專題32軸對稱綜合與折疊問題

【題型演練】

一、單選題

1.（2022?山東濱州?一模）如圖，在MAA8C中，NC=90。，AC=3,BC=4,將△ABC繞點A逆時針旋

轉得到△AB'C',使點C'落在AB邊上，連結班'，貝hos/3'BC'的值為（）

2.（2022?浙江寧波?一模）如圖，圓。與的邊相切，切點為B.將AQW繞點B按順時針方向旋轉

得到△002,使點0'落在圓。上，邊A3交線段AO于點C.若NA'=15°,半徑長為2,則CB的長度為（）.

3.（2022.廣東汕尾.九年級期中）如圖，將線段A3繞一個點順時針旋轉90。得到線段則這個點是（）

P.C

AOBy

?D

A.M點B.。點C.尸點D.N點

4.（2022.天津?九年級期中）如圖，尸為正方形ABCD內一點，PC=1,將"DP繞點、C逆時針旋轉得到△CBE,

則PE的長是（）

A.1B.y]2c.2D.2a

5.（2022?山東?臨沂市河東區教育科學研究與發展中心二模）如圖，在平面直角坐標系中，點B的坐標為（0,

3）,NAO3=90。，ZB=30°.將AAOB繞點。順時針旋轉一定角度后得到AA'C?',并且點4恰好落到線

段A3上，則點A，的坐標為（）

6.（2022?全國?九年級課時練習）如圖，等邊AABC邊長為4君，NABC和—ACB的角平分線相交于點。,

將△O3C繞點。逆時針旋轉30。得到VO耳G，B?交BC于點、D,Bg交AC于點E,則。E=（）

A.2B.6-2y/3C.73-1D.3-73

7.（2022?江蘇南京?九年級專題練習）如圖，R3A8C中，ZC=90°,ZA=30°,AB=20,點P是AC邊上的

一個動點，將線段2尸繞點2順時針旋轉60。得到線段B。，連接C。.則在點P運動過程中，線段C。的最

2

小值為（）

Q

A.4退B.5百C.10D.5

8.（2022.全國?九年級課時練習）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,以點C為圓心，2為半徑作圓，P

是。C上的任意一點，將點P繞點。按逆時針方向旋轉90。，得到點。，連接則的最大值是（）

A.6B.40+2C.20+4D.273+4

9.（2022?福建省廈門集美中學九年級期中）如圖，在正方形中，AB=4,E為AB邊上一點，點、F

在邊上，且BR=1,將點E繞著點F順時針旋轉90。得到點G,連接。G,則。G的長的最小值為（）

BFC

A.2B.2近C.3D.V10

10.（2022?安徽.九年級專題練習）如圖，在AABC中，ZACB=90°,ABAC=30°,。為AABC內一點，分

別連接抬、PB、PC,當==時，PA+PB+PC=y/21，則8C的值為（）

3

CB

A.1B.72C.6D.2

11.（2021?新疆.烏魯木齊市第132中學二模）如圖，等邊△ABC的邊長為6,點。在邊A8上，BD=2,線

段CD繞。順時針旋轉60。得到線段。E,連接。E交AC于點F,連接AE,下列結論：①四邊形ADCE面

積為9劣；②△AOE外接圓的半徑為岑；@AF：FC=2：7；其中正確的是（）

A.①②③B.①③C.①②D.②③

二、填空題

12.（2022?福建省大田縣教師進修學校九年級期中）如圖，在RtZVLBC中，AB=AC,點￡）,E在線段2C

上，且NZME=45。，將線段AD繞點A順時針旋轉90。后得到線段AF,連接防，EF.給出以下結論：

①AAED^AAEF；

②AABE絲AACD；

③BE?+DC?=DE。;

cBE+BF+EFFT

④AB5

其中正確的是.（寫出所有正確結論的序號）

4

13.（2022?江蘇?蘇州工業園區金雞湖學校一模）如圖，將矩形紙片ABCD繞頂點8順時針旋轉得到矩形BEFC,

取。、尸C的中點M、N,連接肱V.若AB=4cm,AD=2cm.則線段肱V長度的最大值為cm.

14.（2022.廣西?欽州市第四中學九年級階段練習）如圖，長方形ABCZ）中，AB=3,BC=4,E為8c上一

點，且3E=1,尸為A3邊上的一個動點，連接所，將昉繞著點E順時針旋轉45。到EG的位置，連接FG

和CG,則CG的最小值為.

