NAGB=NEAB=90°,

：.ZFEA+ZEAF=90°,ZEAF+ZBAG=90°,

NFEA=NBAG,

在△尸及4和△G/8中，

，ZEFA=ZBGA

<NFEA=/BAG，

,AE=AB

.,.△FEAqLGAB(AAS),

：.AG=EF=8,AF=BG=4,

同理CG=DH=6,BG=CH=4,

；.M=4+8+4+6=22,

梯形EF/TO的面積=J_X(EF+DH)XFH=1.X(8+6)X22=154,

22

.??實線所圍成的圖形的面積5=154-2XAX4X8-2xAx4X6=98,

22

故答案為：98.

3.(2021秋?海豐縣期末)如圖，ZACB=9Q°,AC=BC,ADLCE,BELCE,垂足分別為D,E.

(1)求證：△/CD之△C2E；

(2)試探究線段NO,DE,BE之間有什么樣的數量關系，請說明理由.

【分析】（1）根據同角的余角相等，可證N2CE=NC4D,再利用44s證明△/CD四△C8E；

第2頁共20頁

(2)由A4CD2ACBE,得CD=BE,AD=CE,即可得出結論.

【解答】(1)證明：BELCE,

:.NADC=NBEC=90°,

AZACE+ZCAD=90°,

VZACB=90°,

:./BCE+NACD=9Q°,

：.ZBCE=ZCAD,

在△/CD和△C8E中，

，ZCAD=ZBCE

-ZADC=ZBEC，

,AC=BC

:AACD沿ACBECAAS)；

(2)解：AD^BE+DE,理由如下：

AACD咨4CBE,

；.CD=BE,AD=CE,

'：CE=CD+DE,

：.AD=BE+DE.

4.(2020秋?永年區月考)如圖，在△48C中，N3=/C=3,48=NC=50°,點。在邊3C上運動(點

。不與3c點重合)，連接4D,作N4DE=50°,DE交邊AC于點、E.

(1)當/&D/=IOO°時，ZEDC=30°,ZDEC=1000；

(2)當。C等于多少時，AABD沿ADCE,請說明理由.

【分析】（1）由補角的定義可求//￡?C=80°,進而可求解NEDC的度數，根據三角形的內角和定

理可求解/DEC的度數；

（2）可利用44s證明△N2D也△DCE.

【解答】解：（1）'：ZBDA+ZADC^1SO°,ZBDA=100°,

：.ZADC=80°,

VZADE^50°,

:.NEDC=NADC-NADE=30°；

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VZC=50°,ZC+ZEDC+ZDEC=180°,

AZDEC=100°；

故答案為30；100；

(2)當。C=3時，4ABD名ADCE,

理由如下："."AB=3,DC=3,

；.AB=DC,

"：ZB=50°,NADE=50°,

ZB=ZADE,

VZADB+ZADE+ZEDC=ISO°,ZDEC+ZC+ZEDC=180°,

NADB=NDEC,

'AB=DC

在△48。和△Z)CE中.NB=/C

LZADB=ZDEC

A/\ABD^/\DCECAAS).

5.（2022春?錦江區校級期中）已知RtZX/BC和RtZ\4DE,AB^AC,AD=AE.連接AD、CE,過點/

作于點”，反向延長線段/〃交于點足

（1）如圖1,當48=/。時

①請直接寫出BF與DF的數量關系：BF=DF（填“>”、“<”、“=”）

②求證：CE=2AF

（2）如圖2,當N5W/D時，上述①②結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理

由.

【分析】（1）①根據S/S證△胡/名即可得出8尸=。歹；

②根據等腰三角形的性質得出，CE=2CH,再根據44s證△4F2注△CH4,得出/尸=5,即可得

證結論；

（2）作氏WL4尸于點“，作。NL4尸交"'的延長線于點N,根據44S證△/MB/△CH4,再根據

44s證△4ND也△￡?〃，同理證△AWFg/XONF,根據線段的等量關系即可得出結論.

【解答】解：（1）;/呂:/。，AD=AE,AB=AD,

第4頁共20頁

：.AC=AEf

U：AHLCE,

：.ZCAH=ZEAH,

VZBAC=ZDAE=90°,

：.ZCAH+ZBAF=90°,ZEAH+ZDAF=90°,

???ZBAF=ZDAF,

在和△及/中，

rAB=AD

<NBAF=NDAF，

AF=AF

AABAF^ADAF(SAS)f

:?BF=DF,

故答案為：=；

9

@：AC=AEfAHLCE,

：.CH=EH=1-CE,

:?CE=2CH,

VZBAC=ZAHC=90°,

AZBAF+ZCAH=90°,ZACH+ZCAH=90°,

???/BAF=ZACH,

/\BAF^/\DAF,

：.ZAFB=ZAFD=90°,

???ZAFB=ZCHA,

在必和△C7￡4中，

<ZAFB=ZCHA

<ZBAF=ZACH，

AB=CA

...△AFBmdCHA(AAS),

:,AF=CH,

：.CE=2AF；

(2)成立，證明如下：

作/于點M,作ONJ_4廠交4方的延長線于點N,

:?/BMA=/N=90°,

AZBAM+ZABM=90°,ZDAN+ZADN=9Q°,

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,:NBAC=/DAE=9Q°,

:.NB4M+/CAH=90°,NDAN+NEAH=90°,

：.NABM=ZCAH,ZADN=ZEAH,

\'AH±CE,

：.ZAMB=ZCHA=ZN=ZEHA=90°,

在和△口以中，

'NAMB=NCHA

?ZABM=ZCAH，

,AB=CA

MAMB出4CHA(AAS),

:.MB=AH,

同理可證△HVD也△￡?〃(AAS),

:.DN=AH,

：.BM=DN,

在和△ZWF中，

，ZBMF=ZN

?ZBFM=ZDFN，

,BM=DN

:ABMFm工DNF(AAS),

:.BF=DF,MF=NF,

：.AM=AF-MF,AN=AF+NF=AF+MF,

:.AM+AN=4F-MF+AF+MF=2AF,

「AAMB妾ACHA,AAND^AEHA,

:.AM=CH,AN=EH,

：.CH+EH=AM+AN=2AF,

'：CE=CH+EH,

：.CH=2AF,

即CE=2AF.

6.(2021秋?渦陽縣期末)如圖，把一塊直角三角尺48c的直角頂點C放置在水平直線MN上，在LABC

中，NC=90°,AC=BC,試回答下列問題：

⑴若把三角尺ASC繞著點C按順時針方向旋轉，當時，N2=45度;

(2)在三角尺繞著點C按順時針方向旋轉過程中，分別作ZMLMN于"，BN1MN與N,若

AM=6,BN=2,求MN.

第6頁共20頁

(3)三角尺48c繞著點C按順時針方向繼續旋轉到圖3的位置，其他條件不變，則與

之間有什么關系？請說明理由.

即可求出答案;

(2)先用同角的余角相等判斷出/2=/CNM,同理：NLNCBN,進而判斷出絲△CN5(4S1/),

得出/W=CN,MC=BN,即可求出答案;

(3)同(2)的方法，即可得出結論.

【解答】解：(1)在△4BC中，AB=AC,ZACB^90°,

：.ZB=ZA=45°,

,:AB〃MB,

：.Z2=ZB=45

故答案為45；

(2)于跖BNLMN于N,

：.ZAMC=90°,ZBNC=90°.

/l+/CW=90°,

又：N1+N2=9O°,

：.Z2^ZCAM,

同理：—CBN,

在和中，

'N1=/CBN

-AC=BC，

,ZCAM=Z2

:AAMC%ACNBCASA),

:.AM=CN,MC=BN,

MN=MC+CN=AM+BN=2+6=8；

第7頁共20頁

(3)MN=BN-AM,理由：

同(2)的方法得，AAMC烏4CNBCASA),

：.AM=CN,MC=BN,

：.MN=MC-CN=BN-AM.