15.（2022?江蘇?南京鐘英中學九年級階段練習）ULBC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等

邊三角形，直線8。與直線AE交于點?如圖，將△DCE繞點C旋轉1周，在這個旋轉過程中，線段4尸

長度的最小值是.

5

三、解答題

16.(2022?北京大興.九年級期中)在正方形A3C。中，AD=4,點E在邊A8上，且A￡=3,將線段OE繞

點D逆時針方向旋轉得到線段DF,連接EF.

圖I備用圖

(1)如圖1,若點?恰好落在邊的延長線上，判斷△DEF的形狀，并說明理由；

(2)若點尸落在直線3c上，請直接寫出ADEB的面積.

17.(2021?新疆?烏魯木齊市第二十九中學九年級期中)在△ABC與AEOC中，ZACB=ZECD=60°,

ZABC=ZEDC,△￡?(?可以繞點C旋轉，連接AE,BD

圖1

(1)如圖1

①若BC=3DC,直接寫出線段BD與線段AE的數量關系；

②求直線BD與直線AE所夾銳角的度數；

(2)如圖2,BC=AC=3,當四邊形ADCE是平行四邊形時，直接寫出線段DE的長

18.(2022?廣東.豐順縣大同中學九年級階段練習)有兩張完全重合的矩形紙片，小亮將其中一張繞點A順

時針旋轉90°后得到矩形AMEF(如圖1),連接BDMF,此時他測得BD=8cm,ZADB=30°.

(1)在圖1中，請你判斷直線尸河和3。是否垂直？并證明你的結論;

6

(2)小紅同學用剪刀將△3CD與AMEF剪去，與小亮同學繼續探究.他們將△鈿￡>繞點A順時針旋轉得

△AgR,交月0于點K(如圖2),設旋轉角為￡(0°<￡<90°),當A4FK為等腰三角形時，請直接寫

出旋轉角"的度數；

⑶若將"fM沿方向平移得到2M2(如圖3),用％與AD交于點尸，4M?與5。交于點N,當

NP〃AB時，求平移的距離是多少.

19.(2022?山西呂梁.九年級期中)如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，M是A3上一動點，E是CM的

中點，AE繞點E順時針旋轉90。得到EF,連接OE,DF.

(1)若3M=2,則AE的長為.

(2)求證：DE=EF.

(3)求ZCDF的度數，及CF的最小值.

20.(2022?河北?邢臺三中九年級期中)如圖，在R3ABC中，ZA=90°,A8=AC=170，點。在邊上，

7

連接DC,tan/￡)C4=^，點尸為BC邊上一點，連接DP,將DP繞點。逆時針旋轉90。得到線段。。，連

接尸Q.

(1)AD=，BD=,。。的最小值是.

(2)當N3PQ=15°時，求BP的長;

(3)連接8Q,若△2DQ的面積為25,求tan/B￡>Q的值.

7

21.(2022?北京?首都師范大學附屬云崗中學九年級期中)在正方形ABC。中，M是8C邊上一點，且點M不

與B、C重合，點尸在射線AM上，將線段AP繞點A順時針旋轉90。得到線段AQ,連接3尸，DQ.

(1)如圖1,當點尸在線段AM上時，依題意補全圖1；

(2)在圖1的條件下，延長的，QD交于點、H,求證：ZH=90°.

(3)在圖2中，當點尸在線段AM的延長線上時，連接。尸，若點尸，Q,。恰好在同一條直線時，猜想DP,

DQ,A3之間的數量關系，并證明.

22.(2022.吉林白城.九年級期中)［操作］如圖1.AABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,。是其內部的一

點，連接。.將8繞點(順時針旋轉90。得到CE,連接DE,作直線AD交班于點E

(1)求證：AADC^ABEC；

⑵求—AFE的度數；

(3)［探究］如圖2,連接圖1中的AE,分別取A5、DE、鉆的中點〃、N、P,作△WP.若3E=8,則△MZVP

的周長為________

23.(2022?福建?廈門市第五中學九年級期中)在“IBC中，ZACB=90°,AC=BC=2,把AABC繞點B順

時針旋轉得到ADBE(點A與。對應).

(1)如圖，若點E落在邊AB上，連接AD,求AE的長；

8

(2)如圖，若旋轉角度為60。，連接AE.求AE的長;

(3)如圖，若旋轉角度為。(45。<0<90。)，連接4￡),BF±AD,垂足為足求證：C,E,尸三點在同一直

24.(2022?遼寧?燈塔市第一初級中學九年級期中)如圖，在aAABC中，ZR4C=90°,AB=AC,點。為

平面內一點，以。為腰在8右側作等腰用ACDE,且NCDE=90。，過點B作BF〃DE,且BF=DE,

連接8。，DF,EF.