模型二手拉手模型

【知識點睛】

?手拉手模型總結

圖形條件與結論輔助線

條件：

AD=AE、AB=AC分別連接BD、

NBAC=NDAECE

結論：

手拉△ABDg△ACE(SAS)手模型在第一章只是表面

BD=CE

應用,>后續深層次應用需要在等

腰三角形學完之后探究

【類題訓練】

1.（2021秋?諸暨市月考）已知：如圖，在△4BC、△4DE中，NBAC=NDAE=90°,AB=AC,AD

=AE,點C、D、￡三點在同一直線上，連接3D

（1）求證：△24D之△C4E；

（2）線段3D與線段CE的關系為BD=CE,BDLCE,請說明理由.

【分析】（1）根據已知條件利用邊角邊即可證明△3/D之△C4E；

（2）結合（1）利用等腰直角三角形的判定和性質即可得結論.

【解答】解：（1）,:NB4C=NDAE=90°,

：.ZBAC+ZCAD=ZEAD+ZCAD,

：.ZBAD=ZCAE,

在△歷1。和中,

第8頁共20頁

，AB=AC

<NBAD=NCAE，

AD=AE

:.△BAD^ACAE(S/S)；

(2)BD=CE,BDLCE,理由如下：

由(1)知，

:.BD=CE,

'：/\BAD^/\CAE,

：.ZABD=ZACE,

VZABD+ZDBC=45°,

:.NACE+NDBC=45°,

：.ZDBC+ZDCB=ZDBC+ZACE+NACB=90°,

則2￡>_LCE.

故答案為：BD=CE,BDLCE.

2.(2021秋?宣化區期末)已知：如圖，在△4BC和△/￡?￡中，ZBAC^ZDAE=90°,AB=AC,AD

=AE,連接CO,C,D,￡三點在同一條直線上，連接8。，BE.以下四個結論：①BD=CE；②/

ACE+ZABD=45°；(3)ZBAE+ZDAC=1SO°；@BD±CE.其中正確的是①⑶⑷.(只填

序號)

【分析】①由/3=ZC,AD=AE,利用等式的性質得到夾角相等，利用S4S得出之ZUCE,

由全等三角形的對應邊相等得到BD=CE；

②由等腰直角三角形的性質得到/48￡>+/。2。=45°,等量代換得到/4CE+ND2C=45°；

③根據周角的定義即可判斷；

④由得到一對角相等，再利用等腰直角三角形的性質及等量代換得到垂直于CE；

【解答】解：①,

ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,即N2AD=NCAE',

在和中，

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'AB=AC

?NBAD=NCAE，

AD=AE

:.△BAD^ACAE(S/S),

:.BD=CE,故①正確；

②???A4BC為等腰直角三角形，

；.NABC=NACB=45°,

AZABD+ZDBC=45°,

ZABD=ZACE,

：.ZACE+ZDBC=45°,故②錯誤；

③：?NB4C=NE4D=90。,

：.ZBAE+ZCAD=1SO°,故③正確；

④；ABAD/ACAE,

：.ZABD=ZACE,

VZABD+ZDBC^45°,

:.NACE+NDBC=45°,

ZDBC+ZDCB^ZDBC+ZACE+ZACB=90°,

則BO_LC￡,故④正確；

綜上所述，正確的結論有3個.

故答案為：①③④.

3.(2021秋?長沙期末)如圖，4ABD、都是等邊三角形，直線CD與直線交于點？

(1)求證：CD=BE；

(2)求NCFB的度數.

【分析】（1）利用△/跳入都是等邊三角形，證明△。/C0即可得到CD=8￡；

（2）由△ZUCg/XB/E,得到N/DC=NABE,再由NCFE=NBDF+NDBF=/BDF+NDBA+/ABF,

即可解答.

【解答】（1）證明：???△/皿、ZUEC都是等邊三角形，

第10頁共20頁

：.AD=AB,AC=AE,ADAB=ZDBA=ZADB=60°,ZCAE=60°,

VZDAB=ZDAC+ZCAB,ZCAE=ZBAE+ZCAB,

：.ZDAC=ZBAE,

在△D4C和△A4E中，

，AD=AB

<NDAC=/BAE，

AC=AE

:.△DAC^ABAE(SAS),

:.CD=BE.