圖①圖②

(1)如圖①，當點。在AC邊上時，直接寫出線段AF與AD的關系為

(2)將圖①中的等腰成ACDE繞點C逆時針旋轉c(O°<a<45。)到圖②的位置，連接AD,AF,(1)中的結

論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由;

9

(3)若AD=3,AC=5,當A、E、歹三點在一條直線上時，請直接寫出8的長.

25.(2022?山東省濟南匯才學校九年級階段練習)在AA8C中，CA^CB,NACB=(z,點P在平面內不與

點A,C重合，連接AP,將線段”繞點尸逆時針旋轉a得到線段DP,連接ARBACP.

圖①圖②

(1)如圖①，當》=60。，百的值是,直線3D與直線CP相交所成的較小角的度數是.

(2)如圖②，當&=90。時，請寫出罟的值及直線與直線CP相交所成的較小角的度數，并說明理由.

(3)當&=90。時，若點E,尸分別是C4,CB中點，點尸在直線Er上，請直接寫出當C,P,O在同一直線上

An

時，求之的值.

10

專題32軸對稱綜合與折疊問題

【題型演練】

一、單選題

1.（2022?山東濱州?一模）如圖，在尺公ABC中,ZC=90°,AC=3,BC=4,ABC

繞點A逆時針旋轉得到AAB'C，使點C'落在AB邊上,連結BB'，則cos/B'BC'的值為（）

cD.手

A-iB-?-f

【答案】C

【分析】在放AA8C中，由勾股定理可得48=5.根據旋轉性質可得AC'=AC=3,C'B'=CB

=4,C'B=2.利用勾股定理可求出88',從而求出cos/B'BC.

【詳解】解：在R/A4BC中,

^=7AC2+BC2=5,

由旋轉旋轉性質可得AC'=AC=3,C'B'=CB=4,

C'B=AB-AC'=2,

BB'=y]C'B'2+C'B2=275,

故答案為：C.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質以及解直角三角形，掌握解直角三角形是解題的關鍵.

2.（2022?浙江寧波?一模）如圖，圓。與AOAB的邊A3相切，切點為8.將繞點8按

順時針方向旋轉得到△O'A8,使點O'落在圓。上，邊A3交線段AO于點C.若NA'=15。，

半徑長為2,則CB的長度為（）.

33

A.若B.2C.-D.

22

11

【答案】B

【分析】根據旋轉可得△300,為等邊三角形，進而可求出N46。，再利用/A'=15。，可證

明ABC。是等腰三角形.

【詳解】解：如圖，連接OO'

由題意得：B0=00'=B0',

：./\BOO'為等邊三角形，

ZOBO'=60°,

與。。相切于點3,

ZABO=90°.

：."80=90。,

：.Z_AB0=AAB0'-A0B0'=30°,

V/A'=15。，

ZA=15°

ZAOB=90°-ZA=75°,

，ABC0=\S,^-AA0B-AAB0=75°,

：.BC=BO=2.

故選：B.

【點睛】本題考查圓中切線的性質與旋轉，熟練掌握圓與切線的性質與旋轉的性質是解題關

鍵.

3.（2022?廣東汕尾.九年級期中）如圖，將線段A3繞一個點順時針旋轉90。得到線段。，

則這個點是（）

P.C

AQ-BN

?D

A/

A.M點B.。點C.P點D.N點

【答案】A

【分析】根據旋轉中心到對應點的距離相等作圖可以得解.

【詳解】如圖，連接AC、BD,分別作AC、3。的垂直平分線，發現相交于M點，因此M

12

點是旋轉中心.

故選A.

【點睛】本題考查旋轉的應用，熟練掌握旋轉的性質、線段垂直平分線的性質及作法是解題

關鍵.

4.（2022?天津?九年級期中）如圖，尸為正方形A8CO內一點，PC=\,將繞點C逆

時針旋轉得到△CBE,則PE的長是（）

A.1B.0C.2D.2上

【答案】B

【分析】根據旋轉的性質，旋轉后的三角形△CPE是等腰直角三角形，由勾股定理可求得

P￡=V2

【詳解】：△（?￡>尸繞點C逆時針旋轉得到△CBE,其旋轉中心是點C,旋轉角度是90。

，NPCE=90。，CE=CP=1

...是等腰直角三角形

PE=>/CE2+CP2=V2

故選項是B.

【點睛】本題考查了旋轉的性質、正方形的性質、等腰三角形的判定與性質、勾股定理，熟

練掌握正方形和旋轉的性質，得出三角形是等腰直角三角形是解決問題的關鍵

5.（2022.山東.臨沂市河東區教育科學研究與發展中心二模）如圖，在平面直角坐標系中，

點B的坐標為（0,3）,ZAOB=90°,ZB=30°.將AAOB繞點0順時針旋轉一定角度后得到

AA'OB',并且點4恰好落到線段A5上，則點4的坐標為（）

13

’3百J、石3

c.D.

2’2

【答案】D

【分析】過A作AC，A。于C點，先通過解解直角三角形求出0A,再證△OAA是等邊三

角形，再在RdAA'C中通過解解直角三角形求出AC、AC,則問題得解.

【詳解】過A，作ACLA。于C點，如圖,

：8(0,3),

二。8=3,

ZAOB=90°,ZB=30°,

NBA0=60。，

.,.在RtXAOB中，AO=BOxtanN3=3xtan30°=G,

根據旋轉的性質可知OA=OA,

.?.△OAA是等邊三角形，

A'A=OA=y/3,

：.在AA'C中，AC=AA'-cosZAA'C=道?cos60°=

A'C=AA'-sin/A4c=6.sin60。=?,

2

OC=OA-AC=^--=—,

22

VA在第二次象限，

A的坐標為：(-#，1)，

【點睛】本題考查了坐標與圖形變換-旋轉，主要考查了解直角三角形、等邊三角形的判定

與性質等知識，證明△OAA是等邊三角形是解答本題的關鍵.

14

6.(2022?全國?九年級課時練習)如圖，等邊AABC邊長為4石，/ABC和—AC8的角平分

線相交于點。，將△OBC繞點。逆時針旋轉30。得到VOB】C”片￡交BC于點。，4G交

AC于點E,則Z)E=()

A.2B.6-2港C.6TD.3-石

【答案】B

【分析】過。點作OHLBC于〃,08/與BC交于點過M作AffUB。于E求出B0=4,

證明ABOM和△￡>/&均為等腰三角形，求出和的值，進而求出DC的長，最后證

明AOEC為30。、60。、90。直角三角形，利用。￡=也(刀即可求解.

2

【詳解】解:過。點作O//LBC于H,08/與BC交于點M,過M作MHLBO于尸，如下

圖所示：

:△ABC為等邊三角形，且08、OC分別為/ABC、/ACB的角平分線,

：.Z1=^ZABC=30°,N3=g/ACB=30。，

...△OBC為等腰三角形，由“三線合一”可知：

15

BH=CH=gBC=25

.\BO=^-BH=4,

3

,/△OBC繞點。逆時針旋轉30。得到VO4G，

；./2=30°=/l,

...△OBM為等腰三角形，由“三線合一”可知:

BF=^BO=2,

：.MO=BM=垣BF=延，

33

MBi=OB,-OM=OB-OM=4-,

3

又由旋轉可知/2=/2尸30。，且對頂角N3MO=/DMB7=120。,

ooooo

ZMr)B7=180-ZB/-ZDA/B7=180-30-120=30,

...△MB/。為等腰三角形，

/.MD=Affi7=4-—,

:對頂角/MC=NM￡）B=30。，且/ACB=60。，

ZDEC=180°-ZEDC-ZACB=90°,

MCDE為30。、60。、90。直角三角形,

:.DE=^CD=^（4&4）=6-2B

故選：B.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、等腰三角形的判定及性質、直角三角形的性質及判

定等，熟練掌握特殊三角形的性質及判定是解決本題的關鍵.

7.（2022?江蘇南京?九年級專題練習）如圖，RSABC中，ZC=90°,ZA=30°,AB=2Q,點

P是AC邊上的一個動點，將線段B尸繞點2順時針旋轉60。得到線段B。，連接C。.則在

點P運動過程中，線段CQ的最小值為（）

A.4舊B.573C.10D.5

【答案】D

【分析】將R3A8C繞點B順時針旋轉60。得到RtAABC',再設線段A'C'的中點為跖并

16

連接CM.根據線段8尸的旋轉方式確定點。在線段AC'上運動，再根據垂線段最短確定當

。與點M重合時，C。取得最小值為CM.根據NC=90。，ZA=30°,48=20求出BC的長度，

再根據旋轉的性質求出A3和3C'的長度，根據線段的和差關系確定點C是線段的中點,

進而確定CM是△A2C的中位線，再根據三角形中位線定理即可求出CM的長度.