(2)解:'：/\DAC^/\BAE,

：.NADC=NABE,

：.ZCFE=ZBDF+ZDBF=ZBDF+ZDBA+ZABF=ZBDF+ZDBA+ZADC=ZBDA+ZDBA=

60°+60°=120°,

：.ZCFB=60°.

4.(2021秋?大連期末)在△/2C中，AB=AC,點。是直線BC上一動點(不與2、C重合)，將線段

繞點/逆時針旋轉/A4C的度數，得到線段4B,連接CE,設/B/C=a,ZBCE=^.

(1)如圖1,當點。在線段3C上時，用等式表示a與0之間的數量關系，并證明；

(2)如圖2,當點。在線段C3延長線上時，補全圖形，用等式表示a與0之間的數量關系，并證明.

【分析】(1)先利用邊角邊定理證明△ZM2與4c全等，證出=所以N8+N/C2=B，

再根據三角形內角和定理即可得到a+0=180。；

(2)方法同(1)證出NEG4=N45。，所以a+/OG4=0+/。。，所以a=0.

【解答】解:(1)a+p=180°.

證明：:,NBAC=NDAE=ci,

：.ABAC-ZDAC=/DAE-ADAC.

即及

又AB=4C,AD=AE,

:.LABDmLACE(SAS).

第11頁共20頁

???/B=ZACE.

：.ZB+ZACB=NACE+NACB.

：./B+N4cB=0.

9：a+ZB+ZACB=lSO°,

???a+B=180°.

（2）當點。在線段C8延長線上時，a=p.

其理由如下：

類似（1）可證

???ZDBA=ZECA,

又由三角形外角性質有ND氏4=a+NQC4,

而N4CE=B+NZ）C4,

/.a=p.

模型三對稱全等模型

【知識點睛】

?對稱全等模型總結

常見基本圖形：

模型提取：1.對稱變換基本特征：必有對稱軸

2.對稱型全等模型常隱含的條件：

具有公共邊、公共角、有時全等三角形不止一對、對稱軸會平分公共角

3.全等證明常用解決手段：

多想角度間的等量代換方法一角平分線的定義、內角和公式、外角定理等

4.其特殊應用環境：角平分線的邕見輔助線

?角平分線基本性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等

（對稱類全等經常和角平分線結合，可以考察角平分線的定義，也可以考察角平分線的性質定理）

【類題訓練】

1.（2022?梧州模擬）如圖，在△/3C中，ZA=90°,是△48C的角平分線，ED

J_3C于點。，CD=4,△CDE周長為12,則NC的長是（）

第12頁共20頁

A.14B.8C.16D.6

【分析】根據角平分線的性質得到根據三角形的周長公式計算，得到答案.

【解答】解：是△N3C的角平分線，EDLBC,ZA=90°,

；.AE=DE,

：△€■￡）￡1的周長為12,CD=4,

:.DE+EC=8,

：.AC=AE+EC=8,

故選：B.

2.（2021秋?泗水縣期末）如圖，△NBC的面積為10CM2,/尸垂直48的平分線BP于尸，則△P5C的

面積為（）

A.4cm2B.5cm2C.6cm2D.7cm2

【分析】延長/尸交3C于E,根據/P垂直的平分線3P于尸，即可求出△4BP冬/KBEP,又知

△NPC和△（7?￡等底同高，可以證明兩三角形面積相等，即可證明三角形尸5c的面積.

ZABP=NEBP,

又知BP=BP,/APB=/BPE=9Q°,

4ABP%ABEP,

:?S"BP=SABEP，AP—PE,

：.LAPC和△CPE等底同高，

""?SAAPC=S^PCE>

第13頁共20頁

.12

；?SAPBC—SAPBE+S^PCE--^S^ABC—5cm-，

2

故選：B.