【詳解】解：如下圖所示，將RtAABC繞點2順時針旋轉60。得到Rt^ABC',再設線段AC'

的中點為M,并連接CM.

:點P是AC邊上的一個動點，線段繞點8順時針旋轉60。得到線段80,

，點。在線段AC'上運動.

.?.當CQLAC,即點。與點M重合時，線段C。取得最小值為CM.

,.?ZC=90°,ZA=30°,AB=20,

：.BC=W.

VRtAABC繞點8順時針旋轉60。得到RtAABC',

BC=BC=10,AB=Afi=20.

：.AC=A'B-BC=1O.

：.A'C=BC=10.

.,.點C是線段A3中點.

;點M是線段A'C的中點，

：.CM是的中位線.

：.CM=-BC'=5.

2

故選：D.

【點睛】本題考查旋轉的性質，直角三角形30。所對的直角邊是斜邊的一半，垂線段最短,

三角形中位線定理，綜合應用這些知識點是解題關鍵.

8.（2022?全國?九年級課時練習）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,以點C為圓心，2

為半徑作圓，尸是OC上的任意一點，將點尸繞點。按逆時針方向旋轉90。，得到點。，連

接BQ,則8。的最大值是（）

17

A.6B.4a+2C.20+4D.2百+4

【答案】A

【分析】連接CP,AQ,以A為圓心，以A。為半徑畫圓，延長交。A于E.根據正方形

的性質，旋轉的性質，角的和差關系，全等三角形的判定定理和性質求出的長度，根據

三角形三邊關系確定當點。與點E重合時，8。取得最大值，最后根據線段的和差關系計算

即可.

【詳解】解：如下圖所示，連接CHAQ,以A為圓心，以為半徑畫圓，延長交。A

于￡

:正方形A8C。的邊長為4,G)C的半徑為2,

：.AD=CD=AB=4,ZADC=90°,CP=2.

7點p繞點。按逆時針方向旋轉90。得到點。，

：.ZQDP=9Q°,QD=PD.

：.ZADC=ZQDP.

：.AADC-ZQDC=ZQDP-ZQDC,即/AOQ=/CZ)P.

/.AA￡>e^ACDP(SAS),

：.AQ=CP=2.

.\AE=AQ=2.

是oc上任意一點，

???點。在。A上移動.

/.BE=AE+AB=AQ+AB>BQ.

當點。與點E重合時，3。取得最大值為BE.

BE=AE+AB=6.

18

故選：A.

【點睛】本題考查正方形的性質，旋轉的性質，角的和差關系，全等三角形的判定定理和性

質，三角形三邊關系，線段的和差關系，綜合應用這些知識點是解題關鍵.

9.（2022?福建省廈門集美中學九年級期中）如圖，在正方形ABC。中，AB=4,E為AB

邊上一點，點尸在邊上，且3尸=1,將點E繞著點尸順時針旋轉90。得到點G,連接DG,

則。G的長的最小值為（）

BFC

A.2B.2拒C.3D.回

【答案】C

【分析】過點G作GPL3c于點P,延長尸G交AD于點設BE=PF=x,只要證得

ABEF公APFG(AAS),利用全等三角形的性質可得3E=PF,PG=BF=1,進而得到

PC=DH^4-l-x=3-x,在RfADGH中,利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：過點G作GPL3C于點P,延長PG交AD于點H,貝i]/GPb=90。，

?.?四邊形ABC。是正方形，

ZADC=ZC=ZS=90°,

；?四邊形CD〃尸是矩形，

：.CD=PH=AB=4,PC=DH,

:ZEFG=90°,

：.ZBFE+ZPFG=90°,

又NBFE+NBEF=9Q。,

：.NPFG=ZBEF,

VFE=FG,ZB=Z.GPF=90°,

ABEF/APFG(AAS),

BE=PF,PG=BF=1,

:.GH=PH—PG=4—1=3,

設3E=PP=x,則PC=D〃=4—1一x=3—x,

在咫AZX汨中，由勾股定理得，

19

DG2=0/2+3”2=（3_尤）2+32=（3—無y+9,

當x=3時，DG?有最小值為9,

DG的最小值為3,

故選：C

【點睛】本題考查了正方形的性質，矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質以及勾股

定理的運用，作出適當的輔助線是解題的關鍵.

10.（2022?安徽?九年級專題練習）如圖，在AABC中，ZACB=90°,ZfiAC=30°,。為“LBC

內一點，分別連接Bl、PB、PC,當==時，PA+PB+PC=y/^i，貝U

BC的值為（）

A.1B.夜C.拒D.2

【答案】C

【分析】將△8必順時針旋轉60。，到△BMN處，得到△8PM,AABN是等邊三角形，證明

C、尸、M,N四點共線，且/OW=90。，設BC=x,貝ijAB=BN=2x,AC=瓜,利用勾股定

理計算即可.

【詳解】將△8以順時針旋轉60。，到ABW處，則△8PM,是等邊三角形，

NBPM=NBMP=60。,NBAN=60°,PM=PB,BA=BN,PA=MN,

'：ZCPB=ZBPA=ZAPC=ZBMN=120°,

20

ZBMP+ZBMN=180°,ZBPC+ZBPM=180°,

，C、P、M,N四點共線，

CP+PM+MN=CP+PB+PA=721，

:Na4c=30。，ZBAN=60°,

：.ZCAN=90°,

ISBC=X,則A8=8N=2X,AC=y/3x,

：.(V3x)2+(2x)2=(A^T)2,

解得.『百，x=-白，舍去，

故選C.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，直角三角形的性質，

熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵.

11.(2021?新疆?烏魯木齊市第132中學二模)如圖，等邊AABC的邊長為6,點D在邊42

上，BD=2,線段CD繞。順時針旋轉60。得到線段DE,連接。E交AC于點E連接AE,

下列結論：①四邊形4。5面積為9百；②△AOE外接圓的半徑為卓；③4尸：FC=2：7；

其中正確的是()

A.①②③B.①③C.①②D.②③

【答案】A

【分析】如圖1,在2c上取一點跖使得BM=2,連接DM,分別過。、A作DHIBC,AM1BC,

垂足為H、M,由AABC的邊長為6的等邊三角形，得—3=60。，AB=BC=AC=6,進而

21

證明的邊長為2的等邊三角形，△CDE的邊長為2s的等邊三角形，再證明

理形梯形

AADE^ABCM,得至！JAE//BC,于是有SADCE=SABCE-S^BDC

幣,

=1x(2+6)x3^-1x6xA/3=9^/3,由ND4E=120。，DE=2得AAOE外接圓的半徑

為名雪，證明△ZMCs/^a*,判斷③正確，從而得出結論.

【詳解】解:如圖1,在BC上取一點M,使得BM=2,連接DM,分別過A作

DHVBC,AM±BC,垂足為H、M,

圖1

V△ABC的邊長為6的等邊三角形，

,N3=60°,AB=3C=AC=6,

BD=2,BM=2,

；.△的邊長為2的等邊三角形，AD=6-2=4,

ZB=ZBDM=Z.BMD=60°,DM=BD=BM=2,

AG=ABsin60o=6x—=3V3,D/f=BDsin60°=2x—=73,=Br>cos60°=2x-=1,

222

NCMD=180。-60。=120。，CM=BC-BM=6-2=4=AD,

CH=BC-BH=6-1=5,

22

CD=^JCH+DH=J（國+52=2",

線段C。繞。順時針旋轉60。得到線段DE,

；.△cr比的邊長為2s■的等邊三角形，

:.CD=DE=CE=2/,ZCDE=60°,

?-?ZADC=ZADE+ZCDE=ZADE+60°=ZB+ZBCM=60°+ZBCM,

,-.ZADE=NBCM,

..AADE^ABCM,

ZDAE=ZCMD=120°,AE=DM^2,

ZZME+ZB=180°,

AE//BC,

??S四邊形ADCE=S梯形ABCE-S△BDC

22

=1x（2+6）x3>/3-1x6x.x/3

=9。

因此①正確；

???ZDAE=120°,DE=2a,

.??△4。￡外接圓的直徑為區乙=±",

sin6003

.?.△AOE外接圓的半徑為牢，

因此②正確；

VZDAC=ZCDF=6Q°f/DCF=ZAFD,

ADAC^CDF,

DCCF2aCF

——=——即m---二一產，

ACCD62"

144

AF=6—=-

33

Ai?4

3

：.AF:FC=2：7,

因此③正確；

故應選A.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質及判定、全等三角形的性質及判定、相似三角形

的性質及判定、圖形的旋轉以及圓等知識，構造輔助線證明三角形全等和三角形相似是解題

的關鍵.

二、填空題

12.（2022?福建省大田縣教師進修學校九年級期中）如圖，在Rt^ABC中，AB^AC,點。，

E在線段BC上，且ZDAE=45°，將線段AT（繞點A順時針旋轉90°后得到線段AF,連接BF,

EF.給出以下結論：

①AAED^AAEF；

②△ABE絲”18；

③BE。+DC?=DE。;

④BE+BF+EF=皈.