3.（2020秋?江岸區校級月考）如圖，和△4DC是△/BC分別沿著AB,/C邊翻折形成的，若/

1：Z2：Z3=13：3：2,CD與BE交于O點、,則/EOC的度數為（）

A.80°B.85°C.90°D.100°

【分析】根據題意可得，若/I：Z2：Z3=13：3：2,則Nl=130°,Z3=20°,根據折疊的性質,

翻折變換的特點即可求解.

【解答】解：如圖，AE與DC交于點、P,

Z1：Z2：N3=13：3：2,

AZl=130°,Z3=20°,

AZDCA^20°,NE4B=13Q°,

VZE4C=360°-2Zl=100°,

AZEPD^ZAPC=180°-APAC-ZDCA=60°.

由翻折的性質可知NE=/3=20°.

，NEOC=180°-ZEPD-Z￡=180°-60°-20°=100°.

故選：D.

4.(2022?永嘉縣模擬)如圖，△/BC的角平分線3D,CE交于點F,AB=AC.

(1)求證：LABD24ACE.

(2)當//=40°時，求的度數.

第14頁共20頁

A

【分析】(1)根據等腰三角形的性質以及角平分線的定義，得出N/8O=NNC￡,進而判定

△4CE,

(2)根據角平分線的定義可得NE8C=工N/8C,/FCB=L/ACB,再根據三角形內角和定理求出

22

即可.

【解答】解：(1)-：AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

,兩條角平分線AD、CE相交于點O,

ZABD=ZACE,

在和△/(?￡■中，

，ZABD=ZACE

?AB=AC，

ZA=ZA

AAABDACE(ASA).

(2)在△/8C中，ZABC+ZACB=1SO°-N/=180°-40°=140°,

■:/ABC,//CB的平分線BE,CD相交于點尸，

:.NFBC=Z/ABC,NFCB=L/ACB,

22

AZFBC+ZFCB=1-(ZABC+ZACB)=JLX140°=70°,

22

在△BC廠中，Z5FC=180°-(ZFBC+ZFCB)=180°-70°=110°.

5.(2022?嘉興一模)在①O/=OD,@ZABC=ZDCB,③/DCO這三個條件中選擇其中

一個，補充在下面的問題中，并完成問題的解答.

問題:如圖,/C與BD相交于點。,/]=N2.若OA=OD或/ABC=/DCB或/ABO=/DCO,

BC

第15頁共20頁

【分析】若①。4=。。，由￡45證△NCfigaOBC,即可得出/8=Z)C；.

若②NABC=/DCB,由4X4證△48。絲△DC。(/”)，即可得出48=￡>C；

若③N/8O=/DC。，由/SN證△/BO四△Z)CO(NM),即可得出N8=DC.

【解答】解：若①04=8,

VZ1=Z2,

J.OB^OC,

：.OA+OC=OD+OB,BPAC=DB,

在△/C8和△OBC中，

'AC=DB

?N2=N1>

tBC=BC

:.LACB咨4DBC(SAS),

：.AB=DC；

若②NABC=ZDCB,

VZ1=Z2,

：.OB=OC,ZABC-Z1=ZDCB-Z2,即//8O=N￡>C。，

在△AB。和△DC。中，

rZABO=ZDCO

<OB=OC，

1ZAOB=ZDOC

:.MABOeMDCO(ASA),

：.AB=DC；

^@ZABO=ZDCO,

VZ1=Z2,

：.OB=OC,

在△ZB。和△Z)CO中，

，ZABO=ZDCO

<OB=OC，

LZAOB=ZDOC

A/\ABO^/\DCOCASA),

；.AB=DC；

故答案為：。/=。。或//8。=/。。2或2/3。=ZDCO.

6.（2021秋?臺安縣月考）如圖，四邊形48CD中，ZJ?+ZD=180°,ZBCD=150°,CB=CD,M,

N為AB、40上的兩個動點，且/MCN=75°.求證：MN=BM+DN.

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c

【分析】延長N3至點E,使得8E=Z)N,連接CE,根據同角的補角相等得/C8E=NCZ)N,根據

S4S證明△C8E四△CDN,