AB

其中正確的是.（寫出所有正確結論的序號）

23

BED

【答案】①③④

【分析】根據旋轉的性質即可以及SAS即可判斷①；②中的兩個三角形只有一條邊和一個

角相等，不能判定全等；根據全等的性質以及勾股定理即可判斷③；根據等腰直角三角形的

性質即可判斷④.

【詳解】解：：AABC為直角三角形，AB=AC,

,/ZACB=ZABC=45°,

???線段4)繞點A順時針旋轉90°后得到線段AF,

AD=AF,ZDAF=90°,

ZDAE=45°,

ZFAE=ZDAF-ZDAE=45°,

在△AED和/中，

AD=AF

<ZDAE=ZFAE,

AE=AE

：.AAED^AAEF(SAS),

故①正確；

在AABE和AACD中，只有NABE=NACD=45。，AB^AC,兩個條件不能判定全等，故②

不正確；

,/AAEE^ZXAEF,

DE=EF

?；ZDAF=ABAC=90°,

：.ZDAF-ZBAD=ZBAC-ZBAD,即/BAP=/CAD,

在AABF和AACD中，

AB=AC

<ZBAF=ZCAD,

AF=AD

：.AABF^VACD(SAS),

/.ZABF=ZACD=45°,DC=BF,

?；^ABC=45°,

：.ZFBE=ZABF+ZABC=90°,

EF2=BE2+BF2，

24

/.DE2=BE2+DC2,

故③正確；

：AABC為直角三角形，AB^AC,

/.AB2+AC2=BC2,即2AB2=BC2,

整理得：”=3，

AB

,:BC=BE+DE+CD=BE+EF+EF,

.BE+BF+EF正

AB—，

故④正確；

故答案為：①③④.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，全等的性質和判定，解題的關鍵是熟練掌握旋轉前后

對應邊相等，對應點與旋轉中心連線的夾角等于旋轉角，全等三角形對應邊相等，對應角相

等.

13.（2022.江蘇?蘇州工業園區金雞湖學校一模）如圖，將矩形紙片ABCD繞頂點2順時針

旋轉得到矩形BEFC,取FC的中點M、N,連接MN.若AB=4cm,AD=2cm.則

線段MN長度的最大值為cm.

【答案】（2+J?）

【分析】由三角形中位線定理可求的長，通過證明四邊形EFN"是平行四邊形，可得

EF=NH=2cm,即可求解.

【詳解】解：如圖，取3E的中點”，連接MH,BD,NH,

,/AB=4cm,AD=2cm,

；?BD=VAB2+AD2="+展=2國cm),

:點M是ED的中點，點H是BE的中點，

25

?*-MH=V5cm，

???將矩形紙片ABC。繞頂點8順時針旋轉得到矩形BEFC,

BE=AB=FG-CD，EF=AD=2cm,

:點〃是BE的中點，點N是FG的中點，

EH=FN,EH〃FN,

/.四邊形EFNH是平行四邊形，

，EF=NH=2cm,

,：MH+NH>MN,

當點H在MN上時，MN有最大值，最大值=4任/+N"=（2+行卜m,

故答案為:（2+V5）.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，矩形的性質，三角形中位線定理等知識，靈活運用這些性

質解決問題是解題的關鍵.

14.（2022?廣西?欽州市第四中學九年級階段練習）如圖，長方形ABCD中，AB=3,BC=4,

E為BC上一點,且3E=1,尸為A3邊上的一個動點，連接收，將所繞著點E順時針旋

轉45。到EG的位置，連接尸G和CG,則CG的最小值為.

【答案】匿

【分析】如詳解圖，將線段正繞點E順時針旋轉45°得到線段ET,連接。E交CG于/.首

先證明/ETG=90°,推出點G的在射線7U上運動，推出當CGL7U時，CG的值最小.

【詳解】解：如圖：

26

將線段BE繞點石順時針旋轉45°得到線段ET,連接。不交CG于J.

???四邊形ABC。是矩形，

AB=CD=3,NB=/BCD=90°,

NBET=NFEG=45°,

：./BEF=ZTEG,

VEB=ET,EF=EG,

：.^EBF^^TEG(SAS),

ZB=ZETG=90\

???點G的在射線7U上運動，

???當CGLTU時，CG的值最小,

VBC=4,BE=l,CD=3,

:,CE=CD=3,

ZCED=ZBET=45°,

Z.TEJ=90°=ZETG=ZJGT=90°,

???四邊形￡7^7是矩形，

DE//GT,GJ=TE=BE=\,

：.CJYDE,

：.JE=JD,

JCG=CJ+GJ=1+-2^—,

2

???CG的最小值為l+9.

2

【點睛】本題考查了旋轉的性質，矩形的性質，全等三角形的判定和性質，垂線段最短知識，

解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

15.（2022.江蘇.南京鐘英中學九年級階段練習）AABC是邊長為5的等邊三角形，ADCE是

邊長為3的等邊三角形，直線8。與直線AE交于點E如圖，將△。以繞點。旋轉1周，

27

在這個旋轉過程中，線段AE長度的最小值是

【答案】4-A/3##-V3+4

【分析】先證明A3C7汪△4"，如圖，設BE交AC于點T.證明乙BCT=NAFT=60。，推

出點尸在AABC的外接圓上運動，當NABb最小時，AF的值最小，此時CD_L8D,求出

AE,EF可得結論.

【詳解】解：:△ACBADEC都是等邊三角形，

AC=CB,DC=EC,ZACB=ZDCE=60。,

：.ZBCD=ZACE,

在△BCD和△ACE中，

CB=CA

<ZBCD=NACE,

CD=CE

：.△BCD四△ACE(SAS),

如圖，設防交AC于點T.

ZXBCD^ZXACE(SAS),

,ZCBD=ZCAF,

,?NBTC=ZATF,

：.NBCT=ZAFT=6O°,

，點/在AABC的外接圓上運動，當/ABb最小時，AF的值最小，止匕時CDL8D,

28

???BD=4B^C^==4'

：.AE=BD=4,ZBDC=ZAEC=90°,

VCD=CE,CF=CF,

Rt^CFI涇RtACFE(HL^,

：.ZDCF=ZECF=30°,

EP=CE-tan30°=5

，AF的最小值=AE-EB=4-g,

故答案為：4--J3.

【點睛】本題考查旋轉變換，全等三角形的判定和性質，同弧所對的圓周角相等，解直角三

角形，等邊三角形的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常

考題型.

三、解答題

16.(2022?北京大興?九年級期中)在正方形ABC。中，49=4,點E在邊AB上，且AE=3,

將線段繞點。逆時針方向旋轉得到線段DF,連接EE

備用圖

(1)如圖1,若點尸恰好落在邊BC的延長線上，判斷ADEF的形狀，并說明理由;

⑵若點尸落在直線8c上，請直接寫出”)￡F的面積.

【答案】(1%。即是等腰直角三角形，理由見解析

⑵3.5或12.5

【分析】(1)由正方形的性質可得ZM=OC,ZADC=ZDAB=ZDCB=90°,由“HL”可證

RSADE%Rf.CDF,可得NADE=NCDP,可得結論；

(2)根據三角形的面積公式即可得到結論.

【詳解】(1)")￡F是等腰直角三角形，理由如下：

在正方形48CD中，DA=DC,AADC=Z.DAB=ADCB=900.

?.?廣落在邊BC的延長線上，

NDCF=NDAB=90°.

■■1將點E繞點。逆時針旋轉得到點F,

:.DE=DF,

在RtAADE和Rt^CDF中，

29

\AD=DC

[DE=DF'

RMADE=RtACDF(H”,

\?ADE?CDF,

?.?ZADC=ZADE+NEDC=90°,

NCDF+ZEDC=903即ZEDF=90°.

「.△DEF是等腰直角三角形；

(2)?.?NA=90。，4)=4,AE=3,

DE=y]AD2+AE2=V42+32=5，

當點廠落在線段BC上時，如圖2,

圖2

???NC=90°,DF=DE=5,

:.CF=4DF2一CD?=3,

；.BE=BF=L

;.ADEF的面積=^S.^ABCD~^^ADE~^^CDF~^BEF=4x4-—x3x4--x3x4--xlxl=3.5；

當點尸恰好落在邊BC的延長線上時，如圖1,

ADEF的面積=gx5x5=12.5,

綜上所述，ADEF的面積為3.5或125

【點睛】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的面積

公式，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵.

17.（2021.新疆?烏魯木齊市第二十九中學九年級期中）在AABC馬AEDC中，

ZACB=ZEC￡）=60°,NABC=/EDC,△即C可以繞點C旋轉，連接AE,BD

30

⑴如圖1

①若BC=3DC,直接寫出線段BD與線段AE的數量關系；

②求直線BD與直線AE所夾銳角的度數；

(2)如圖2,BC=AC=3,當四邊形ADCE是平行四邊形時，直接寫出線段DE的長

【答案】⑴